EQUAZIONI
Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, in
una o più variabili, verificata solo per particolari valori attribuiti alle
variabili che figurano in essa.
Un’equazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo grado se
la variabile che in essa figura è di primo grado.
La variabile x si chiama incognita dell’equazione. I particolari valori
che attribuiti all’incognita soddisfano l’equazione, si chiamano
soluzioni o radici dell’equazione stessa.
Se l’equazione di 1° grado possiede una sola soluzione si dirà
determinata.
Esempio : 2x+5=11-x è un’uguaglianza vera se x è uguale a 2.
Il valore 2 è detto soluzione dell’equazione.
Se l’equazione possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine,
si dirà impossibile se non ammette soluzioni.
Data una generica equazione:
A(x) = B(x) a coefficienti reali
Chiameremo 1° membro l’espressione posta a
sinistra dell’uguale e 2° membro l’espressione a
destra.
3x+4
1° membro
=
5-x+3
2° membro
Classificazione
Irrazionali
Le incognite compaiono sotto
un segno di radice
Equazioni
Numeriche
Oltre alle incognite non
compaiono altre lettere
Razionali
Le incognite non compaiono
sotto un segno di radice
letterali
Oltre alle incognite
compaiono altre lettere
Le equazioni numeriche
e letterali possono
essere:
Intere
Se le incognite non
compaiono al denominatore
Fratte
Se le incognite compaiono
anche nei denominatori
Pensa un
numero
…x
raddoppialo
Aggiungi 3
…2x
2x+3
Quanto hai ottenuto?
Il numero che hai
pensato è 2!
Questo semplice giochino si traduce in
nell’equazione
2x+3=7
7
Come ha
fatto???
Per trovare l’eventuale
soluzione dell’equazione è
opportuno semplificarne
la forma senza
modificarne il
significato…
Per risolvere un’equazione è necessario applicare un procedimento
risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare
un’assegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di
forma più semplice.
A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di
equivalenza.
Il primo ed il secondo principio d’equivalenza delle
equazioni consentono di passare da un’equazione data
ad una ad essa equivalente di forma più semplice
I PRINCIPI DI EQUIVALENZA
I principi di equivalenza sono basati su alcune proprietà riguardanti le
uguaglianze numeriche:
Siano A e B due numeri tali che:
A=B
(esempio 20 = 20)
Definiamo 1°membro dell’uguaglianza l’espressione a sinistra dell’uguale,2°
membro l’espressione a destra dell’uguale.
1) Se si aggiunge ad ambo i membri di questa uguaglianza uno stesso numero
k allora si ottiene ancora un’uguaglianza:
A+k=B+k
(esempio 20 + 7 = 20 + 7  27 = 27)
2) Se si moltiplicano ambo i membri di un’uguaglianza per uno stesso numero
p, diverso da zero, allora si ottiene ancora un’uguaglianza.
Ap=Bp
(esempio 20  3 = 20  3  60 = 60)
Conseguenza del primo principio d’equivalenza:
È possibile spostare un termine da un membro all’altro dell’equazione a
patto di cambiarlo di segno
5x+4 = 6+2x
Addizioniamo ad ambo i membri -4
5x+4-4=6+2x-4
5x=6+2x-4
È come aver spostato 4 al secondo membro ed
avergli cambiato di segno
5x-2x=6+2x-4-2x
5x-2x=6-4
Addizioniamo ad ambo i membri -2x
È come aver spostato 2x al primo membro
ed avergli cambiato di segno
Conseguenza del secondo principio d’equivalenza
È possibile eliminare il coefficiente dell’incognita
3x=2
Dividendo ambo i membri
dell’equazione per 3
x=2/3
È possibile ridurre equazioni a coefficienti razionali a equazioni a coefficienti
interi
2
1
4
1
3
x
6

5
x 
2
20 x  5  24 x
15

30
30
20 x  5  24 x 15

 30
30
30
20 x  5  24 x 15
30 

 30
30
30
30 
20x+5-24x=15
Concludendo:
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
• Si dice equazione di primo grado nell'incognita x
ogni equazione del tipo:
ax + b = 0
con a, b coefficienti numerici , a 0.
• Soluzione:
x=-b/a
Esempio:
2x - 3 = 0
x=3/2
Equazione
ax = b con a,b,x
Equazioni
determinate
(una soluzione)
Equazioni
indeterminate
(infinite soluzioni)
Equazioni
impossibili
(nessuna soluzione)
ax = b
0x = 0
0x = b