I Vettori
• Caratteristiche
• Operazioni
Prof. A. Sala
Uscita
Caratteristiche dei vettori
• Teoria
• Esercizio guidato
• Esercizi
Prof. A. Sala
Vettore è una grandezza caratterizzata da
 Punto di applicazione
 Modulo o intensità
 Direzione
 Verso
Per indicare che la grandezza è un vettore si pone una
freccia sopra la lettera che lo definisce:
A
La lettera senza la freccia, cioè A, indica il modulo di
tale vettore
Un vettore viene rappresentato mediante un segmento orientato come quello
disegnato qui sotto
A
testa o punta
coda
Tale segmento non può essere disegnato a caso ma deve rispettare le quattro
caratteristiche del vettore che rappresenta:
• la coda del vettore viene fatta coincidere con il punto di applicazione;
• la lunghezza del segmento rappresenta, in scala, il modulo del
vettore;
• l’inclinazione del segmento rappresenta la direzione;
• la freccia del segmento rappresenta il verso.
Questo è il vettore A rappresentato nella precedente diapositiva
A
La direzione ed il verso vengono definite contemporaneamente utilizzando un
angolo, come nel disegno sottostante:
A
a
Nota bene: – la linea rossa tratteggiata deve • essere orizzontale
• iniziare dalla coda del vettore
• essere diretta verso destra
– l’angolo è antiorario
Esercizio guidato
Rappresentare i seguenti vettori:
A
A= 120 N
angolo 90°
B
B = 120 N
angolo 180°
C
C = 120 N
angolo
0°
D
D = 120 N
angolo 270°
• Fissiamo per prima cosa un’opportuna scala di rappresentazione, in funzione
delle dimensioni del foglio su cui dobbiamo disegnare i quattro vettori;
• evitiamo di utilizzare il quadretto come unità di scala poiché risulta difficile
misurare in quadretti un segmento inclinato.
Utilizzando un foglio di formato A4, quello del vostro quadernone, scegliamo
la seguente scala:
20 N
1 cm
Con la seguente proporzione ricaviamo la lunghezza l del vettore che andiamo a
rappresentare:
20 N : 1 cm = 120 N : l
da cui
l
120 N  1cm
=
= 6 cm
20 N
Uscita
Esercizi
Rappresenta i seguenti vettori:
A
A = 20 N
angolo 30°
B
B = 40 N
angolo 45°
C
C = 30 N
angolo 60°
E
E = 50 N
angolo 120°
F
F = 65 N
angolo 135°
G
G = 72 N
angolo 150°
H
H = 32 N
angolo 210°
I
I = 36 N
angolo 240°
L
L = 25 N
angolo 315°
M
M = 30 N
angolo 330°
Alle pagine successive troverai le soluzioni
Operazioni con i vettori
• Somma di vettori
• Scomposizione di un vettore
• Moltiplicazione di un vettore per un numero
• Differenza di vettori
• Prodotto scalare di vettori
Prof.. A. Sala
Somma di vettori
Vogliamo eseguire la seguente operazione:
A + B = R
Poiché i due addendi A e B sono vettori, l’operazione da eseguire deve tener conto
di tutte le caratteristiche dei vettori e non solamente delle quantità numeriche che
rappresentano il loro modulo.
I metodi grafici utilizzati sono:
• metodo del parallelogramma
• metodo punta - coda
Casi particolari
Metodo del parallelogramma
• Fase 1 : si rappresentano i due vettori da sommare con
• la medesima scala
• la coda in comune
B
A
Metodo del parallelogramma
• Fase 2 : dalla punta del vettore A si manda la parallela al vettore B
B
A
Metodo del parallelogramma
• Fase 3 : dalla punta del vettore B si manda la parallela al vettore A
B
A
Si è costruito così un parallelogramma, ossia un quadrilatero avente i lati
opposti paralleli ed uguali
Metodo del parallelogramma
• Fase 4 : il vettore somma R = A + B unisce i vertici O e K del paralle =
logramma
K
B
R
O
A
Metodo del parallelogramma
• Fase 5 : si determina il modulo del vettore R moltiplicando la sua lunghezza
l in cm per il relativo fattore di scala
B
R
l
A
Metodo del parallelogramma
• Fase 6 : utilizzando un goniometro si misura l’angolo a che indica la direzione
ed il verso del vettore R
B
R
a
A
Esercizio guidato
Esercizio guidato
Sono dati i seguenti vettori:
A
A= 60 N
angolo 0°
B
B= 42 N
angolo 45°
Determinare con il metodo del parallelogramma
R = A + B
Scegliamo la seguente scala di rappresentazione per entrambi i vettori:
10 N
1 cm
Ricaviamo la lunghezza lA del vettore A da rappresentare con la seguente proporzione
10 N : 1 cm = 60 N : lA
da cui
lA = ( 60 N • 1 cm ) : 10 N = 6 cm
Ricaviamo la lunghezza lB del vettore B da rappresentare con la seguente proporzione
10 N : 1 cm = 42 N : lB
da cui
lB = ( 42 N • 1 cm ) : 10 N = 4,2 cm
Metodo punta - coda
• Fase 1 : si rappresentano i vettori da sommare
• con la medesima scala
• la punta del primo vettore coincide con la coda del secondo vettore
B
A
Metodo punta - coda
• Fase 2 : il vettore R = A + B unisce la coda del primo vettore con la punta
dell’ultimo vettore disegnato
R
B
A
Metodo punta - coda
• Fase 3 : si determina il modulo del vettore R moltiplicando la sua lunghezza
l in cm per il relativo fattore di scala
l
R
B
A
Metodo punta - coda
• Fase 4 : utilizzando un goniometro si misura l’angolo a che indica la direzione
ed il verso del vettore R
R
a
A
B
Esercizio guidato
Esercizio guidato
Sono dati i seguenti vettori:
A
A= 60 N
angolo 0°
B
B= 42 N
angolo 45°
Determinare con il metodo punta - coda
R = A + B
Scegliamo la seguente scala di rappresentazione e per entrambi i vettori:
10 N
1 cm
Ricaviamo la lunghezza lA del vettore A da rappresentare con la seguente proporzione
10 N : 1 cm = 60 N : lA
da cui
lA = ( 60 N • 1 cm ) : 10 N = 6 cm
Ricaviamo la lunghezza lB del vettore B da rappresentare con la seguente proporzione
10 N : 1 cm = 42 N : lB
da cui
lB = ( 42 N • 1 cm ) : 10 N = 4,2 cm
Casi particolari
• Somma di più vettori
• Somma di vettori equiversi
• Somma di vettori di verso opposto
• Somma di vettori paralleli equiversi
• Somma di vettori paralleli di verso opposto
Somma di più vettori
Se i vettori da sommare sono più di due viene utilizzato il metodo punta - coda.
Si dispongono i vettori, tutti con la medesima scala di rappresentazione, uno di
seguito all’altro: il vettore somma R unisce la coda del primo vettore con la
punta dell’ultimo.
D
R =A+B+C+D
C
R
B
A
Somma di vettori equiversi con medesimo punto di applicazione
Due vettori si dicono equiversi se hanno medesimo angolo.
Dati i vettori:
A
A = 10 N
angolo 0°
B
B= 5N
angolo 0°
ricaviamo il vettore R = A + B
Utilizziamo il metodo punta - coda:
2N
A
lA
B
N.B.: il vettore R è sovrapposto
lB
ai due vettori A e B
R
Si può quindi affermare che il vettore R ha
• per modulo la somma dei moduli, ossia R = A + B = 10 N + 5 N = 15 N
• lo stesso angolo dei due vettori A e B, cioè 0°
Somma di vettori di verso opposto e con medesimo punto di applicazione
Dati i vettori:
A
A = 10 N
angolo 0°
B
B= 5N
angolo 180°
ricaviamo il vettore R = A + B
Utilizziamo il metodo punta - coda:
1N
A
lA
R
N.B.: i vettori R e B sono
sovrapposti ad A
B
lB
Si può quindi affermare che il vettore R ha
• per modulo la differenza dei moduli, ossia R = |A - B| = 10 N - 5 N = 5 N
• l’angolo del vettore che ha modulo maggiore, cioè 0°
Somma di vettori paralleli equiversi
Sono dati i seguenti vettori paralleli:
A
A = 10 N
angolo 270°
B
B = 20 N
angolo 270°
posti a distanza:
determinare
d = 60 cm
R =A+ B
Risultano inapplicabili sia il metodo del parallelogramma che il metodo
punta - coda.
La risultante R ha le seguenti caratteristiche:
• modulo uguale alla somma dei moduli; cioè R = A + B = 30 N
• angolo uguale a quello dei vettori A e B, cioè 270°
• punto di applicazione
Il vettore R è posizionato tra i due vettori A e B ad una distanza inversamente
proporzionale ai moduli dei vettori stessi
d = 60 cm
5N
x
d-x
A
B
R
B•x=A•(d-x)
B•x=A•d-A•x
B • x +A• x =A• d
( B +A) •x =A• d
( 20 N + 10 N ) • x = 10 N • 60 cm
30 N • x = 600 N•cm
x = 600 N•cm : 30 N = 20 cm
Somma di vettori paralleli di verso opposto
Sono dati i seguenti vettori paralleli:
posti a distanza:
determinare
A
A = 10 N
angolo 270°
B
B = 20 N
angolo 90°
d = 60 cm
R =A+ B
Risultano inapplicabili sia il metodo del parallelogramma che il metodo punta -
coda.
La risultante R ha le seguenti caratteristiche:
• modulo uguale alla differenza dei moduli; cioè R = |A - B| = |10N - 20N| = 10N
• angolo uguale a quello del vettore di modulo maggiore , cioè 90°
• punto di applicazione
Il vettore R non si trova tra i due vettori A e B ma è posizionato dalla parte del
vettore di modulo maggiore , ad una distanza inversamente proporzionale ai
moduli dei vettori stessi
d = 60 cm
5N
x
d+x
A
R
B
B•x=A•(d+x)
B•x=A•d+A•x
B•x-A•x=A•d
( B -A) •x =A• d
( 20 N - 10 N ) • x = 10 N • 60 cm
10 N • x = 600 N•cm
x = 600 N•cm : 10 N = 60 cm
Scomposizione di un vettore secondo due direzioni
• Fase 1 : si rappresenta in scala il vettore A da scomporre e si tracciano, par =
tendo dalla sua coda, le due semirette di direzione assegnata
2
A
1
Scomposizione di un vettore
• Fase 2 : a partire dalla punta del vettore A si traccia la parallela alla direzione 1
2
A
1
Scomposizione di un vettore
• Fase 3 : a partire dalla punta del vettore A si traccia la parallela alla direzione 2
2
A
1
Scomposizione di un vettore
• Fase 4 : si è costruito così un parallelogramma di vertici O H K L.
2
H
K
A
O
L
1
Scomposizione di un vettore
• Fase 5 : la componente del vettore A secondo la direzione 1, ossia A1, unisce i
vertici O L; la componente del vettore A secondo la direzione 2, ossia
A2, unisce i vertici O H .
2
A = A1 + A 2
H
K
A2
A
O
A1
L
1
Scomposizione di un vettore
• Fase 6 : si determina il modulo A1 del vettore A1 moltiplicando la sua lunghezza
l1 in cm per il relativo fattore di scala; si determina il modulo A2 del
vettore A2 moltiplicando la sua lunghezza l2 in cm per il relativo fattore
di scala.
l2
A2
A
A1
l1
Esercizio guidato
Moltiplicazione di un vettore per un numero
Dato il vettore A di modulo A=20 N e angolo 0°, determinare :
B=2•A
e
Numero positivo
5N
A
C = ( -2 ) • A
Numero negativo
A
C
B
• Modulo
B = 2 • A = 2 • 20N = 40N
C = | -2 | • A = | - 2 | • 20N = 40N
• Angolo
Medesimo angolo del vettore A
Stessa direzione del vettore A ma
cioè 0°
verso opposto, angolo di 180°
Differenza di vettori
La differenza tra due vettori si esegue sommando al primo vettore l’opposto del
secondo, ossia:
A - B = A + ( - B)
Dati i vettori : A A = 10N angolo 0° e B B = 5N angolo 90°
determinare
D =A-B
Dato che il vettore - B = ( - 1 ) • B, esso avrà le seguenti caratteristiche:
-B
modulo - B = 5N
angolo 270°
Applicando il metodo punta - coda si determina il vettore D :
1N
A
-B
D
Prodotto scalare di vettori
Il prodotto scalare di due vettori A x B ( si legge A scalar B ) da come risultato una
grandezza scalare :
AxB=C
Il valore di C si ricava applicando la seguente formula
C = AB • B
dove AB è il modulo della componente del vettore A secondo la direzione di B.
•
AB si considera positivo se il verso di AB coincide con il verso di B
•
AB si considera negativo se il verso di AB è opposto al verso di B
Esercizi guidati
Esercizi guidati
1) Dati i vettori: A A = 5N angolo 0° , B B = 3m angolo 0°
determinare :
C =Ax B
La direzione del vettore A coincide con quella del vettore B, quindi AB = A;
il verso del vettore AB coincide con quello del vettore B, quindi AB = 5N
C = AB x B = 5N • 3 m = 15 N•m
2) Dati i vettori: A A = 5N angolo 180° , B B = 3m angolo 0°
determinare :
C =Ax B
La direzione del vettore A coincide con quella del vettore B, quindi AB = A;
il verso del vettore AB è opposto a quello del vettore B, quindi AB = - 5N
C = AB x B = ( - 5N ) • 3 m = - 15 N•m
Esercizi guidati
3) Dati i vettori: A A = 5N angolo 90° , B B = 3m angolo 0°
determinare :
C =Ax B
La componente del vettore A lungo il vettore B è nulla, quindi AB = 0
C = AB x B = 0 • 3 m = 0
4) Dati i vettori: A A = 5N angolo 45° , B B = 3m angolo 0°
determinare :
C =Ax B
Si scompone il vettore A secondo due componenti: la prima parallela al
vettore B, la seconda perpendicolare a B.
1N
1 cm
A|
AB = 3,5 cm • 1 N = 3,5 N
1 cm
A
AB
3,5 cm
Il verso del vettore AB coincide con quello del vettore B, quindi AB = 3,5N
C = AB x B = 3,5N • 3 m = 10,5 N•m