Trasformazioni geometriche
Didattica della Matematica – modulo 2
Settimo ciclo SSIS, 2005-2006
Da bambini, con le forbici e un
foglio di carta
• pieghiamo il foglio a
metà
• ritagliamo un motivo
• apriamo il foglio
• Le due parti della
figura sono
“simmetriche”
Simmetria o riflessione rispetto a
una retta
• Trasformazione del piano
su se stesso: ogni punto P
ha un corrispondente P’
• I punti di r sono fissi
• se P fuori di r, PP’ è
perpendicolare a r
• e la incontra nel punto
medio tra P, P’
simmetria.fig
P'
r
M
P
Proprietà della riflessione
• Segmenti vanno in
segmenti
• Segmenti
corrispondenti sono
uguali
• Si conservano gli
angoli
• Triangoli
corrispondenti sono
congruenti
• Sinistro  destro
Con le forbici e una striscia di
carta ripiegata
Con due riflessioni….
Si ottiene una nuova
trasformazione
• traslatriango.fig
La traslazione
• Segmenti da un punto
al suo traslato sono
paralleli, uguali,
orientati nello stesso
verso
• Rette corrispondenti
sono parallele
• Destro  destro
Nessun punto fisso, ma rette fisse
• Se si ripete una stessa traslazione, le rette nella
direzione della traslazione scorrono su se stesse
Come si costruisce un motivo
ornamentale?
Come costruire un fregio: I
Reiterando una stessa traslazione: salti su un
piede solo
Come costruire un fregio: II
Aggiungendo alla traslazione una riflessione
rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti
a piè pari
Come costruire un fregio: II
Aggiungendo alla traslazione una riflessione
rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti
a piè pari
Come costruire un fregio: III
Con l’operazione risultante dalla composizione di
traslazione e riflessione: è un nuovo tipo di
trasformazione
Come costruire un fregio: III
Con l’antitraslazione (glissoriflessione): passo
normale
Come costruire fregi: IV
• Usando una riflessione in uno specchio
perpendicolare alla direzione di traslazione,
ripetendo….: salti laterali
Come costruire fregi: V
• Usando riflessioni con specchi
perpendicolari tra loro: salto con piroetta
Un’altra trasformazione: la simmetria
centrale
• Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a
assi perpendicolari
• è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due
assi
Un’altra trasformazione: la simmetria
centrale
• Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a
assi perpendicolari
• è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due
assi
La simmetria centrale
• Il centro di
simmetria è il
punto medio tra
ogni coppia di
punti
corrispondenti
• Destro va in
destro
Come costruire fregi: VI
• Si possono usare simmetrie centrali: giravolta
su un piede solo
Come costruire fregi: VII
• Infine, simmetrie centrali e riflessioni: salti
con giravolte
Teorema
Vi sono soltanto 7 modi di riempire
una striscia con un motivo periodico
Maria Dedò, Forme – Simmetria e
topologia, Decibel, Padova – Zanichelli,
Bologna, 1999
Per uscire dalla striscia…
• Due riflessioni
con assi
incidenti
producono una
rotazione
• rotazione.fig
Proprietà della rotazione di
centro O
• O resta fisso
• Ogni altro punto P va
nel punto P’ che sta
alla stessa distanza da
O
• l’angolo POP’ è fisso
• ed è uguale all’angolo
tra due rette
corrispondenti
Classificazione delle congruenze
(isometrie) del piano
Punti
fissi
Diretta
(pari)
Inversa
(dispari)
Nessun Un solo
Infiniti punti
punto fisso punto fisso fissi
traslazione rotazione
identità
glissoriflessione
simmetria
assiale o
riflessione
Quante carte da parati posso
disegnare?
TEOREMA.
Vi sono soltanto 17 modi di ricoprire il
piano con figure tutte congruenti tra di
loro (Fedorov, 1891 – Pólya, 1924 )
Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia,
Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999
Esempi: 1) con due traslazioni
non parallele
2) con riflessioni rispetto a rette
perpendicolari
3) con simmetrie centrali e
traslazioni
4) con rotazioni di 120°
Pavimenti, trapunte…
Si può fare un pavimento con mattonelle a
forma di un poligono regolare, tutte congruenti
tra di loro, “lato contro lato”?
Non come nel secondo e terzo esempio
La trapunta più semplice
Con quali poligoni regolari si può
costruire una trapunta?
• In un vertice si vogliono “incastrare” k
poligoni
• se ciascun poligono ha in quel vertice
un angolo , per chiudere l’incastro
deve essere
k  = 360°
• Quali poligoni regolari hanno angoli che
siano sottomultipli di 360°?
Quanto misurano gli angoli di un
poligono regolare?
• Triangolo equilatero: 180/3
gradi
• Quadrato: 360/4 gradi
• Pentagono? 5 triangoli…
• 180° per 5 ….meno 360°
nel centro, in tutto gli angoli
assommano a
• 180(5 – 2)°= 540°
Una coperta di pentagoni…
•
•
•
•
540 : 5 = 108
L’angolo del pentagono misura 108°
Tre in un vertice: 108 + 108 + 108 < 360
Quattro in un vertice: 108 per 4 > 360….
Non si può fare!
Solo tre
• Gli unici poligoni
regolari che
pavimentano il piano
sono:
• Triangoli (equilateri)
• Quadrati
• Esagoni (regolari)
• Pavimenti di poligoni
non regolari ?
Pavimenti di rettangoli,
parallelogrammi….
Quadrilateri….
Alla maniera di Escher
•
•
•
•
un quadrato ABCD
sostituisco il
segmento AB con
una curva o una
spezzata
con la traslazione di
vettore AD creo un
nuovo lato con
estremi D,C
traslo la nuova
mattonella
Su un reticolo quadrato
Su un reticolo quadrato
Con traslazioni e riflessioni
Glissoriflessione e traslazioni
Rotazioni......
Riflessioni, rotazioni….
Quanti centri di rotazione?
E nello spazio? Simmetria
rispetto ad un piano
• http://specchi.mat.unimi.it/
• http://matemilano.mat.unimi.it/
Con uno specchio e mezzo
modello
Con due specchi
• Basta un quarto
dell’edificio
Problema
• E’ possibile “impadronirsi dello
spazio” (H. Freudenthal) lavorando
su fotografie, disegni, software
sofisticati?
•Può essere “meglio un
brutto modello che una
bella figura” (Maria Dedò) ?