La rivoluzione copernicana
A cura di
Adriano
Ingallinera
Introduzione
“Quando siamo seduti di notte sotto il cielo stellato, nel quale contrastano l’eterno buio del
vuoto e la gelida luce delle stelle, non possiamo non porci delle domande”. È questa la frase,
semplice e coinvolgente, dalla quale, in tempi lontanissimi, è partito lo studio dei fenomeni
celesti. Le discipline che si occupano di questo studio sono l’astronomia e l’astrofisica.
L’astronomia è nata con finalità pratiche, in un tempo in cui non esistevano ancora le bussole
era di fondamentale importanza orientarsi conoscendo la posizione dei corpi celesti. Come
accadde però per molte scienze, si passò da conoscenze con fini pratici a conoscenze teoriche.
L’astronomia progredì nella Grecia del V secolo con Aristotele. Dopo un periodo di splendore
però l’astronomia attraversò una fase di crisi(coincidenti più o meno con il medioevo) a causa
della Chiesa: le ipotesi Aristoteliche ben si conciliavano con l’universo descritto dalla Bibbia e
quindi ogni tentativo di modificare il sistema aristotelico significava immediatamente commettere
un’eresia. Nel XVI secolo le cose, almeno per quanto riguarda gli scienziati, cambiarono: Nicolò
Copernico pubblicò le sue tesi su un universo eliocentrico e, anche se queste tesi vennero
osteggiate e condannate dalla chiesa, diedero l’impulso agli scienziati che sarebbero venuti
dopo: era l’inizio dell’astronomia moderna,destinata a grandi progressi anche grazie all’
’integrazione dell’astrofisica.
Il cielo ad occhio nudo
Quando per la prima volta Galileo puntò un cannocchiale verso il cielo era già l’anno del
Signore 1610. Tutte le osservazioni fatte prima dell’avvento di questo fondamentale strumento
avvenivano ad occhio nudo. Osservando il cielo ad occhio nudo si possono vedere diverse
centinaia di stelle (in una notte con cielo terso e lontano da luci parassite se ne possono
osservare anche più di tremila contemporaneamente);esse, a causa del movimento di rotazione
della Terra, sorgono ad est e tramontano ad ovest in circa 12 ore, per poi risorgere di nuovo
dopo altre 12 ore. Queste stelle hanno una caratteristica fondamentale: durante gli anni,
mantengono pressoché invariate le loro posizioni reciproche tanto da meritarsi l’appellativo di
“stelle fisse”. Poiché circa 90% di queste stelle si trovano in una fase stabile della loro vita
(detta sequenze principale) la loro luminosità non varia; le altre 10% si trovano in una fase
instabile che le porta a cambiare luminosità ma o in maniera non percepibile dall’occhio umano
o con estrema regolarità: per queste ragioni si è pensato per anni che le “stelle fisse” fossero
anche immutabili. Sopra lo sfondo di queste “stelle fisse” ci sono sette corpi che variano la loro
posizione rispetto alle altre stelle. Gli antichi astronomi hanno dato a questi sette corpi il nome
di pianeti. Ed in particolare, facendo riferimento ai miti, li hanno chiamati: Luna, Sole,
Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno. Oggi sappiamo che il Sole non è un pianeta ma è una
stella come tutte le altre e che esistono altri tre pianeti ruotanti attorno ad esso ma quest’ultimi
sono troppo deboli per essere visti ad occhio nudo.
Il sistema aristotelico
Aristotele fu il primo a dare un ordine all’universo. Partendo dal presupposto che la Terra fosse sferica (già
avanzato secoli prima da Pitagora) e dando alla forma sferica significati mistici, concepì l’universo nel
seguente modo esso è sferico e delimitato dalla sfera delle stelle fisse; la Terra occupa fissa il centro
dell’universo; tra la Terra e le stelle fisse si muovono, trasportati da sfere di cristallo tutte concentriche alla
Terra e man mano più grandi, i pianeti :Luna, Mercurio, Venere, Sole, Marte, Giove e Saturno. Per
Aristotele i pianeti e le stelle erano costituiti dalla cosiddetta quintessenza: essa era immutabile e
incorruttibile. Non aveva significato ricercare le cause del movimento dei pianeti: essi non essendo fatti
delle stesse sostanze terrestri (acqua, aria, fuoco e terra) non erano soggetti alle leggi fisiche. L’ordine dei
pianeti era determinato dal tempo che intercorre tra due passaggi del pianeta stesso per un punto
prefissato. Questi tempi sono oggi i tempi di rivoluzione dei pianeti attorno al Sole, della Luna attorno alla
Terra e della Terra attorno al Sole; l’ordine è il seguente: Luna (circa 1 mese), Mercurio (circa 3 mesi),
Venere (circa 7 mesi e mezzo), Sole (1 anno), Marte (quasi 1 anno e 10 mesi), Giove (quasi 12 anni) e
Saturno (più di 29 anni). Il movimento giornaliero dei corpi celesti da Est ad Ovest veniva spiegato dalla
rotazione dell’universo in senso orario. Il fatto che la Terra occupasse una posizione privilegiata era
testimoniato da due cose: una concezione del mondo fortemente antropocentrica (che durerà a lungo nel
mondo scientifico e che ancora oggi persiste ); la spiegazione fisica della caduta dei corpi a terra veniva
giustificata dal fatto che ogni corpo tendeva a raggiungere un luogo situato al centro dell’universo che
coincideva sperimentalmente con quello della Terra.
Il sistema aristotelico avrebbe avuto un’immensa fortuna nei secoli successivi (sebbene, come vedremo,
leggermente modificato) rappresentando un modello di riferimento per scienziati europei (= Chiesa), arabi
e per poeti: la struttura del Paradiso di Dante, ad esempio, ricalca fedelmente proprio il sistema
aristotelico.
Rappresentazione del sistema aristotelico
Il sistema tolemaico
Il sistema aristotelico era, dal punto di vista stilistico, perfetto. L’universo era dominato unicamente dalla
forma sferica (perfetta) e i pianeti si muovevano di moto circolare uniforme. Tuttavia questa perfezione
stilistica era in disaccordo con i dati visivi. Secondo il sistema aristotelico i pianeti dovevano muoversi di
moto circolare uniforme; questo fatto comportava che durante ogni loro rivoluzione attorno alla Terra
dovevano descrivere in cielo, rispetto alle “stelle fisse”, una circonferenza muovendosi a velocità costante.
Questa velocità costante non era però osservata in nessun pianeta, ma soprattutto i tre pianeti più esterni
(Marte, Giove e Saturno) sembravano rallentare tanto da fermarsi e addirittura tornare indietro (moto
retrogrado) per poi riprendere, dopo qualche giorno, il loro normale senso di percorrenza. Il sistema
aristotelico doveva essere modificato. Il modo in cui attuare questa modifica fu suggerito da Ipparco (II
sec. a.C.). I suoi studi furono ampliati e approfonditi circa 300 anni dopo da Tolomeo (II sec. d.C.) e tale
modo di concepire l’universo viene detto sistema Tolemaico. Secondo il sistema tolemaico la Terra è fissa
al centro dell’universo,è delimitato dalla sfera delle “stelle fisse”.e i pianeti si muovono attorno alla Terra
descrivendo una particolare curva (epicicloide) data dalla composizione di due moti circolari uniformi: ogni
pianeta infatti descriveva un piccola orbita attorno ad un punto situato vicino al pianeta stesso (epiciclo); il
centro di questa orbita, a sua volta, descriveva un orbita circolare più grande attorno alla Terra
(deferente). In questo modo il sistema tolemaico cercava di dare una spiegazione (per la verità parecchio
artificiosa) al moto retrogrado dei pianeti esterni. Ciò però aveva portato le leggi del moto dei pianeti ad
una forma troppo complicata tanto che non si riuscì a rimpiazzare il molto più chiaro e semplice sistema
aristotelico.
Approfondimento matematico su epicicli e deferenti
Spiegazione fisica del moto retrogrado
Rappresentazione del sistema tolemaico
Il sistema copernicano
Il sistema aristotelico (modificato da Ipparco e Tolomeo) resistette per quasi 2000 anni. Dal punto di vista
scientifico però neanche il sistema tolemaico poteva essere considerato esauriente. Non era servita a
granché l’ultima modifica apportata dallo stesso Tolomeo al sistema, di spostare leggermente il centro dei
deferenti dal centro della Terra, per poter spiegare le anomalie del moto dei pianeti. In un contesto di
rinascita culturale (1500) si formò l’astronomo Nicolò Copernico(1473/1543 ,”De Revolutionibus orbium
coelestium 1543). Egli propose (riprendendo per la verità alcuni filosofi e astronomi greci quali Aristarco)
che non era la Terra al centro dell’universo ma il Sole (sistema eliocentrico): attorno al Sole (immobile)
orbitavano nell’ordine Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove e Saturno; la Luna restava orbitante attorno
alla Terra; i pianeti si muovevano di moto circolare uniforme trasportati da sfere materiali. Il limite
dell’universo era sempre costituito dalla sfera delle “stelle fisse”. Con l’introduzione di un sistema
eliocentrico si era tornati ad un sistema fisico molto semplice capace di spiegare il moto retrogrado dei
pianeti e soprattutto il fatto che i pianeti sembravano rallentare o accelerare durante le loro rivoluzioni;
infatti nel sistema copernicano la distanza tra la Terra ed un pianeta varia continuamente. Il sistema
copernicano aveva stravolto l’intero pensiero scientifico del tempo ma in fondo si portava dietro ancora
elementi tradizionali (comprese le incongruenze): secondo copernico i pianeti si muovevano perché
trasportati da sfere materiali, e quindi di moto circolare che per giunta veniva ritenuto uniforme. Ciò
comportava che neanche il sistema copernicano riusciva a spiegare bene le anomalie del moto dei
pianeti.
Rappresentazione del sistema copernicano
Fine dell’antropocentrismo
Il pensiero di trovarsi al centro di tutto ha accompagnato l’uomo da sempre. Tutte le dottrine religiose
partono da questo presupposto: secondo la religione ebreo-cristiano-islamica Dio ha creato la Terra ed in
essa ha fatto nascere la vita. È questo che si insegna ai discendi da diversi millenni. Questo concetto è
fortemente antropocentrico in quanto l’attenzione di un essere superiore si concentra solamente sulla
Terra (che viene elevata scioccamente sugli altri corpi celesti) ed in particolare sull’uomo (che viene,
ancora oggi!, considerato, parecchio più scioccamente, diverso dagli animali) che si trova ad occupare il
posto più privilegiato dell’universo (il centro). Si comprende da ciò quanto, nel periodo rinascimentale,
l’antropocentrismo, alimentato non solo dalla Chiesa ma anche dalle dottrine rinascimentali, fosse
radicato nelle menti degli uomini. Il sistema copernicano fu sì una rivoluzione scientifica ma fu
maggiormente una rivoluzione dell’immaginario comune: l’uomo che si era ritenuto da sempre e per
sempre al centro, capace grazie al rinascimento di poter dominare la natura, veniva sbalzato ora in
periferia,essere vivente in un pianeta al pari di tanti altri, senza nulla di privilegiato. Questo
decentramento avrebbe poi influito parecchio sulla cultura del secolo successivo (1600). In campo
artistico e letterario si sarebbe sviluppato il barocco, in netta contrapposizione con le dottrine
rinascimentali, mentre in campo scientifico, grazie soprattutto a Galileo Galilei, sarebbe nata la fisica
come oggi la conosciamo che supererà la distinzione, che aveva fatto Aristotele, tra mondo lunare e
sublunare (non aveva più senso ritenere la Terra diversa dagli altri pianeti).
La condanna della chiesa
Copernico raccolse le sue teorie nel libro De revolutionibus, pubblicato nel 1543, lo stesso anno della
morte di Copernico. Il motivo che obbligò Copernico a non pubblicare le sue teorie risiedeva nella
condanna ecclesiastcia che colpivano coloro che contraddicevano, più o meno scopertamente, le sacre
scritture.Queste persone venivano considerate eretiche. Alla fine del XVI secolo la Chiesa si avviava ad
entrare in un periodo orribile segnato da un indicibile rigore e dall’istituzione dell’inquisizione. Se in un
primo momento le teorie di Copernico non avevano avuto seguito (anzi con T. Brahe si era tornati al
geocentrismo) agli inizi del 1600 esse furono riprese da Keplero e da Galileo. La Chiesa a questo punto
corse ai ripari e nel 1616 il libro De revolutionibus fu inserito nell’indice dei libri proibiti e tutte le teorie
copernicane, kepleriane e galileane concernenti l’astronomia furono condannate. Di questi tremendi
sbagli la Chiesa si scuserà, ammettendo l’errore, quasi quattrocento anni più tardi: è infatti il 1994 quando
il papa Giovanni Paolo II ammette ufficialmente gli errori della Chiesa nei riguardi di Copernico, Keplero e
Galileo.
Il sistema di Thyco Brahe
Thyco Brahe (1546/ 1601 )astronomo danese ,con un sestante e d una bussola misurò l’altezza degli
astri sull’orizzonte . Egli trascorse la sua vita ad osservare il cielo e a raccogliere dati. La precisione delle
sue misurazioni è anche una decina di volte superiore a quella normale e ciò gli permise di descrivere
parecchi fenomeni dettagliatamente. Se da un lato con Thyco Brahe l’astronomia ha fatto un passo
indietro, dall’altro ne ha fatto molti in avanti. Come molti altri astronomi a lui contemporanei, egli si
accorse che neanche il sistema copernicano era sufficiente a spiegare le anomalie del moto dei pianeti.
Propose così un sistema più complicato, detto sistema thyconico, che risultava essere una sorta di
compromesso tra il sistema tolemaico e quello copernicano. Secondo Thyco Brahe la Terra era immobile
al centro della sfera delle “stelle fisse” (che delimitava l’intero universo). Attorno alla Terra orbitavano la
Luna e il Sole. Attorno al Sole orbitavano poi (in senso opposto a quello del Sole attorno alla Terra) i
cinque pianeti: Mercurio e Venere tra la Terra e il Sole, Marte, Giove e Saturno esternamente alla Terra e
al Sole. Con questa rappresentazione Thyco Brahe, oltre a voler migliorare il sistema copernicano, evitò
anche le possibili accuse della Chiesa. Questo ritorno al geocentrismo viene compensato da due scoperte
fondamentali per lo sviluppo dell’astronomia. Nel 1572 egli osservò che nella costellazione di Cassiopea
era comparsa una stella “nuova” (oggi noto fenomeno esplosivo detto nova o supernova) e quindi non era
corretto l’appellativo di immutabile dato alle “stelle fisse”. In secondo luogo, nel 1577, egli si trovò ad
osservare il moto di una cometa che orbitava in prossimità del Sole. Egli calcolò in modo accuratissimo
l’orbita e si rese conto che essa intersecava le orbite dei pianeti. Veniva così a cadere anche l’esistenza
delle sfere materiali responsabili del moto dei pianeti: essendo infatti materiali non potevano essere
attraversate dai corpi. Il sistema thyconico durò ben poco, tuttavia le sue scoperte avrebbero segnato la
strada dell’astronomia moderna.
Rappresentazione del sistema thyconico
Il sistema kepleriano
Il sistema thyconico fu il primo sistema a prevedere le anomalie del moto dei pianeti. Tuttavia la sua
descrizione matematica era molto complicata, forse più di quella del sistema tolemaico. Otto anni dopo la
morte di Thyco Brahe, un allievo di lui, ( 1571/1630), pubblica un libro rivoluzionario: Astronomia nova
(1609). In questo libro Keplero propone una sua interpretazione dell’enorme quantità di dati del suo
maestro. Egli capì che se si considera il Sole al centro dell’universo e le orbite dei pianeti attorno ad esso
di forma ellittica si poteva ottenere un modello molto corrispondente alla realtà e di facile descrizione
matematica. Il sistema kepleriano era dunque così formato: il Sole era immobile al centro dell’universo
(sfera delle “stelle fisse”); attorno ad esso orbitavano su orbite ellittiche di diversa eccentricità (comunque
sempre prossima a zero) i pianeti nell’ordine: Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove e Saturno; la Luna
orbitava attorno alla Terra anch’essa su un orbita ellittica. Keplero evidentemente accolse la teoria del
maestro (Thyco Brahe) della non esistenza delle sfere materiali come presupposto fondamentale delle
orbite ellittiche. Il sistema kepleriano riuscì a spiegare con ottima approssimazione i moti dei pianeti.
Inoltre Keplero dedusse dalle innumerevoli osservazioni tre leggi che regolano proprio i moti dei pianeti.
Queste tre leggi riescono a dare una spiegazione cinematica ai sistemi orbitanti semplici (pochi corpi,
molto distanti gli uni dagli altri e poco massivi). In seguito vedremo come altre piccole anomalie che
furono riscontrate nei moti dei pianeti resero obsolete (o comunque grossolane) le leggi di Keplero.
Rappresentazione del sistema kepleriano
Prima legge di Keplero
La prima legge di Keplero descrive geometricamente le orbite dei pianeti attorno al Sole. Essa afferma
che:
i pianeti ruotano attorno al Sole descrivendo orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
I fuochi di un’ellisse sono due punti appartenenti all’asse maggiore tale che la somma delle distanze di
qualsiasi punto dell’ellisse da ognuno dei due fuochi è costante. Ciò fa sì che il Sole non sia al centro ma
leggermente spostato da esso. In particolare si definisce eccentricità di un ellisse il rapporto tra la
distanza focale e l’asse maggiore. Questa grandezza varia da 0 a 1. Quando è zero l’ellisse diventa una
circonferenza; quando si avvicina ad 1 l’ellisse diventa sempre più schiacciata e i fuochi si spostano
(simmetricamente) sempre più dal centro. È bene notare che le eccentricità delle orbite dei pianeti sono
molto piccole (per la Terra vale circa 0,017): ciò fa sì che le orbite dei pianeti siano in realtà molto
prossime a circonferenze.
Seconda legge di Keplero
La seconda legge di Keplero riguarda invece la velocità con cui un pianeta ruota attorno al Sole. Essa
afferma che:
il raggio vettore congiungente il centro del Sole al centro del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali.
Per capire il significato di questa legge osserviamo la figura sottostante.
Consideriamo due diversi momenti della rivoluzione del pianeta attorno al Sole. Per la seconda legge di
Keplero se consideriamo un intervallo di tempo Dt, identico nei due momenti, le aree A1 e A2 devono
essere uguali. Ma si vede che, dovendo essere le aree uguali, quando il pianeta è più vicino al Sole
percorre più spazio di quanto ne percorre quando ne è lontano. Percorrendo spazi diversi in tempi uguali
anche le velocità orbitali saranno diverse ed in particolare la velocità del pianeta sarà tanto maggiore
quanto più vicino esso sarà al Sole.
Terza legge di Keplero
La terza legge di Keplero non ha alcun significato se si considera un singolo pianeta, ma è una legge di
fondamentale importanza quando si considerano tutti i pianeti. Essa afferma che:
il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione è costante.
il fatto che il rapporto di queste due grandezze sia costante significa che le due grandezze sono tra loro
direttamente proporzionali. Ciò vuol dire che aumentando il cubo del semiasse maggiore aumenterà pure
il quadrato dei tempi di rivoluzione. Il semiasse maggiore e il periodo di rivoluzione sono dunque legati tra
loro da una proporzionalità esponenziale di esponente 3/2; ad esempio se quadruplichiamo il semiasse
maggiore il periodo diventerà otto volte più lungo. Questo spiega perché i pianeti esterni impiegano
diversi anni per completare una rivoluzione.
Deduzione fisico-matematica delle leggi di Keplero
Dopo Keplero
Dopo che Keplero aveva dato una rappresentazione cinematica soddisfacente del sistema solare
nacque l’astronomia moderna. Nel 1610 (un anno dopo la pubblicazione di Astronomia nova)
Galileo (1564/1642 ,”Dialogo sopra i due massimi sistemi “1643) puntò il cannocchiale verso il
cielo. Egli fece innumerevoli scoperte tra cui: i rilievi lunari, le fasi di Mercurio e Venere, la vera
composizione della Via Lattea e i quattro satelliti di Giove più grandi (da lui detti medicei in
onore alla famiglia De’ Medici). Osservando proprio il moto di questi quattro satelliti Galileo
vide che essi riproducevano in miniatura un sistema copernicano avvalorandolo (e avvalorando
soprattutto quello kepleriano). Per le sue scoperte Galileo fu costretto dalla chiesa ad abiurare.
Il primo che volle dare una spiegazione del moto dei pianeti fu Isaac Newton.(1642/1727
,”Naturalis Principia Mathematica” 1687)Egli dapprima generalizzò la prima legge di Keplero
affermando che le orbite, oltre che ellittiche, potevano essere anche circolari, paraboliche ed
iperboliche; poi dedusse la cosiddetta legge di gravitazione universale. Essa afferma che due
corpi si attraggono con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse ed
inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Questa legge ha un importanza
enorme: essa non si limita a descrivere i moti dei pianeti attorno al Sole ma si estende a tutti i
corpi. La fisica terrestre e quella celeste sono ormai fuse tra loro e da questo punto di vista le
leggi della fisica valgono sia sulla Terra che sugli altri corpi celesti (la prima conferma
sperimentale di ciò fu trovata nel 1969 dagli astronauti dell’Apollo 11 direttamente sul suolo
lunare). Grazie all’uso sistematico del cannocchiale per osservare il cielo e all’invenzione del
telescopio, si compirono passi enormi. Si capì che il Sole non era altro che una stella come tutte
quelle che si vedono in cielo (100 miliardi nella nostra galassia) relegata in una posizione…
…periferica di una galassia come le altre (100 miliardi in tutto l’universo) situata in una
posizione qualsiasi nell’universo. Il decentramento è totale. La legge di gravitazione di Newton
non ebbe rivali fino ai primi anni del 1900. Si osservò infatti che il perielio dell’orbita di
Mercurio ruotava attorno al Sole di un grado ogni diecimila anni. Questo fenomeno non era
minimamente previsto dalla legge di Newton e trovò spiegazione solo con l’avvento della teoria
della relatività generale di A. Einstein (1879/ 1955 ,1905 relatività ristretta, 1916 relatività
generale)Secondo questa teoria la presenza di masse incurva lo spazio-tempo
quadridimensionale facendo sì che, nelle zone prossime al corpo massivo, la geometria euclidea
non sia più valida. Ciò comporta che un corpo orbitante attorno ad un corpo molto massivo
risenta della curvatura dello spazio- tempo ed è costretto a muoversi lungo una geodetica di tale
spazio (la geodetica è la linea più breve che congiunge due punti, nella geometria euclidea è il
segmento di retta) che è generalmente diversa da una retta; le masse dicono allo spazio-tempo
come incurvarsi, lo spazio-tempo dice alle masse come muoversi. Secondo la teoria della
relatività non sono solo le masse a risentire della gravità ma anche un raggio di luce che passa
vicino ad un corpo molto massivo viene incurvato. In seguito agli studi di A. Einstein e di E.
Hubble(1889/1953 ,1940 legge di Hubble sulla relazione che lega la velocità di allontanamento
delle galassie alla loro distanza dalla terra ) nacque la cosmologia moderna. Essa si occupa di
descrivere le varie fasi della vita dell’universo. Fu proprio grazie alle osservazioni di Hubble che
si capì che l’universo era in espansione e che quindi deve avere avuto un inizio (detto Big Bang).
Lo sviluppo della fisica quantistica( a partire dalle tesi di Planck e di Einstein) ha permesso di
comprendere cosa sia avvenuto nelle prime fasi della storia dell’universo. In questo senso la
collaborazione astrofisica-fisica quantistica ha portato a compiere passi enormi (nell’equazione
di campo di Einstein è inclusa la cosiddetta “equazione di Dio” capace secondo studi recenti di
spiegare qualsiasi cosa) ma anche a diversi interrogativi: si svilupperà l’universo, esiste davvero
il gravitone, sono possibili i viaggi nel passato, ecc.
Epicicli e deferenti
In geometria su definisce epicicloide una curva piana descritta da un punto rigidamente collegato
ad un cerchio che rotoli senza scivolare sopra un cerchio fisso del suo piano e sia tangente
esternamente a tale cerchio. L’epicicloide può essere ordinaria, accorciata o allungata a secondo
che il punto sia sul cerchio, interno ad esso od esterno ad esso.
Moto retrogrado
Il moto retrogrado è un movimento apparente sulla sfera celesta dei pianeti esterni. Questi pianeti
sembrano, ad un certo punto, fermarsi nel cielo, tornare indietro e poi riprendere il loro cammino.
Questa apparente stranezza ha una spiegazione facilissima. I pianeti che orbitano attorno alla
Terra si muovono più lentamente di essa; capiterà così che la Terra ad un certo punto della sua
orbita “sorpasserà” il pianeta dando l’impressione che questo si muova all’indietro. Una
situazione analoga avviene quando compiamo un sorpasso con la macchina: affiancando la
macchina da sorpassare essa sembra muoversi all’indietro.
Leggi di Keplero
La prima legge di Keplero deriva dall’espressione della forza gravitazionale di Newton:
F  G
m1 m 2
r2
Come si vede in essa il termine della distanza è al quadrato. In un riferimento cartesiano equivale quindi a disegnare una curva di secondo grado (dette coniche). Esse sono
circonferenza (eccentricità uguale a zero), ellisse (eccentricità compresa tra zero e uno), parabola (eccentricità uguale a uno) ed iperbole (eccentricità maggiore di uno).
La seconda legge è una conseguenza dell’energia meccanica. Un corpo in orbita possiede un energia meccanica data dalla somma dell’energia potenziale
mm
U  G 1 2
r
e dell’energia cinetica
1
K  mv 2
2
Diminuendo la distanza tra i due corpi (e quindi r) l’energia potenziale diminuisce; dovendo conservarsi l’energia meccanica però, l’energia cinetica aumenta ed in particolare
aumenta la velocità del corpo.
La terza legge di Keplero si ottiene eguagliando le due formule che danno la velocità di un oggetto in orbita circolare:
da cui si ottiene
2r
Gm

T
r
r3
Gm

2
T
4 2
che, dato che il secondo membro è costante, rappresenta l’espressione matematica della legge.