Didattica dei Fondamenti
dell’Informatica 2
Seconda giornata: progettare un algoritmo
corretto, efficiente, e possibilmente ottimo!
Guido Proietti
Email: [email protected]
URL: www.di.univaq.it/~proietti/index_personal
1
Richiamo: Complessità computazionale di
un algoritmo e di un problema
Definizione
Un algoritmo A ha una complessità computazionale O(f(n)) su
istanze di dimensione n se T(n)=O(f(n)), ove T(n) è il numero di
passi elementari dell’algoritmo sulle istanze di ingresso di
dimensione n che comportano più lavoro per l’algoritmo stesso
(ovvero, T(n) misura il caso peggiore dell’algoritmo)
Definizione
Un problema P ha una complessità computazionale O(f(n)) se
esiste un algoritmo che risolve P la cui complessità
computazionale è O(f(n))
2
Richiamo: gerarchia delle classi
Decidibili
ExpTime
(ARRESTO(k))
P (ricerca)
NP
NP-completi (SAT)
3
Progettare un algoritmo
Vogliamo progettare algoritmi (per
problemi calcolabili!) che:
– Producano correttamente il risultato
desiderato
– Siano efficienti in termini di tempo di
esecuzione ed occupazione di memoria
4
Le quattro proprietà fondamentali di un
algoritmo (oltre l’efficienza)
• La sequenza di istruzioni deve essere finita
• Essa deve portare ad un risultato corretto
• Le istruzioni devono essere eseguibili
materialmente
• Le istruzioni non devono essere ambigue
5
Algoritmi e strutture dati
• Concetto di algoritmo è inscindibile da quello
di dato
• Da un punto di vista computazionale, un
algoritmo è una procedura che prende dei dati
in input e, dopo averli elaborati, restituisce dei
dati in output
 I dati devo essere organizzati e strutturati in
modo tale che la procedura che li elabora sia
“efficiente”
6
Analisi di algoritmi
Correttezza:
– dimostrare formalmente che un algoritmo è
corretto
Complessità:
– Stimare la quantità di risorse (tempo e
memoria) necessarie all’algoritmo
– stimare il più grande input gestibile in tempi
ragionevoli
– confrontare due algoritmi diversi
– ottimizzare le parti “critiche”
7
Notazione asintotica W
f(n) = W(g(n)) se  due costanti c>0 e n0≥0 tali
che f(n) ≥ c g(n) per ogni n ≥ n0
f(n) = W(g(n))
f(n)
c g(n)
n0
8
n
Esempi
• Sia f(n) = 2n2 - 5n; vogliamo dimostrare che f(n)= W(n2).
f(n)/n2 = (2n2 - 5n)/n2 = 2 - 5/n
ma 2 - 5/n ≥ 1 per n ≥ 5
quindi basta scegliere c=1 e n0=5 e avremo che
2n2 - 5n ≥ 1n2 per n ≥ n0=5.
• f(n) = W(n)
(c=1, n0=2)
• f(n) = W(log n)
(c=1, n0=2)
• Invece, f(n)  W(n3)
9
Legame con il concetto di limite
fn 
0
gn 

fn   Wgn 
fn   Wgn 

limn
limn
fn   Wgn 
10

limn
fn 
0
gn 
fn 
(se esiste)  0
gn 
Notazione asintotica Q
f(n) = Q(g(n)) se  tre costanti c1,c2>0 e n0≥0 tali
che c1 g(n) ≤ f(n) ≤ c2 g(n) per ogni n ≥ n0
f(n) = Q(g(n))
c2 g(n)
f(n)
c1 g(n)
n0
11
n
Relazioni tra O, Ω e Θ
fn   Qg(n) 

fn   Ogn 
fn   Og(n) 

fn   Θgn 
fn   Qg(n) 

fn   Wgn 
fn   Wg(n) 

fn   Θgn 
fn   Qg(n)   fn   Wgn  e fn   Ogn 
12
Caso migliore di un algoritmo
• Sia tempo(I) il tempo di esecuzione di un
algoritmo sull’istanza I
Tbest(n) = min istanze I di dimensione n {tempo(I)}
• Intuitivamente, Tbest(n) è il tempo di
esecuzione sulle istanze di ingresso che
comportano meno lavoro per l’algoritmo
13
Caso medio di un algoritmo
• Sia P(I) la probabilità di occorrenza dell’istanza I
Tavg(n) = ∑ istanze I di dimensione n {P(I) tempo(I) }
• Intuitivamente, Tavg(n) è il tempo di
esecuzione nel caso medio, ovvero sulle
istanze di ingresso “tipiche” per il problema
• Richiede di conoscere una distribuzione di
probabilità sulle istanze
14
IL problema: l’ordinamento
Dato un insieme S di n elementi presi da un
dominio totalmente ordinato, ordinare S
• Esempi: ordinare una lista di nomi
alfabeticamente, o un insieme di numeri, o un
insieme di compiti d’esame in base al cognome
dello studente
• Subroutine in molti problemi
• È possibile effettuare ricerche in array ordinati in
tempo O(log n) (ricerca binaria)
15
Il problema dell’ordinamento
(non decrescente)
• Input: una sequenza di n numeri (reali)
<a1,a2,…,an>
(NOTA: la dimensione dell’input è n)
• Output: una permutazione {1,2,…,n} 
{i1,i2,…,in}, ovvero un riarrangiamento <ai1,
ai2,…, ain> della sequenza di input in modo tale
che ai1  ai2 … ain
16
SelectionSort
Approccio incrementale: assumendo che i primi k elementi
siano ordinati, estende l’ordinamento ai primi k+1
elementi scegliendo il minimo degli n-k elementi non
ancora ordinati e mettendolo in posizione k+1
17
7
2
4
5
3
1
1
2
3
4
5
7
1
2
4
5
3
7
1
2
3
4
5
7
1
2
4
5
3
7
1
2
3
4
5
7
1
2
3
5
4
7
SelectionSort (A)
1.
for k=1 to n-1 do
2.
m=k
3.
for j=k+1 to n do
4.
5.
NOTA: Assumiamo
che il primo elemento
dell’array sia in A[1]
if (A[j] < A[m]) then m=j
scambia A[m] con A[k]
• linea 2: m mantiene l’indice dell’array in cui si trova il minimo
corrente
• linee 3-4: ricerca del minimo fra gli elementi A[k],…,A[n] (m viene
aggiornato con l’indice dell’array in cui si trova il minimo corrente)
• linea 5: il minimo è spostato in posizione k
18
Correttezza
• Si dimostra facendo vedere che alla fine del generico passo
k (k=1,…, n-1) si ha: (i) i primi k elementi sono ordinati e
(ii) contengono i k elementi più piccoli dell’array
• Induzione su k:
– k=1: Alla prima iterazione viene semplicemente selezionato
l’elemento minimo dell’array  (i) e (ii) banalmente verificate.
– k>1. All’inizio del passo k i primi k-1 elementi sono ordinati e
sono i k-1 elementi più piccoli nell’array (ipotesi induttiva).
Allora la tesi segue dal fatto che l’algoritmo seleziona il minimo
dai restanti n-k elementi e lo mette in posizione k. Infatti:
(ii) i primi k elementi restano i minimi nell’array
(i) l’elemento in posizione k non è mai più piccolo dei primi k-1
elementi
19
Complessità
temporale
SelectionSort (A)
1.
for k=1 to n-1 do
2.
m=k
3.
for j=k+1 to n do
4.
5.
1 assegnamento
n-k confronti
(operaz. dominante)
1 scambio
(3 assegnamenti)
if (A[j] < A[m]) then m=j
scambia A[m] con A[k]
n-1
n-1
k=1
k=1
il tutto eseguito
per k=1,…, n-1
T(n) =  [1+(n-k)+1]=2(n-1)+ k =2(n-1)+n·(n-1)/2 = Q(n2)
Si noti che T(n) è PROPRIO UGUALE ad un polinomio di 2º grado in n,
e quindi la notazione Θ è perfettamente ESPRESSIVA del valore di T(n)
 T(n) = Tbest(n) = Tavg(n) = Q(n2)
20
InsertionSort
Approccio incrementale: assumendo che i primi k elementi
siano ordinati, estende l’ordinamento ai primi k+1
elementi, inserendo l’elemento in posizione k+1-esima
nella giusta posizione rispetto ai primi k elementi
21
7
2
4
5
3
1
2
4
5
7
3
1
2
7
4
5
3
1
2
3
4
5
7
1
2
4
7
5
3
1
1
2
3
4
5
7
InsertionSort (A)
1.
for k=1 to n-1 do
2.
x = A[k+1]
3.
for j=1 to k+1 do
4.
5.
if (A[j] > x) then break
if (j < k+1) then
6.
for t=k downto j do A[t+1]= A[t]
7.
A[j]=x
• Linea 2: elemento x=A[k+1] da inserire nella posizione che gli
compete
• Linee 3 e 4: individuano la posizione j in cui va messo x
• Linee 5 e 6: se la posizione j è diversa da k+1, si fa spazio per
inserire x, “shiftando” tutti gli elementi da j a k verso destra
22
Correttezza
• Si dimostra facendo vedere che alla fine del generico
passo k (k=1,…, n-1) i primi k+1 elementi sono ordinati
(si noti la differenza con il Selection Sort, in cui invece
dovevamo far vedere anche che erano i più piccoli)
• Induzione su k:
– k=1: banale: si riordinano A[1] e A[2];
– k>1: All’inizio del passo k i primi k elementi sono ordinati
(ipotesi induttiva). Allora la tesi segue dal fatto che
l’algoritmo inserisce A[k+1] nella giusta posizione rispetto
alla sequenza A[1],…,A[k]
23
Complessità temporale
InsertionSort (A)
1.
for k=1 to n-1 do
2.
x = A[k+1]
3.
for j=1 to k+1 do
4.
1 assegnamento
if (A[j] > x) then break
5.
if (j < k+1) then
6.
for t=k downto j do A[t+1]= A[t]
7.
A[j]=x
j*≤k+1
confronti
k+1–j*
assegnamenti
n-1
T(n) = Q(n)+ (k+1) = Q (n2)
k=1
T(n) = Tbest(n) = Tavg(n) = Q(n2)
Possiamo fare meglio?
24
k+1
oper.
il tutto eseguito
per k=1,…, n-1
Una variante dell’IS più efficiente
InsertionSort2 (A)
1.
for k=1 to n-1 do
2.
x = A[k+1]
3.
j=k
4.
while j > 0 e A[j] > x do
5.
tk ≤ 2k
assegnam.
A[j+1] = A[j]
6.
j= j-1
7.
A[j+1]=x
n-1
il tutto eseguito
per k=1,…, n-1
n-1
tempo(n)=Q(n)+ tk ≤ Q(n)+ 2k = Q(n)+n·(n-1) = Q(n2)
k=1
 tempo(n) = O(n2)
25
k=1
Si noti che tempo(n) è AL PIÙ UGUALE ad un
polinomio di 2º grado in n, e quindi la
notazione O è perfettamente ESPRESSIVA del
valore di T(n)
Caso migliore, peggiore, e medio di
InsertionSort2
• Caso migliore
– array già ordinato in ordine crescente  tk = 0
 Tbest(n) = Q(n) (costo del ciclo for esterno)
• Caso peggiore
– array ordinato in ordine decrescente  tk = 2k
n-1
 T(n) =  2k = Q(n2)
k=1
• Caso medio
– L’elemento in posizione k+1 ha la medesima probabilità di essere
inserito in ciascuna delle k posizioni che lo precedono  la sua
posizione attesa è k/2  il valore atteso di tk = k
n-1
 Tavg(n) =  k = Q(n2)
k=1
26

Legge di Murphy?
« Se qualcosa può andar male, lo farà. »
In realtà, negli algoritmi il caso medio costa spesso
come il caso peggiore (asintoticamente), in quanto le
strutture di controllo fondamentali degli algoritmi sono i
cicli, e spesso il caso medio implica l’esecuzione della
metà delle istruzioni di un ciclo, senza quindi avere un
abbattimento asintotico della complessità.
27
Riepilogo
Caso
Caso Caso
migliore medio peggiore
28
Selection Sort
Θ(n2)
Θ(n2)
Θ(n2)
Insertion Sort 1
Θ(n2)
Θ(n2)
Θ(n2)
Insertion Sort 2
Θ(n)
Θ(n2)
Θ(n2)
Complessità spaziale
Ricordiamo che oltre alla complessità temporale
dobbiamo valutare anche la complessità spaziale di un
algoritmo, ovvero lo spazio di memoria necessario per
ospitare le strutture di dati utilizzate dall’algoritmo.
La complessità spaziale del Selection Sort
e dell’Insertion Sort è Θ(n)
Nota: Se la complessità spaziale di un certo algoritmo è Θ(g(n)), e se tale
algoritmo “ispeziona” l’intera memoria occupata, allora la complessità
temporale dell’algoritmo è W(g(n)), ovviamente.
29
Conseguenze per il problema dell’ordinamento
La complessità spaziale di qualsiasi algoritmo che risolve il
problema dell’ordinamento è W(n) (dimensione input)
…ma qualsiasi algoritmo che risolve il problema
dell’ordinamento deve ispezionare tutti i dati in ingresso, e
quindi ha complessità temporale T(n)=W(n)

Tutti gli algoritmi che risolveranno il problema
dell’ordinamento avranno una complessità temporale W(n)
30
Delimitazioni inferiori (lower bound)
Definizione
Un algoritmo A ha complessità computazionale W(g(n)) su istanze di
dimensione n se T(n)=W(g(n)) (significa che numero di passi elementari
necessari per eseguire A nel caso peggiore è W(g(n)), e quindi non è
detto che debbano essere necessari per ogni istanza di dimensione n:
istanze facili potrebbero richiedere meno risorse!)
Definizione (lower bound o complessità intrinseca di un problema)
Un problema P ha una delimitazione inferiore alla complessità
computazionale W(g(n)) se ogni algoritmo che risolve P ha
complessità computazionale W(g(n)).
31
Ottimalità di un algoritmo
Definizione
Dato un problema P con complessità intrinseca W(g(n)), un
algoritmo che risolve P è ottimo (in termini di complessità
asintotica, ovvero a meno di costanti moltiplicative e di
termini additivi/sottrattivi di “magnitudine” inferiore) se ha
complessità computazionale O(g(n)).
32
Quindi, per il problema dell’ordinamento…
• Upper bound temporale: O(n2)
– Insertion Sort, Selection Sort
• Lower bound temporale: W(n)
– “banale”: dimensione dell’input
Abbiamo un gap lineare tra upper bound e lower bound!
Possiamo fare meglio, ovvero abbassare
l’upper bound e/o innalzare il lower bound ?
33
Ordinamento per confronti
Dati due elementi ai ed aj, per determinarne l’ordinamento relativo
effettuiamo una delle seguenti operazioni di confronto:
a i  aj ; ai  aj ; a i  aj ; ai  aj ; ai  aj
Non si possono esaminare i valori degli elementi o ottenere
informazioni sul loro ordine in altro modo.
Notare: Tutti gli algoritmi di ordinamento considerati fino ad
ora sono algoritmi di ordinamento per confronto.
34
Lower bound W(n log n) per l’ordinamento
• Consideriamo un generico algoritmo A, che ordina
eseguendo solo confronti: dimostreremo che A esegue (nel
caso peggiore) W(n log n) confronti
• Un generico algoritmo di ordinamento per confronti lavora
nel modo seguente:
- Confronta due elementi ai ed aj (ad esempio effettua il test ai  aj);
- A seconda del risultato, riordina e/o decide il confronto
successivo da eseguire.
 Un algoritmo di ordinamento per confronti può essere
descritto in modo astratto usando un albero di decisione,
nel quale i nodi interni rappresentano i confronti, mentre le
foglie rappresentano gli output prodotti
35
Albero di decisione
• Descrive le diverse sequenze di confronti che A esegue
su un’istanza <a1,a2,…,an> di lunghezza n; i movimenti
dei dati e tutti gli altri aspetti dell’algoritmo vengono
ignorati
• Nodo interno (non foglia): i:j (modella il confronto
tra ai e aj)
• Nodo foglia: i1,i2,…,in (modella una risposta (output)
dell’algoritmo, ovvero una permutazione <ai1,ai2,…,ain>
degli elementi)
• L’albero di decisione è associato ad un algoritmo e alla
dimensione n dell’istanza
36
Esempio
Input <a1,a2,a3>
Š
1,2,3
1:2
Š
2:3
Š
1,3,2
Š

1:3


3,1,2
2,1,3
1:3
Riconoscete
l’algoritmo
associato?

2:3
Š

2,3,1
3,2,1
È proprio l’Insertion Sort 2!
Esercizio per casa: costruire l’albero di decisione
per il SS su una sequenza di 3 elementi.
37
Proprietà
• Per una particolare istanza, i confronti eseguiti da
A su quella istanza rappresentano un cammino
radice – foglia
• L’algoritmo segue un cammino diverso a seconda
delle caratteristiche dell’input
– Caso peggiore: cammino più lungo
– Caso migliore: cammino più breve
• Il numero di confronti nel caso peggiore è pari
all’altezza dell’albero di decisione (ovvero alla
lunghezza, in termini di numero di archi, del più
lungo cammino radice-foglia)
38
Altezza in funzione delle foglie
Lemma: Un albero strettamente binario (ovvero, in cui ogni
nodo interno ha esattamente due figli) con k foglie ha altezza
h(k)  log2 k.
Dim: Dimostrazione per induzione su k:
– Caso base k=1 (albero-nodo ): banale h(k)=0≥ log21=0
– Caso k>1: supposto vero per k-1 foglie, dimostriamolo per k;
poiché la radice ha 2 figli, uno dei due suoi sottoalberi deve
contenere almeno la metà (parte intera sup.) delle foglie, e quindi
h(k) ≥1+h(k/2) ≥ (hp induttiva) 1+log2(k/2)
=1+log2k-log22=log2k.
QED
39
Il lower bound W(n logn)
• Consideriamo l’albero di decisione di un qualsiasi algoritmo
che risolve il problema dell’ordinamento di n elementi
• Tale albero deve avere almeno n! foglie: infatti, se l’algoritmo
è corretto, deve contemplare tutti i possibili output, ovvero le
n! permutazioni della sequenza di n elementi in input
• Dal lemma precedente, avremo che l’altezza h(n) dell’albero di
decisione sarà:
h(n)  log2(#foglie)  log2(n!) > log2 (n/e)n =
Formula di Stirling:
n!  (2pn)1/2 ·(n/e)n
> (n/e)n
40
= n log2 (n/e) =
= n log2 n – n log2 e =
= W(n log n)
QED
Un algoritmo ottimo: il MergeSort
(John von Neumann, 1945)
• Problema dell’ordinamento:
– Lower bound - W(n log n) albero di decisione
– Upper bound – O(n2)
IS,SS
• Proviamo a costruire un algoritmo ottimo, usando
la tecnica del divide et impera:
1 Divide: dividi l’array a metà
2 Risolvi il sottoproblema ricorsivamente
3 Impera: fondi le due sottosequenze ordinate
41
Esempio di esecuzione
42
7 2 4 5 3 1 5 6
input
1 2 3 4 5 5 6 7
output
7 2 4 5
3 1 5 6
2 4 5 7
1 3 5 6
7 2
4 5
3 1
5 6
2 7
4 5
1 3
5 6
Input ed
output delle
chiamate
ricorsive
7
2
4
5
3
1
5
6
7
2
4
5
3
1
5
6
Fusione di sequenze ordinate
• Due array ordinati A e B possono essere fusi
rapidamente:
– estrai ripetutamente il minimo di A e B e copialo
nell’array di output, finché A oppure B non
diventa vuoto
– copia gli elementi dell’array non ancora
completamente svuotato alla fine dell’array di
output
Notazione: dato un array A e due indici x  y, denotiamo con
A[x;y] la porzione di A costituita da A[x], A[x+1],…,A[y]
43
Algoritmo di fusione di sequenze ordinate
Merge (A, i1, f1, f2)
1.
Sia X un array ausiliario di lunghezza f2-i1+1
2.
i=1
3.
i2=f1+1
4.
while (i1 f1 e i2  f2) do
5.
if (A[i1]  A[i2])
6.
then X[i]=A[i1]
7.
8.
9.
incrementa i e i1
else X[i]=A[i2]
incrementa i e i2
10.
if (i1<f1) then copia A[i1;f1] alla fine di X
11.
else copia A[i2;f2] alla fine di X
12.
copia X in A[i1;f2]
44
fonde A[i1;f1] e A[f1+1;f2]
output in A[i1;f2]
Osservazione: usa
l’array ausiliario X
Costo dell’algoritmo di merge
Lemma
La procedure Merge fonde due sequenze ordinate di
lunghezza n1 e n2 eseguendo al più n1+ n2 -1 confronti
Dim: Ogni confronto “consuma” un elemento di A.
Nel caso peggiore tutti gli elementi tranne l’ultimo sono
aggiunti alla sequenza X tramite un confronto.
Il numero totale di elementi è n1+ n2. Quindi il numero totale
di confronti è n1+ n2 -1.
QED
Numero di confronti: C(n=n1+ n2)=O(n1+ n2)=O(n)
(si noti che vale anche C(n)=Ω(min{n1,n2}))
Numero di operazioni (confronti + copie)? T(n)=Q(n1+ n2)
45
MergeSort
MergeSort (A, i, f)
1.
if (i  f) then return
2.
m = (i+f)/2
3.
MergeSort(A,i,m)
4.
MergeSort(A,m+1,f)
5.
Merge(A,i,m,f)
46
Complessità del MergeSort
Si vede facilmente che il tempo di esecuzione
di MergeSort è:
T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) con T(1)=1, da cui:
T(n)=2(2T(n/22)+Θ(n/2))+Θ(n)=
=2(2(2T(n/23)+Θ(n/22))+Θ(n/2))+Θ(n)=…
e per k = log2n si ha n/2k = 1 e quindi
T(n)=2(2(…(2T(n/2k)+Θ(1))+…+Θ(n/22))+Θ(n/2))+Θ(n)
= 2log n·Θ(1)+2log n-1·Θ(2)+2log n-2·Θ(22)+…+ 20·Θ(n)
= n∙Θ(1)+n/2∙Θ(2)+n/4∙Θ(4)+…+1∙Θ(n) = Θ(n log n)
47
Più precisamente…
1. Nel caso peggiore, il MS esegue (n ⌈log n⌉ 2⌈log n⌉ + 1) confronti, che corrisponde ad un
numero compreso tra (n log n - n + 1) e
(n log n + n + O(log n))
2. Nel caso medio, il MS esegue (n ⌈log n⌉ 2⌈log n⌉ + 1) – 0.2645·n confronti
3. Nel caso migliore (array già ordinato), il MS
esegue n-1 confronti
48
Osservazioni finali
• Il MergeSort è un algoritmo (asintoticamente)
ottimo rispetto al numero di confronti eseguiti
nel caso peggiore
• Il MergeSort non ordina in loco, e utilizza
memoria ausiliaria (l’occupazione di memoria
finale è pari a 2n)
49