Progetto Docente
Lavoro eseguito da:
Albero Emilio
Cariolo Dionisia
UNITA’ DIDATTICA
L’EQUAZIONE ALGEBRICA
OBIETTIVI
COMPRENDERE IL CONCETTO DI UGUAGLIANZA.
_
_
COMPRENDERE IL CONCETTO DI EQUIVALENZA.
_
RICONOSCERE UN’EQUAZIONE DI 1° GRADO
CONTENUTI
PREREQUISITI
_
SAPER RISOLVERE E CLASSIFICARE.
_
SAPER APPLICARE ED UTILIZZARE CORRETTAMENTE
_
LE NOZIONI LOGICO MATEMATICHE ACQUISITE.
_
IDENTITA’ ED EQUAZIONE.
_
EQUAZIONE EQUIVALENTE.
_
EQUAZIONE DI PRIMO GRADO.
_
EQUAZIONI INTERE.
_
ESPRESSIONE ALGEBRICHE LETTERALI,
MONOMI, POLINOMI).
Si chiama equazione algebrica un’uguaglianza fra due
espressioni algebriche, in una o più variabili, che risulti
verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili che
in essa figurano.
Un’equazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo
grado se la variabile che in essa figura è di primo grado.
La variabile x si chiama incognita dell’equazione. I
particolari valori che attribuiti all’incognita soddisfano
l’equazione, si chiamano soluzioni o radici dell’equazione
stessa.
Se l’equazione (di 1° grado) possiede una sola soluzione si
dirà determinata; se, invece, possiede infinite soluzioni si dirà
indeterminata; infine, si dirà impossibile se non ammette
soluzioni.
Numerose questioni relative all’algebra, alla geometria, alla fisica,
alla chimica, … si traducono in equazioni.
“Pensa un numero, aggiungi 5 e moltiplica il risultato per 2.
Che numero hai ottenuto?”
“Ho ottenuto 30”
“Allora il numero che hai pensato è 10”.
Questo semplice giochino che ci è stato proposto tante volte si
risolve mediante un’equazione: 2(x + 5) = 30
Equazioni
ax = b con a,b,x
Equazioni
determinate
(una soluzione)
Equazioni
indeterminate
(infinite soluzioni)
Equazioni
impossibili
(nessuna soluzione)
ax = b
0x = 0
0x = b
Data una generica equazione:
ax = b con a, b, x  
Chiameremo 1° membro l’espressione posta
a sinistra dell’uguale e 2° membro
l’espressione a destra.
x – 1 + 2x
1° membro
=
3x - 1
2° membro
Classificazione
Equazioni
Razionali
Irrazionali
Le incognite non
compaiono sotto un segno
di radice
Le incognite compaiono
sotto un segno di radice
Numeriche
letterali
Oltre alle incognite non
compaiono altre lettere
Oltre alle incognite
compaiono altre lettere
Intere
Fratte
le incognite non
compaiono in un
denominatore
Le incognite compaiono
anche nei denominatori
Data un’equazione ax = b determinare una soluzione significa
determinare quel particolare valore dell’incognita che rende il
primo membro uguale al secondo
5x = 15
x
1° membro 2° membro
-3
-15
15
-2
-10
15
-1
-5
15
0
0
15
1
5
15
2
10
15
3
15
15
x = 3 è la soluzione cercata
EQUAZIONI EQUIVALENTI
Diremo che due equazioni, di primo grado, sono equivalenti se
ammettono la stessa soluzione
Per risolvere un’equazione è necessario applicare un
procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che
consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova
equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice.
A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti
principi di equivalenza.
I PRINCIPI DI EQUIVALENZA
I principi di equivalenza sono basati su alcune proprietà riguardanti
le uguaglianze numeriche:
Siano A e B due numeri tali che:
A=B
(esempio 20 = 20)
1) Se si aggiunge ad ambo i membri di questa uguaglianza uno
stesso numero k allora si ottiene ancora un’uguaglianza:
A+k=B+k
(esempio 20 + 7 = 20 + 7  27 = 27)
2) Se si moltiplicano ambo i membri di un’uguaglianza per uno
stesso numero p, diverso da zero, allora si ottiene ancora
un’uguaglianza.
A  p = B  p (esempio 20  3 = 20  3  60 = 60)
Le equazioni possono essere paragonate ad una bilancia. Il
contenuto del piatto di sinistra corrisponde al primo membro,
quello di destra al secondo membro:
Quindi
il
“primo
principio della bilancia”
può essere sintetizzato
dicendo: se in una
bilancia, in equilibrio,
si aggiungono pesetti
uguali su due piatti si
ha ancora l’equilibrio.
1° principio

A=B
Se
si
aggiunge
un
pesetto su un piatto per
mantenere
l’equilibrio
bisogna aggiungere un
pesetto uguale anche sul
2° piatto
A+k=B+k
2° principio

A=B
Se
si
raddoppia
il
contenuto di un piatto
per mantenere l’equilibrio
bisogna raddoppiare il
contenuto del 2° piatto
Ap=Bp
Quindi
il
“secondo
principio della bilancia”
può essere sintetizzato
dicendo: se, in una
bilancia, in equilibrio, si
raddoppia il contenuto
dei due piatti si ha
ancora l’equilibrio.
Lo stesso succede se si
triplica, dimezza ecc….
Come si costruiscono equazioni equivalenti?
PRIMO PRINCIPIO DI
EQUIVALENZA
Se si aggiunge o si sottrae
una stessa espressione
letterale, contenente o no l’
incognita, per entrambi i
membri, si ottiene
un’equazione equivalente.
Esempio:
8x – 6 = 7x + 4
SECONDO PRINCIPIO DI
EQUIVALENZA
Se si moltiplica o si divide entrambi
i membri di un’equazione per uno
stesso numero, diverso da 0, una
stessa espressione letterale (
escludere i valori delle lettere che
la annullano o che la rendono priva
di significato), si ottiene
un’equazione equivalente alla
precedente.
Esempio:
8x = -16
Applicando il 1° principio, aggiungiamo ambo i membri l’espressione: 6 – 7x:
Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80:
8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x
x = 10
8x : 8 = – 16 : 8
x=–2
Equazioni di primo grado numeriche intere ad un’incognita
Forma normale: è la forma più semplice in cui può presentarsi un’equazione di primo grado ad un’incognita
Ax=B
Risoluzione :
Equazione in forma
complessa
Principi di equivalenza
Equazione
determinata
A<>0
Soluzione x=B/A
Equazione equivalente in
forma normale Ax=B
Equazione
indeterminata
A=0; B=0
Equazione
impossibile
A=0 B<>0
Le diapositive che seguono possono
essere presentate agli allievi come attività
di laboratorio in Excel.
I D E N T I T A’
attribuisci un valore alla x
x=
x2
-
4x + 4 =
(
x
2
- 2)
-9
2
81
-
-36
121
+4= (
=
-9
-2)
121
l'uguaglianza è verificata
6
EQ UAZIO NE
attribuisci un valore alla x
Personalizza l'equazione inserendo coefficienti ed operazioni nelle aree
evidenziate in verde
4
x=
x
+
7
=
7
2,4
+
7
=
7
=
7
0,6
9
il valore indicato non è
soluzione dell'equazione
la soluzione dell'equazione è:
x=
0
1° PRINCIPIO DEL TRASPORTO
Personalizza l'equazione inserendo coefficienti ed operazioni
nelle aree evidenziate in verde
3
x+
9
=
7
procedi
applicando il primo principio di equivalenza si può scrivere che:
3
x+
9
-
9
=
7
-
9
seleziona procedi nella casella evidenziata in rosso per calcolare la somma
algebrica dei termini membro a membro
procedi
ESEGUENDO I CALCOLI:
3
x=
7
x=
-2
cioè
3
-
9
NOTA BENE:QUESTO RISULTATO SI
SAREBBE POTUTO OTTENERE
TRASPORTANDO DIRETTAMENTE IL
TERMINE NOTO AL 2° MEMBRO E
CAMBIANDOLO DI SEGNO
1° PRINCIPIO - ELISIONE
Personalizza l'equazione inserendo
coefficienti ed operazioni nelle aree
evidenziate in verde
3 x - 9 = 5 x - 9
procedi
Trasportando i termini noti al primo membro si otterrebbe:
3
x -
9
+
3
x=
5
x
9
= 5 x
procedi
si sarebbero potuti direttamente eliminare i
termini uguali posti su membri diversi,
ottenendo lo stesso risultato
RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE
1
esponente
fattore
3
x +
8
9
+
1
4
1
2
3
5
7
=
2
(
2
6
x +
3
)
+
x
+ 3
procedi
=
6
(
6
x +
24
9
)
+
24
x + 72
procedi
x
+
54
+
24
x
+ #
calcolando il m.c.m. allora…..
9
x +
27
24
+
3
eliminando i denominatori si ottiene:
9
x +
27
+
3
=
6
procedi
trasportando i termini con la x al 1° membro ed i termini noti al secondo, si ottiene:
9
x
-6
-24
x
=
54
+
72
-27
-3
procedi
sommando i termini simili membro a membro si ottiene:
-21 x
=
96
procedi
dividendo entrambi i membri per il coefficiente della x
-21
=
x
96
-21
-21
=
-4,57