Leggi di forza ed
equazioni del moto
• Le leggi di forza esprimono le
forze di interazione in funzione
delle grandezze cinematiche dei
corpi del sistema e del tempo
Fi  Fi (r1 , r2 ,..., rN ; v1 , v2 ,..., vN ; t )  mi ai
(i  1, 2,..., N )
Equazioni del moto:
f = ma
Interazioni fondamentali
•
•
•
•
Interazione gravitazionale
Interazione elettromagnetica
Interazione nucleare debole
Interazione nucleare forte
Raggio di azione
infinito
Raggio di azione
nucleare (10-12 m)
• Le interazioni elettromagnetica e debole
sono unificate nell’interazione elettrodebole
• Le interazioni elettromagnetica, debole e
forte sono unificate nel “modello standard”
delle particelle elementari
• Ogni tentativo di unificare anche la gravità è
finora fallito
Forze assegnate
esplicitamente
• Le forze di interazione gravitazionale
ed elettromagnetica sono le uniche
osservabili nel mondo macroscopico
• Ne segue che tutte le forze di origine
non gravitazionale hanno origine
elettromagnetica
• Le leggi di forza gravitazionale ed
elettromagnetica sono note
esplicitamente nel caso di interazione
tra punti materiali
Legge della forza
gravitazionale
*
1
*
2
mm
f  G
(r  r2 )
3 1
| r1  r2 |
g
12
Masse gravitazionali dei due
corpi in interazione
• Le masse gravitazionali m* sono sempre
positive.
• La forza gravitazionale è sempre
attrattiva.
• Il modulo della forza gravitazionale
decresce con il quadrato della distanza
tra i due corpi.
• G è una costante universale che dipende
dal sistema di unità di misura usato.
Legge della forza elettrica
(Coulomb)
q1q2
f k
(r1  r2 )
3
| r1  r2 |
e
12
Cariche elettriche dei due corpi
in interazione
• Le cariche elettriche possono essere
positive, negative o nulle.
• La forza elettrica è attrattiva per cariche di
segno opposto e repulsiva per cariche dello
stesso segno.
• Il modulo della forza elettrica decresce con
il quadrato della distanza tra i due corpi.
• k è una costante universale che dipende dal
sistema di unità di misura usato.
Massa inerziale e
gravitazionale
• Come la carica q di un corpo caratterizza la
sua interazione elettrica, così la massa
gravitazionale m* caratterizza la sua
interazione gravitazionale
• L’esperienza mostra che la massa
gravitazionale di ogni corpo è proporzionale
alla sua massa inerziale: m* = k m con k > 0
costante universale
• Scegliendo opportunamente l’unità di
misura della massa gravitazionale, si ha k =
1, cioè le masse gravitazionale e inerziale di
un corpo coincidono numericamente
• L’unità di misura della massa gravitazionale
è la massa gravitazionale del campione di
massa inerziale
La forza peso
(in prima approssimazione)
• Il modulo della forza gravitazionale
della Terra su di un corpo posto ad
altezza h rispetto al livello del mare
è data da
mM
mM
| F g | G
 G 2  mg
2
( R  h)
R
GM
g  2  9.81 m/s 2
R
Valore sulla
Terra
Forze macroscopiche
empiriche
• La forza gravitazionale e quella di
Coulomb sono espresse esplicitamente
in funzione delle variabili cinematiche
(posizioni) dei corpi in interazione
• Questo è vero per le interazioni
fondamentali della Natura
• Ma spesso nel mondo macroscopico si
introducono forze empiriche le cui leggi
di forza derivano dall’esperienza o dalla
particolare geometria del problema
considerato
• Tra le forze empiriche, quelle che
derivano da particolari vincoli
geometrici sono dette forze vincolari
Forze vincolari
• Le forze vincolari non sono
completamente assegnate in funzione
delle variabili cinematiche dei corpi, ma
vanno determinate a partire dai vincoli
geometrici (o cinematici) imposti dal
problema
• I vincoli determinano relazioni tra le
componenti dell’accelerazione e,
quindi, la forza vincolare necessaria per
mantenere quei vincoli la si ottiene da
a = f/m.
• Siccome le forze vincolari sono fissate
dai vincoli, esse non dipendono dal
modo in cui il vincolo viene realizzato.
• Uno stesso vincolo può essere
realizzato in più maniere, tutte
equivalenti e che corrispondono tutte
alla medesima forza vincolare
Reazioni vincolari
• Le reazioni vincolari si generano attraverso le superfici di
corpi solidi a contatto
• Esse esprimono matematicamente l’impenetrabilità dei
corpi solidi
• Le reazioni vincolari sono perpendicolari alla superficie di
contatto e per questo si chiamano anche reazioni normali
z
O
N
Le forze vincolari
sono incognite a
mg
priori x
• Finché il corpo è appoggiato, si ha il vincolo z = 0
• Derivando due volte il vincolo rispetto al tempo si trova
az= 0
• Da f = ma si deduce, lungo l’asse z, N – mg = m az ovvero
N=mg
Fili e sbarre
• I fili inestensibili e le sbarre rigide forniscono un altro
modo di vincolare il moto di un corpo
• In entrambi i casi il vincolo è che la lunghezza l del filo
o della sbarra è costante
l  cost.
• La forza che mantiene il vincolo è detta tensione per i
fili e semplicemente reazione per le sbarre rigide
• La differenza tra fili e sbarre è che i fili possono
allentarsi, nel qual caso la tensione si annulla
• La tensione del filo applicata al corpo ad esso
attaccato è caratterizzata da
–
–
–
–
Direzione: lungo il filo
Verso: dal corpo verso il filo
Modulo: incognito
Si annulla quando il filo si allenta
• La reazione della sbarra è caratterizzata da
– Direzione: lungo la sbarra
– Verso: incognito
– Modulo: incognito
Come trovare le forze
vincolari?
• Procedura
1. Si impone il vincolo al moto (di
solito il vincolo è un legame
funzionale tra le coordinate dei
corpi vincolati)
2. Si derivano le relazioni così
ottenute rispetto al tempo fino a
trovare un’equazione per
l’accelerazione dei corpi vincolati
3. Si aggiunge l’equazione trovata a
quelle ottenute applicando la f =
ma e si risolve il sistema
considerando le forze vincolari
come incognite.
Attrito
di scorrimento (o radente)
• Le forze di attrito si esercitano lungo la
superficie di separazione (o punto di
contatto) tra due corpi solidi.
• Non dipendono dall’area della superficie
di contatto
• Dipendono dal materiale dei due corpi e
dalla levigatezza o lubrificazione della
superficie di contatto
• Se la velocità relativa tra i due corpi in
contatto è nulla, l’attrito si dice statico,
altrimenti si dice dinamico
Attrito dinamico
• La forza di attrito dinamico ha le
seguenti proprietà
1. Direzione: parallela alla superficie di
contatto
2. Verso: opposto alla velocità relativa
tra il copro considerato e l’altro
corpo con cui è in contatto
3. Modulo: proporzionale al modulo
della reazione normale tra i due corpi
| f d | d | N |
Il coefficiente di attrito dinamico μd dipende
dal materiale dei due copri e dalla levigatezza o
lubrificazione della superficie di contatto
Attrito statico
• La forza di attrito statico ha le
seguenti proprietà
1. Direzione: parallela alla superficie
di contatto tra i due corpi
2. Verso: incognito
3. Modulo: inferiore ad un valore
massimo proporzionale al modulo
della reazione normale tra i due
corpi
0 | f s | s | N |
II coefficiente
di attrito statico μs dipende dal
materiale dei due copri e dalla levigatezza o
lubrificazione della superficie di contatto