I.P.S.I.A. “L. Settembrini” Via G. Deledda, 11 – Milano
http:\www.settembrini.mi.it - e-mail: [email protected]
Sezione associata con
Istituto di Istruzione Superiore Statale “James Clerk Maxwell”
Via Don Calabria, 2 – 20132 – Milano
Dirigente Scolastico: Ing. Giuseppe SAMMARTINO
Progetto G.L.H..
Prof.
Gianluca AGOSTA
Grafico ed
esperto informatico
Vincenzo Domanico
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PRESENTAZIONE
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Il progetto consiste nel realizzare un’unità di lavoro relativa alla
disciplina logico matematica. Si potenzieranno le capacità
logiche e di apprendimento attraverso l’osservazione e
l’interazione dell’allievo con il computer. Tale modo faciliterà
l’apprendimento nel tempo e nell’efficacia. Inoltre saranno
presentati dei test di verifica che permetteranno di verificare e
valutare l’apprendimento stesso.
METODOLOGIA: l’azione didattica può essere svolta in piccoli
gruppi (alunni con disturbi di apprendimento, alunni normodotati e dal docente) o con un intervento individualizzato.
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UNITA’ DIDATTICA
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L’EQUAZIONE ALGEBRICA
OBIETTIVI
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PREREQUISITI
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RICONOSCERE UN’EQUAZIONE DI 1° GRADO
SAPER RISOLVERE E CLASSIFICARE.
SAPER APPLICARE ED UTILIZZARE CORRETTAMENTE
LE NOZIONI LOGICO MATEMATICHE ACQUISITE.
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_
_
IDENTITA’ ED EQUAZIONE.
EQUAZIONE EQUIVALENTE.
EQUAZIONE DI PRIMO GRADO.
EQUAZIONI INTERE.
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ESPRESSIONE ALGEBRICHE LETTERALI,
MONOMI, POLINOMI).
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_
CONTENUTI
COMPRENDERE IL CONCETTO DI UGUAGLIANZA.
COMPRENDERE IL CONCETTO DI EQUIVALENZA.
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DEFINIZIONE E TERMINOLOGIA
IDENTITA’
SI CHIAMA IDENTITA’ UN’UGUAGLIANZA FRA DUE ESPRESSIONI LETTERALI CHE
RISULTA VERIFICATA PER QUALUNQUE VALORE DATO ALLE LETTERE CHE IN
ESSA COMPAIONO.
ESEMPI D’IDENTITA’: X2-2X+1=(X-1)2
(a+1)3=a3+3a2+3a+1
EQUAZIONE
SI CHIAMA EQUAZIONE UN’UGUAGLIANZA FRA DUE ESPRESSIONI LETTERALI
CHE RISULTA VERIFICATA SOLO PER PARTICOLARI VALORI DELLE LETTERE CHE
COMPAIONO IN ESSA.
ESEMPIO: 5X – 4 = 1
è verificata per x = 1
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• LE ESPRESSIONI CHE COMPAIONO A SINISTRA E A DESTRA DELL’UGUALE
VENGONO CHIAMATE RISPETTIVAMENTE PRIMO MEMBRO E SECONDO
MEMBRO DELL’EQUAZIONE.
• I VALORI CHE SOSTITUITI ALLE LETTERE VERIFICANO L’UGUAGLIANZA
VENGONO CHIAMATI SOLUZIONI O RADICI DELL’EQUAZIONE.
• DUE EQUAZIONI SI DICONO EQUIVALENTI QUANDO AMMETTONO LE STESSE
SOLUZIONI.
Segue…
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COME RISOLVERE LE EQUAZIONI
•Non esiste un metodo unico per la risoluzione di tutti i tipi di equazioni. Vi sono
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però due principi di equivalenza che hanno validità di carattere generale.
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PRIMO PRINCIPIO DI
EQUIVALENZA
SECONDO PRINCIPIO DI
EQUIIVALENZA
Se si aggiunge o si sottrae una
stessa espressione letterale,
contenente o no l’ incognita, per
entrambi i membri, si ottiene
un’equazione equivalente.
Se si moltiplica o si divide entrambi
i membri di un’equazione per uno
stesso numero, diverso da 0, una
stessa espressione letterale (
escludere i valori delle lettere che
la annullano o che la rendono priva
di significato), si ottiene
un’equazione equivalente alla
precedente.
ESEMPIO
ESEMPIO
Conseguenza
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1° Esempio
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=
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Le equazioni possono essere paragonate ad una bilancia. Il contenuto
del piatto di sinistra corrisponde al primo membro, quello di destra al
secondo membro e l’ago deve indicare il segno “=“.
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I principi di equivalenza possono essere pensati come regole per
aggiungere degli oggetti su due piatti in modo da far restare l’ago sul
segno “=“.
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Primo principio di equivalenza
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=
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Se si aggiunge un pesetto su un solo piatto l’ago indica che non vi è
più l’uguaglianza.
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Primo principio di equivalenza
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=
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Se si aggiunge il pesetto uguale anche sul secondo piatto, allora l’ago
ritorna ad indicare il segno “=“.
Quindi il “primo principio della bilancia può essere sintetizzato
dicendo: se in una bilancia con l’ago posizionato sul segno “=“, si
aggiungono pesetti uguali su due piatti, l’ago oscilla un po’ ma poi
torna a indicare il segno “=“.
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Primo principio di equivalenza
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2° Esempio
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=
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Le equazioni possono essere paragonate ad una bilancia. Il contenuto
del piatto di sinistra corrisponde al primo membro, quello di destra al
secondo membro e l’ago deve indicare il segno “=“.
I principi di equivalenza possono essere pensati come regole per
aggiungere degli oggetti su due piatti in modo da far restare l’ago sul
segno “=“.
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Secondo principio di equivalenza
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=
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Se si raddoppia (si moltiplica per due) il contenuto di un solo piatto,
l’ago indica che non vi è più l’uguaglianza.
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Secondo principio di equivalenza
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=
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Se si raddoppia (si moltiplica per due) anche il contenuto del secondo
piatto allora l’ago torna a indicare il segno “=“. Quindi il “secondo
principio della bilancia può essere sintetizzato dicendo: se, in una
bilancia con l’ago posizionato sul segno “=“, si raddoppia il contenuto
dei due piatti, l’ago oscilla un po’ ma poi torna a indicare il segno “=“.
Lo stesso succede se si triplica, dimezza ecc….
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Secondo principio di equivalenza
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Conseguenza dei principio di equivalenza
•I due principi consentono di scrivere l’equazione in una
forma equivalente, più semplice, con le stesse soluzioni.
•Se nel primo membro si trovano termini uguali a quelli del secondo,
si possono elidere ( eliminare ).
X2+2x-5=x2-x-2 (ossia si sottrae una stessa espressione “x2”)
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•Si possono portare i termini da un membro all’altro cambiando il loro
segno. In particolare si possono portare tutti i termini con la x al
primo membro (cambiando il loro segno) e tutti i termini noti al
secondo membro (sempre cambiando il loro segno).
2x-5=-x-2
è equivalente
2x+x=5-2
Il primo principio da solo non sempre consente di risolvere nemmeno
l’equazione di primo grado. Infatti nel nostro caso è rimasto 3x=3,
per ottenere la x, bisogna dividere il primo e secondo membro per
tre, ossia applicare anche il secondo principio di equivalenza.
3x=3
3x/3=3/3
x=1.
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Equazioni intere
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La risoluzione di un’equazione di primo grado ridotta alla forma tipica a x = b è molto 02
semplice.
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Infatti, supposto che sia a = 0, dividendo ambedue i membri dell’equazione per a, (il che è
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consentito dal secondo principio di equivalenza), si ottiene
x  0.
Da ciò segue che l’equazione di primo grado a x = b, con a = 0, ammette l’unica soluzione a
/ b e quindi l’equazione è determinata.
Se risulta a = 0, l’equazione diventa 0 • x = b: allora se la costante b è diversa da zero è
evidente che l’equazione è impossibile ; se invece anche la costante b è nulla, l’equazione si
riduce all’identità 0 • X = 0 ed è pertanto indeterminata, perché verificata da un valore
qualsiasi della x.
a 0
x=
ax=b
b
b
a=0
b=
0
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a
0
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0•X=b
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equazione impossibile
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0•x=0
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Equazione indeterminata
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Il procedimento logico che si deve attuare per analizzare tutti i
possibili casi che possono presentarsi nel risolvere la generica
equazione di primo grado a x = b si può rappresentare anche con il
seguente schema:
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Test di verifica
Che cosa si intende per uguaglianza?
1)
Un’uguaglianza fra due espressioni letterali, è verificata per
qualunque valore dato alle lettere che in essa figurano.
2)
Un’uguaglianza fra due espressioni letterali non è verificata per
qualunque valore dato alle lettere che in essa figurano.
3)
Un’uguaglianza fra due espressioni letterali, è verificata con un
solo valore dato alle lettere che in essa figurano.
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Che cosa si intende per equazione?
1)
Le uguaglianze fra due espressioni letterali verificate solo per
particolari valori date alle lettere.
2)
Le uguaglianze fra due espressioni letterali verificate per qualsiasi
valori dato alle lettere.
3)
Le uguaglianze fra due espressioni letterali mai verificate .
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Quanti sono i principi di equivalenza che ti permettono di
risolvere una equazione?
1)
2
2)
3
3)
1
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Test di verifica
Quando un’ equazione è impossibile?
1)
2)
3)
0 • X=5
X=5
X=5/2
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Quando un’equazione è indeterminata?
1)
2)
3)
0 • X=0
X=6/7
X=6
Quando un’equazione è determinata?
1)
2)
0 • X=0
X=4
3)
0 • X=4
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Test di verifica
Trova tra seguenti risoluzioni quella esatta.
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3(x-1)-2x=4(x-2)-1
3x-3-2x=4x-8-1
3x-2x-4x=+3-8-1
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Risoluzioni:
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1)-3x=-6
+3x/3=+6/3
x=2
2)-3x=-6
x=-6-3
x=-9
3)-3x=-6
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Le strategie suggerite sono utili per insegnare agli alunni, e
soprattutto a quelli con difficoltà di apprendimento o con scarso
rendimento, abilità di comprensione del testo e di scrittura. E’
opportuno evidenziare che si tratta di suggerimenti generali che
l’insegnante può adattare e sviluppare ulteriormente per
soddisfare i bisogni specifici degli alunni e della classe.
CHIUSURA
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FINE