A cura di
Maria Angela Varone
Dato un quadrato quanto
deve misurare il lato di un
nuovo quadrato per avere
area doppia di quello di
partenza?
La duplicazione del quadrato
dal Menone di Platone
Socrate[ si rivolge a Menone] – Osserva,
ora, da questo dubbio come scoprirà la
verità, ricercando insieme a me, mentre io
non farò altro che interrogarlo, senza
insegnargli. E fa’ bene attenzione che tu non
mi colga ad insegnargli o a spiegargli, e non
solo ad interrogarlo intorno alle sue
convinzioni.
Socrate – Dimmi, dunque: non è
di quattro piedi questa
superficie ( abcd )? Comprendi?
Ragazzo – Sì.
Socrate – Potremmo aggiungere ad essa
quest’altra eguale ( befc)?
Ragazzo – Sì.
Socrate – E quest’altra terza, uguale a ciascuna di queste
( cfgh )?
Ragazzo – Sì.
Socrate – E non potremmo anche completare la figura in
questo angolo ( dchi)?
Ragazzo – Certamente.
Socrate – E non risulteranno queste
quattro superfici eguali?
Ragazzo – SìSocrate – E, allora, tutto questo intero
(aegi), quante volte diventa più grande di
questo (abcd)?
Ragazzo – Quattro volte.
Socrate – Per noi, invece, doveva essere
il doppio; o non ricordi?
Ragazzo – Certamente.
Socrate – E questa linea
tracciata da un angolo all’altro
(bd, bf, fh, hd), non viene
forse a dividere a metà
ciascuna di queste superfici?
Ragazzo – Sì.
Socrate – Non si ottengono,
dunque, queste quattro linee
uguali racchiudenti quest’area
qui (bfhd)?
Ragazzo – Sì, si ottengono.
Socrate – Considera allora: quanto grande è
questa superficie (bfhd)?
Ragazzo – Non lo so.
Socrate – Di questi quadrati, che sono
quattro, ciascuna linea non ha tagliato
internamente la metà di ciascuno ? O no?
Ragazzo – Sì.
Socrate – E quante ve ne sono di queste
metà in questa figura ( bfhd)?
Ragazzo – Quattro.
Socrate – E quante in quest’altra (abcd)?
Ragazzo – Due.
Socrate – E il quattro che cos’è
rispetto al due?
Ragazzo – Il doppio.
Socrate – Questa superficie, dunque,
di quanti piedi diventa?
Ragazzo – Di otto piedi.
Socrate – Da quale linea?
Ragazzo – Da questa (db).
Socrate – Da quella che abbiamo
tracciata da un angolo all’altro del
quadrato di otto piedi?
Ragazzo – Sì.
Socrate – Coloro che se ne
intendono chiamano questa linea
diagonale; sicché, se essa ha nome
diagonale, allora dalla
diagonale, come tu dici, o ragazzo
di Menone, si può ottenere l’area
doppia.
Ragazzo – Certamente, o Socrate.
“Misuriamo la diagonale”
Supponiamo per semplicità che il quadrato in esame
abbia lato pari ad una unità. Ormai abbiamo scoperto
che il quadrato di area doppia rispetto a quello dato è
il quadrato che ha per lato la diagonale.
Lato: misura una
unità
l
d
L’area del quadrato di partenza misurerà 12 = 1, mentre
l’area del nuovo quadrato dovendo misurare il doppio,
misurerà 2 unità, per trovare la misura del lato basterà
soltanto cercare quel numero che elevato al quadrato
fa 2.
d 2
d ?
2
…ma c’è un numero razionale che al
quadrato fa esattamente due?
Supponiamo che esista una frazione
m
n
la quale abbia per quadrato il numero 2
con m e n numeri interi non nulli:
2
m
  2
n
possiamo pensare i numeri interi m e n primi tra di
loro, perché se avessero un fattore comune
potremmo sempre eliminarlo, dividendo per esso
tanto il numeratore m quanto il denominatore n (per
esempio, se m =14, n = 10, al loro posto possiamo
mettere i due numeri 7 e 5, ottenuti da essi
eliminando il fattore comune 2 )
Dovrebbe essere, dunque :
2
2
m
m
 
2
2

2


2

m

2
n
 
2
n
n
 
m e n essendo primi tra di loro, non possono essere tutti
e due pari.
Sono allora possibili tre casi:
1) m è dispari, n è pure dispari;
2) m è dispari, n è pari;
3) m è pari, n è dispari.
Facciamo vedere che tutti e tre i casi possibili sono
invece impossibili.
Il caso 1) è da escludere. Infatti, se m e n sono
dispari, sono dispari anche m2 e n2 il quadrato di un
numero contiene gli stessi fattori del numero,
ripetuto ciascuno due volte; se un numero non è
divisibile per 2, non lo è neppure il suo quadrato).
Ma il doppio di n2 , cioè 2 n2 , è pari, e non può essere
uguale al numero dispari m2 .
Il caso 2) è impossibile. Infatti, se m è dispari, m2 è
dispari, come prima … e più di prima, 2 n2 è pari (già
n2 è pari).
Infine, anche il caso 3) non si può verificare.
Infatti, se m è pari, è divisibile almeno
per 2 (forse anche per una potenza di 2), e perciò
il suo quadrato è divisibile
almeno per 2 x 2 = 4. Se n è dispari, n2 è pure
dispari, 2 n2 è divisibile solo per 2,
e non per 4; perciò è assurdo perché il primo
numero è divisibile per 4, il secondo no. …
Questa dimostrazione è tradizionalmente attribuita
a Pitagora ed è certamente un prodotto della scuola
pitagorica: Si trova però anche negli Elementi di
Euclide (libro X).
Il metodo usato per la dimostrazione è il cosiddetto
metodo per assurdo.
“ La reductio ad absurdum, tanto
amata da Euclide è una delle più belle
armi di un matematico. E’ un
gambetto molto più raffinato di
qualsiasi gambetto degli scacchi: un
giocatore di scacchi può offrire in
sacrificio un pedone o anche qualche
altro pezzo, ma il matematico offre la
partita.”
G.H.Hardy
Apologia di un matematico
Possiamo quindi concludere “che tutte le frazioni non bastano”
per esprimere tutte le grandezze, e che esiste un’altra
categoria di numeri che da questo punto in poi chiameremo
numeri irrazionali.
I numeri irrazionali sono numeri che non possono essere scritti
sotto forma di decimali, né di decimali periodici, se si cerca di
scrivere un irrazionale in termini decimali, si ottiene un numero
che continua per sempre senza una struttura regolare e
coerente.
Con le “moderne notazioni” l’unico modo per esprimere la
misura esatta della diagonale del quadrato di lato 1 è 2 , ogni
tentativo di scriverlo in forma decimale può soltanto essere
un’approssimazione ad es.1,414213562373……
E’ facile dedurre che 1 
infatti
22
1 1  2  4  2 
2
Per cui
1
Per cui l’estremo
sinistro dell’intervallo,
cioè l’1, è il valore
approssimato per
difetto a meno di
una unità
2
2
?
mentre
2
l’estremo destro
dell’intervallo, cioè 2, è il
valore approssimato per
eccesso a meno di una
unità.
Cerchiamo adesso di individuare con precisione la
posizione di 2 all’interno dell’intervallo.
Se procediamo per tentativi troviamo ad esempio che
1.4
2
 1.96  2
per cui sicuramente
e che
1.5
2
 2.25  2
1.4  2  1.5
?
1,4 1,5
1
1,4 è il valore
approssimato per
difetto a meno
di 1 di unità
10
2
1,5 è il valore
approssimato per
eccesso a meno
di 1 di unità
10
Questo vuol dire che se si sostituisce 2 con 1.4
oppure con 1.5 si commette un errore al massimo
di 0.1.
Procedendo con questo metodo otteniamo risultati che
possiamo schematizzare nella seguente tabella:
valore per difetto
Valore per eccesso
Errore
Max
1
2
1
1.4
1.5
1
10
1.41
1.42
1.414
1.415
1
1000
1.4142
1.4143
1
10000
….
….
1
100
Questo procedimento, non ha mai termine e genera
due classi di numeri i cui elementi sono gli infiniti
valori approssimati rispettivamente per difetto e
per eccesso di
2 :
Cd  1;1.4; 1.41; 1.414;...
Ce  2; 1.5;1,42; 1,415;...
2
1
1,4
1,41
1,414
Cd
1,5
2
1,42
1,415
Ce
Si può facilmente vedere che le due classi Cd e Ce godono delle
seguenti proprietà:
Le classi sono separate, cioè ogni elemento della prima
classe è sicuramente minore di ogni elemento della
seconda classe:
d  e d  C d
e  C e
Fra le due classi c’è un avvicinamento indefinito, infatti
fissato un qualsiasi numero razionale  è sempre possibile
trovare un
d  Cd
e e  Ce tali che e  d  
E questo può avvenire qualsiasi sia la scelta di 
Le classi con tali proprietà si dicono contigue .
Nel nostro caso 2 “determina e separa” le due classi
in questione. Si può dimostrare che tale elemento
separatore è unico.
Si definisce numero irrazionale l’ elemento
separatore di una coppia di classi contigue di
numeri razionali che rappresentano i suoi
valori approssimati rispettivamente per
difetto e per eccesso.
Fine