Studio delle singolarità del robot a
7 giunti KUKA LWR4
Relatore
Prof. Alessandro De Luca
Candidato
Francesco Bella
La convenzione di DenavitHartenberg
•
Asse zi lungo l’asse di giunto i+1
•
Asse xi lungo la normale comune agli assi di giunto i e i+1 (verso: i → i+1)
•
ai = distanza Oi’ Oi orientata con xi (costante = ‘‘lunghezza’’ braccio i)
•
di = distanza Oi-1 Oi orientata con zi-1 (variabile se giunto i PRISMATICO)
•
αi = angolo di twist tra zi-1 e zi intorno a xi (costante)
•
θi = angolo tra xi-1 e xi intorno a zi-1 (variabile se giunto i ROTATORIO)
Assegnazione delle terne al KUKA
LWR4
i
θi[rad]
di[m]
ai[m]
αi[rad]
1
q1
0
0
π/2
2
q2
0
0
-π/2
3
q3
0.4
0
-π/2
4
q4
0
0
π/2
5
q5
0.4
0
π/2
6
q6
0
0
-π/2
7
q7
0
0
0
Matrici di trasformazione omogenea ed
espressione della cinematica diretta
Si può ottenere la cinematica del
KUKA LWR4 in maniera sistematica
attraverso semplici prodotti di
matrici di trasformazione omogenea,
ognuna delle quali risulta funzione di
una singola variabile di giunto.
T0n(q) = A01(q1)A12(q2)…An-1n(qn)
La cinematica differenziale
Caratterizza i legami tra la velocità dei giunti e le corrispondenti
velocità lineare ed angolare dell’organo terminale. Tali legami sono
descritti dallo Jacobiano geometrico.
Giunto i-esimo Giunto i-esimo
prismatico
rotatorio
JLi(q)
Zi-1
Zi-1 x pi-1,E
JAi(q)
0
Zi-1
Cosa sono le singolarità
cinematiche?
Sono tutte quelle configurazioni in cui lo Jacobiano diminuisce di rango
La caratterizzazione delle singolarità è di notevole interesse perché se il robot
è in una configurazione singolare:
1.
Si ha una perdita di mobilità della struttura → non è possibile imporre
all’organo terminale leggi di moto arbitrarie
2.
Possono esistere infinite soluzioni al problema cinematico inverso
3.
Velocità ridotte nello spazio operativo possono indurre velocità molto alte
nello spazio dei giunti
Lo Jacobiano geometrico e lo
Jacobiano Mid-Frame 4x4
Primo approccio
Analisi dei 7 determinanti dei
minori (6x6) dello Jacobiano.
L’annullamento simultaneo in
una stessa configurazione dei 7
determinanti corrisponde ad una
singolarità.
Data la complessità della
struttura del Jacobiano si utilizza
il Jacobiano Mid-Frame 4x4.
Nonostante la forma
semplificata anche il Jacobiano
Mid-Frame 4x4 non porta a
risultati convincenti.
Solo alcune configurazioni
risultano individuabili
nell’immediato per la loro
capacità di rendere il
determinante nullo, ma non si
potrebbe dare certezza sulla
completezza e l’unicità delle
stesse.
Formula di Cauchy-Binet
Siano A e B due matrici rispettivamente di tipo mxn e nxm. Il loro prodotto AB è
quindi una matrice quadrata mxm. La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante
di AB come
dove S varia fra i sottoinsiemi con m elementi dell’insieme [1…n]. Per ogni S, la
matrice AS è il minore di ordine m ottenuto da A prendendo solo le colonne i cui indici
appartengono a S. Analogamente, BS è il minore di ordine m ottenuto da B prendendo
solo le righe i cui indici appartengono a S.
Applicazione della formula al KUKA
LWR4
Grazie alla formula di Cauchy-Binet, una configurazione singolare si verifica quando si annulla la somma
di quadrati di determinanti
con Jimn l’i-esimo minore ottenuto sopprimendo le colonne i della matrice Jmn. I termini della prima
sommatoria hanno una forma triangolare a blocchi inferiore e per questo si possono riscrivere come
rg(J11) < 3
Condizione sufficiente(a sx)
e condizione necessaria(a dx)
rg(J22) < 3
Condizioni per le singolarità del
KUKA LWR4
Condizioni sufficienti
Condizioni necessarie
Per quali valori si annullano i 4
determinanti dei minori di J11?
Per quali valori si annulla il
determinante di J22?
3.
q6 = kπ
Altre condizioni sufficienti
4. q2 = kπ ˄ q6 = kπ
1. q4 = kπ
2. q2 = k π ˄ q3 = π/2 + kπ
5. q5 = π/2+kπ ˄ q6 = kπ
Conclusioni
L’analisi delle singolarità è stata portata a termine con successo grazie
all’utilizzo della formula di Cauchy-Binet.
Infatti l’annullamento dei 7 determinanti dei minori di ordine 6 dello
Jacobiano geometrico, si è rivelato molto ostico e computazionalmente
complesso da perseguire nonostante l’utilizzo di Matlab.
Al contrario l’idea di partizionare il Jacobiano e sfruttarne la struttura
triangolare per avere calcoli meno complessi, si è rivelata di semplice
risoluzione.
Naturalmente sono state testate le configurazioni ottenute con il
secondo metodo, con sostituzioni esplicite nei vari determinanti, ed
effettivamente i 7 determinanti ottenuti nel primo caso si annullano.
In conclusione, sono stati raggiunti gli obiettivi prefissati all’inizio del
progetto.