Lo stimatore per quoziente è asintoticamente corretto. Per la definizione di
stimatore asintoticamente corretto, formula (2.15) pg. 33.
 
  
B 2 Yˆq  C 2 Xˆ v Yˆq
 
1 f 2
ˆ
C X 
C X
n
2
Campione casuale stratificato proporzionale
nh/n = Nh/N =Wh
 nh= n* Nh/N = n*Wh
Campioni casuali stratificati con allocazione ottimale.
In questo caso si vuole avere un tasso di campionamento diversificato per ogni
strato. In particolare si vuole incrementare la numerosità negli strati ad elevata
variabilità, diminuirla dove invece è meno elevata al fine di minimizzare la
var(yst).
Il minimo di var(yst) si ottiene quando i valori di fh sono dati da:
fh=nh/Nh=Wh*Sh/Wh*Sh,
 nh= n* Wh*Sh/Wh*Sh
2 1 fh
2
2
ˆ
v(Yqs )   N h
( shy
 2 Rˆ h shxy  Rˆ h2 shx
)
nh
h
(moltiplicativo)
(additivo)
Esercizio 1
Il provveditorato di una data città vuole valutare il totale degli studenti delle
scuole superiori che frequentano le piscine comunali nelle due ore
settimanali di educazione fisica. Sapendo che nella città sono presenti 30
scuole superiori, per un totale di 15674 studenti, si estrae con probabilità
costante un campione SSR di 4 scuole, ottenendo i seguenti risultati:
Scuole
Numero studenti
Studenti frequentanti le piscine
1
540
302
2
458
221
3
420
246
4
638
326
a)
Stimare il totale degli studenti che frequentano le piscine comunali
nelle ore di educazione fisica.
b)
Proporre una strategia alternativa e indicarne le condizione di
applicazione.
c)
Confrontare le strategie e dire quale risulta più efficiente.
Soluzione esercizio 1
a) Stimatore corretto (formula 4.29): , YˆGR  8212,5 con
4
y
i 1
i.
 1095 ;
b) Poiché M0 risulta noto, uno stimatore alternativo potrebbe essere lo stimatore per quoziente,
utilizzando come variabile ausiliaria il numero di studenti; (formula 6.49): YˆqGR  8347,777237
4
con
 
M
i 1
i
 2056 e Rˆ  0,532587549 .
 
v YˆGR  460248,8 con s21=2360,25; v YˆqGR  92369,32
c) Confrontando gli MSE dei due stimatori si osserva che lo stimatore per quoziente è più
efficiente
684,8754
Mse=
93054,19527 <
460248,8
Esercizio 2
Un'azienda produttrice di integratori alimentari desidera valutare la spesa totale mensile relativa alla
propria tipologia di prodotti in una piccola città. Allo scopo si estrae un campione SSR di n=11
individui di età 30-50 anni e, per ciascuno di essi, viene rilevata la spesa totale mensile per generi
alimentari e la spesa totale per integratori, ottenendo i seguenti risultati:
Individui
Spesa per al. (in migl.)
Spesa per int. (in migl.)
1
1200
150
2
880
120
3
520
85
4
1240
200
5
660
95
6
800
110
7
400
65
8
620
90
9
740
105
10
510
80
11
300
20
Sapendo che la dimensione della popolazione di età 30-50 è di 2560 unità ed il totale della spesa
mensile per alimentari è pari a 250000 (migl.lire):
a) si stimi la spesa totale mensile per integratori, utilizzando i due stimatori alternativi che sfruttano
le informazioni sulla variabile ausiliaria;
b) in base ai risultati campionari si dica, anche approssimativamente, quale dei due stimatori è
preferibile e si discutano le condizioni di tale preferibilità.
Soluzione esercizio 2
Esercizio 3
Soluzione esercizio 3
nh
32
12
6
50
244,4920661
14045,60764
960,7882
0,857697
10067,18
Soluzione esercizio 4
Soluzione esercizio 4
Soluzione Esercizio 4
Soluzione Esercizio 4
Esercizio 5
Un proprietario agricolo vuole prevedere, con la maggiore accuratezza
possibile, la produzione dell'anno corrente di un terreno di 1000 ettari.
Per i primi 10 appezzamenti sperimentali di un ettaro ciascuno ha già
ottenuto la produzione nell'anno in corso, misurata in numero di piante
e ha conservato, inoltre, i dati relativi alla produzione di tali
appezzamenti nell'anno passato. I dati sulla produzione dei 10
appezzamenti sono riportati nella seguente tabella
Sapendo che la produzione totale dell'anno passato è stata di 21000
piante e sapendo che nella teoria del campionamento da popolazioni
finite sono disponibili due stimatori alternativi che sfruttano le
informazioni su una variabile ausiliaria,
1. si stimi il valore della produzione totale dell'anno in corso
utilizzando i due stimatori;
2. si stimi la varianza dei due stimatori;
3. sulla base dei risultati ottenuti si dica quale dei due stimatori è
preferibile e si discutano le condizioni in base alle quali tale
stimatore è preferibile all'altro.
Soluzione Esercizio 5
3. Lo stimatore per quoziente va utilizzato quando esiste una dipendenza
lineare rappresentabile da una retta uscente dall’origine; se la dipendenza
è lineare ma non rappresentabile da una retta uscente dall’origine si usa
lo stimatore per regressione. E’ conveniente, quindi, disegnare la nuvola
di punti e valutare la dipendenza.
Esercizio 6
La direzione generale di un istituto bancario a diffusione nazionale
desidera valutare l'opinione dei propri dipendenti in merito all'apertura
degli sportelli nella mattina del sabato; decide quindi di selezionare
casualmente 32 agenzie delle 121 presenti sul territorio e ripartite in
macrozone come riportato nella seguente tabella:
Macrozone
Nord
Totale agenzie 60
Centro Sud
Isole
34
8
19
Nell’ipotesi di intervistare tutti i dipendenti delle 32 agenzie scelte, la
rilevazione ha fornito la seguente proporzione di favorevoli all'apertura
degli sportelli di sabato mattina:
Macrozone
Nord
Prop. favorevoli0,12
Centro Sud
Isole
0,11
0,07
0,08
a)
Si definisca il piano di campionamento e si effettui l'allocazione
più opportuna per il campione.
b)
Si stimi la proporzione di dipendenti favorevoli all'apertura
straordinaria del sabato mattina.
c)
Si dica con quali criteri possono essere state definite le stime
delle percentuali di favorevoli nelle macrozone.
Soluzione esercizio 6
a) E’ un campionamento stratificato di grappoli. Non avendo alcuna informazione si suppone di
effettuare l’allocazione proporzionale. Essendo W 1=0.496, W2=0.281, W3=0.157, W4=0.066, le
numerosità campionarie di strato risultano n1=16, n2=9, n3=5, n4=2.
b) pST=0,1076, formula 5.14.
c) Trattandosi di una stratificazione di grappoli (agenzie), la stima della proporzione di favorevoli
nei singoli strati può essere calcolata con p h 
nh
nh
 ahi  M hi
1
in caso di grappoli di
1
dimensione variabile (vale a dire agenzie con un numero differente di dipendenti) oppure da
ph  phi nh se i grappoli sono di dimensione costante, pari a M (vedi libro par. 5.6).

ich
Esercizio 7
Allo scopo di stimare l'ammontare mensile delle multe per infrazione al codice
della strada, l'amministrazione di una certa provincia italiana ha deciso di
effettuare una indagine campionaria scegliendo casualmente 40 dei suoi
comuni.
Nell'ipotesi che i comuni siano stati ripartiti in tre strati in funzione della loro
dimensione demografica e disponendo delle seguenti informazioni:
1. si effettui l'allocazione che si ritiene più opportuna;
2. si stimi l'ammontare mensile delle multe per l'intera provincia mettendo a
confronto le due strategie suggerite dalle informazioni date;
Soluzione esercizio 7
Soluzione esercizio 7
c) In alternativa allo stimatore per quoziente, si può utilizzare lo stimatore
per regressione combinato, ottenendo i seguenti risultati:
In questo caso, risulta evidente il guadagno in termini di efficienza.