LE TERNE PITAGORICHE
OBIETTIVI
Saper riconoscere una terna pitagorica primitiva
e derivata
Saper formare ed usare le terne pitagoriche
Siamo in Egitto nel 2065 a.C.
I geometri del faraone Chèope devono delimitare le fondamenta
di una piramide a base quadrata. Hanno a disposizione solo pioli e
corde con 13 o 25 nodi a intervalli regolari.
Come fare per ottenere angoli veramente retti e per evitare che la
piramide vista dall’alto abbia una forma come questa?
Con la corda da 13 nodi ciò è possibile solo se i lati del triangolo
contengono 3, 4, 5 nodi.
32 + 42 = 52
Con la corda da 25 nodi ciò è possibile solo se i lati del triangolo
contengono 6, 8,10 nodi.
62 + 82 = 102
In generale:
i geometri del faraone scoprirono che per alcune terne di numeri, a, b, c,
corrispondenti alle misure dei lati di un triangolo rettangolo si verifica che:
a2 + b2 = c2
Per questa sorprendente proprietà di formare angoli retti, la terna di numeri
3, 4, 5 divenne addirittura sacra per gli Egizi!
I secoli passarono fino a che Pitagora, il grande matematico greco che visse
nel VI secolo a.C., studiò più a fondo questa “terna magica”. Egli scoprì che si
potevano trovare tante altre terne con questa proprietà, tutte legate alle
misure dei lati dei triangoli rettangoli, ed enunciò il famoso “Teorema di
Pitagora”. Oggi, in suo onore, la terna magica degli Egizi viene chiamata
“terna pitagorica”.
Oltre alla terna 3,4,5 considerata dai matematici la terna pitagorica per eccellenza,
sono terne pitagoriche anche:
5,12,13
7,24,25
8,15,17
9,40,41
11,60,61
12,35,37
13,84,85
16,63,65
20,21,29
33,56,65
Ognuna di queste è una terna primitiva perché i tre numeri che la costituiscono
sono primi tra loro.
Possiamo ottenere altre terne pitagoriche derivate moltiplicando o dividendo per
uno stesso numero, intero o decimale, diverso da zero, i numeri di ogni terna
primitiva.
MA COME SI OTTENGONO LE TERNE PRIMITIVE?
Per calcolare i tre numeri a, b, c, di una terna primitiva, tali cioè che a2 + b2 = c2
Pitagora riuscì a trovare la seguente regola:
a=m
b = m2 – 1
2
c = m2 + 1
2
Se m è un numero dispari si ottengono terne primitive formate da numeri naturali;
se m è un numero pari si ottengono terne primitive formate da numeri decimali.