I MISTERI DEL TEMPO
Gli orologi
molli di Dalì
Seconda puntata
Riassunto puntata precedente
• Leggi fondamentali invarianti rispetto il
tempo
• Contrasto tra la reversibilità a livello
microscopico e irreversibilità a livello
macroscopico da noi percepita
• Spiegazione irreversibilità con la
meccanica statistica
• Freccia del tempo e 2° principio della
termodinamica
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Fisica agli inizi del ‘900
Problemi irrisolti
Principio di relatività galileiano
Relatività ristretta
Fine del concetto di simultaneità
Relatività generale
Il principio della relatività ristretta ci diceva
che le leggi che ottenevamo su base
empirica, servendoci come riferimento il
treno o la banchina, avevano una identica
formulazione.
Avevano però posto in generale la
limitazione che il moto di un corpo di
riferimento rispetto l’altro fosse
rettilineo e uniforme, perciò erano stati
esclusi i moti accelerati e le rotazioni.
Il passaggio successivo di Einstein fu di introdurre
un principio generale di relatività secondo il
quale
1. Per la descrizione dei fenomeni naturali
tutti i corpi di riferimento si
equivalgono qualunque sia il loro stato
di moto.
Era infatti inaccettabile che alcuni sistemi di
riferimento fossero privilegiati rispetto altri.
La relatività ristretta comunque continua ad essere
valida, quando si può prescindere dall’influenza
sui fenomeni, ad es. sulla luce, dei campi
gravitazionali
2. Postulato di equivalenza: non esiste alcuna
differenza tra gli effetti locali di un campo
gravitazionale e gli effetti dovuti
all’accelerazione del sistema di riferimento.
Le accelerazioni che si rilevano in presenza di masse
sono attribuibili non a forze ma a modificazioni della
geometria dello spazio.
Il cambiamento della nozione dello spazio-tempo
recato dalla relatività generale è profondo.
Lo spazio-tempo non è più il semplice contenitore
della materia e dei fenomeni, ma questi ne
determinano la struttura.
Spazio, tempo e materia costituiscono dunque un
tutto unico: nessuno di questi tre concetti può
essere pensato indipendentemente dagli altri
due.
Alcune conseguenze
• Anche i raggi di luce si incurvano assieme allo
spazio: in prossimità di una massa la luce viene
deviata dalla gravità (effetto che è la base della teoria
dei buchi neri);
• Masse accelerate producono onde gravitazionali.
L’intensità prevista è molto piccola e nonostante le
ferventi ricerche non sono state ancora rilevate
• In prossimità di una massa anche il tempo
subisce una distorsione e rallenta.
Esperimenti di verifica pienamente corrispondenti alle
previsioni sono stati fatti nel 1960 da Pound e Rebka
Relatività di Escher
Tempo in relatività generale
Avevamo già visto che la dilatazione degli
intervalli di tempo dipendeva dalla velocità
dell’osservatore.
Intervalli di tempo uguali per un osservatore in
quiete, appaiono diversi ad un osservatore in
moto accelerato.
Per il postulato dell’equivalenza implica che un
orologio posto in un campo gravitazionale
appare rallentato tanto più intenso è il
campo gravitazionale
Comportamento degli orologi
Consideriamo una piattaforma rotante sulla quale sono
posti degli orologi a varie distanze dal centro.
Per un osservatore O esterno alla piattaforma, un
orologio posto a distanza r dal centro si muove con
una velocità v=ωr e pertanto il suo ritmo rallentato di
un fattore
rispetto all’orologio di O;
soltanto l’orologio posto nel centro della piattaforma
segna lo stesso tempo dell’orologio di O.
Consideriamo ora un osservatore O’ solidale con la
piattaforma. Il suo orologio posto nel centro della
piattaforma, ha lo stesso ritmo di quello di O in quanto
i due orologi sono in quiete uno rispetto l’altro.
Anche O’ vede gli altri orologi della piattaforma andare
più lentamente del suo, nonostante questi siano in
quiete rispetto a lui.
Dov’è la causa?
Gli orologi che O’ vede in quiete rispetto la piattaforma
sono sottoposti ad una forza centrifuga, che è quella
che determina il ritardo. D’altra parte dall’equivalenza
fra inerzia e gravitazione segue che il campo delle
forze centrifughe è equivalente ad un opportuno
campo gravitazionale centrifugo fittizio agente su una
identica piattaforma non rotante. Dunque per il
principio di equivalenza anche il campo gravitazionale
rallenta gli orologi.
Dopo quella della relatività ristretta c’è dunque una
nuova dilatazione gravitazionale dei tempi.
Paradosso dei gemelli
Consideriamo un'astronave che parta dalla Terra nell'anno
3000; che mantenendo una velocità costante v prossima a
quella della luce raggiunga la stella Star, distante 8 anni
luce dal nostro pianeta; e che appena arrivata, inverta la
rotta e ritorni sulla Terra, sempre a velocità v.
Consideriamo poi coppia di gemelle, Anna e Betta, Betta salga
sull'astronave, mentre Anna rimanga a Terra.
Vista dalla terra è il tempo di Betta a essere rallentato e quindi
al suo ritorno B dovrebbe incontrare A più vecchia.
Ma visto dall’astronave è la Terra che si sta muovendo, perciò
è il tempo di A ad essere rallentato.B scoprirebbe di essere
lei la più vecchia.
Quando le gemelle si ritrovano non può essere non può
essere contemporaneamente B più giovane e più
vecchia di A.
Sillogismo di Dingle
• Secondo il postulato di relatività, se due corpi (per
esempio, due orologi identici) si separano e si
ricongiungono, non esiste alcun fenomeno osservabile
che possa mostrare in un senso assoluto se sia stato
l’uno o l’altro a muoversi;
• Se al momento del ricongiungimento un orologio è
ritardato di una quantità dipendente soltanto dal loro
moto relativo, e l’altro no, quel fenomeno starebbe a
dimostrare che è stato il primo a muoversi e non il
secondo:
• Ne segue che, se il postulato di relatività è vero, gli
orologi debbono essere ugualmente ritardati o non
esserlo affatto; in ciascuno dei due casi, la loro lettura
deve dare risultati uguali al momento del
ricongiungimento se dava risultati uguali al momento
della loro separazione.
Con questo sillogismo Dingle voleva dimostrare che la
teoria della RR non era coerente, portava a
contraddizioni
Obiezioni
• E’ vero che se si ricongiungono i due eventi
accadono per ambedue nello stesso luogo, gli
orologi dovrebbero segnare la stessa ora.
• E’ vero che se fosse possibile avere per uno dei
due un tempo dilatato non varrebbe, secondo
quanto dice la relativita' ristretta, la non
distinguibilita' di chi e' stato in moto, perche' si
potrebbe dire che e' stato in moto quello piu'
giovane.
• Ma per la RR questo non deve essere possibile
e infatti il ragionamento non e' invertibile
perche' la RR distingue tra sistema inerziale
e non inerziale
• L'apparente contraddizione infatti si risolve
osservando che, mentre quello della Terra è un
sistema di riferimento inerziale, quello dell'astronave
non lo è. L'astronave non mantiene infatti una velocità
costante per tutta la durata del viaggio, ma prima
accelera fino alla velocità di crociera, poi frena, inverte
la rotta e riaccelera per tornare indietro, e poi frena di
nuovo.
• Ogni argomento fondato sulla reciprocità del moto
non è pertanto applicabile.
• In teoria della relatività il paradosso dei gemelli non ha
alcun valore antinomico, e un asimmetrico fenomeno
d’invecchiamento va in effetti ascritto a una causa
assoluta, vale a dire una diversa "lunghezza" di
traiettorie spazio-temporali.
Tenendo conto delle accelerazioni si giunge al
risultato che : dopo il viaggio, il gemello rimasto
sulla Terra è più vecchio di quello salito
sull'astronave.
Il minor invecchiamento dell’altro è perciò un
effetto reale, come verificato sperimentalmente
sulle particelle subatomiche
Una spiegazione per addetti ai lavori è data da
• http://www.cartesio-episteme.net/GEMVF.htm
• P.Davis op. citata
IL DECADIMENTO DEL MUONE
I muoni sono particelle subatomiche che vengono
create dalla radiazione cosmica nell’alta atmosfera
terrestre. Un muone è una particella instabile perché
esiste per pochissimo tempo prima di decadere.
Vita di un muone a riposo =
6
2,2  10 s
Supponiamo che un muone venga creato a un’altitudine di
5 km rispetto alla superficie della Terra; se viaggia verso il
suolo con una velocità di 0,995c, in 2,2s può coprire
soltanto una distanza di 657m prima di decadere. Non
dovrebbero riuscire a raggiungere la superficie terrestre,
invece un gran numero raggiunge il suolo. Essi
invecchiano molto lentamente a causa del loro moto,
proprio come il gemello in viaggio verso Star
Altra obiezione
Secondo alcuni autori, il diverso
invecchiamento potrebbe essere discutibile
per un’altra ragione: infatti i fenomeni
biologici potrebbero venire influenzati dal
moto in modo tale che l’invecchiamento
potrebbe essere lo stesso per entrambi,
anche se il tempo fisico scorre con ritmo
diverso. Il tempo biologico non è detto
coincida con il tempo fisico.
Tempo cosmico
Solo un cenno mi pare giusto fare che nella relatività
generale esiste la possibilità, non accettata da tutti gli
studiosi, di definire un tempo cosmico in riferimento
al moto medio della materia nell’universo.
Questa possibilità appare paradossale, in quanto
sembra farci tornare indietro al tempo assoluto di
Newton e prima di Aristotele e sembra contrastare
con il dogma fondamentale della RR
Esso si può ricavare dalle equazioni di Einstein
accoppiate alla equazione di stato del fluido cosmico.
Le forme di materia ed energia,i diversi costituenti
dell’universo contribuiscono alla densità del fluido
cosmico e alla sua pressione, così come fanno i
costituenti di un gas fatto da varie specie atomiche
Certo è rende perplessi sentir parlare di tempo riferito all’intero
Universo, dopo aver constatato, con la relatività ristretta, che
le durate sono diverse per i diversi osservatori inerziali e, con
la relatività generale, che esse dipendono anche dalla
distribuzione delle masse. Il problema non si porrebbe se si
potesse trattare l’universo come un giocattolo visto da un
osservatore esterno, ma ovviamente ciò non è possibile.
La soluzione del problema non è banale: essa riposa su un
postulato di natura fenomenologica,il cosiddetto principio
cosmologico. Secondo questo, su grande scala (tale da
includere molti ammassi galattici) l’universo è omogeneo e
isotropo. Ciò consente una definizione di simultaneità: se i
risultati di misure fatte da diversi osservatori su tale scala
(distanza media tra galassie, temperatura..) risultassero
identici, si dirà, per definizione, che tali misurazioni sono
simultanee.
Si costruisce così, concettualmente, un tempo comune a tali
osservatori che si chiama tempo cosmico. Questo deve
risultare equivalente al tempo locale, che è quello misurato,
ad esempio, con un orologio in quiete rispetto alle masse
vicine e non soggetto a campi gravitazionali intensi.
Si supponga che due osservatori di questo tipo abbiano trovato lo
stesso valore del tempo cosmico, cioè le loro misurazioni delle
varie grandezze abbiano dato gli stessi risultati. Si supponga
inoltre che essi lascino passare lo stesso intervallo di tempo
locale e ripetano le misurazioni. Se i loro risultati discordassero,
ciò invaliderebbe il principio cosmologico: l’uniformità da esso
richiesta sarebbe alterata dall’evoluzione.
È nel negare, assiomaticamente, questa possibilità che il
tempo cosmico può essere definito.
È ovvio che la definibilità di un tempo cosmico non costituisce
affatto un ritorno a un tempo assoluto: la possibilità di pensarlo
è consentita da misurazioni effettuabili da diversi osservatori,
anche se l’uguaglianza dei loro risultati è un assioma (il
principio cosmologico) peraltro motivato dalla fenomenologia.
Un buon indicatore dell’ uniformità dell’universo in
tutte le direzioni è costituito dalla radiazione
cosmica di fondo che permea lo spazio.
La radiazione a microonde fu scoperta,
casualmente, nel 1965 da Arno Penzias e Robert
Wilson e si ritiene possa essere il residuo del Big
Bang.
Per la posizione della terra il suo tempo storico
corrisponderebbe con ottima approssimazione al
tempo cosmico, il che ci consente di raccontare
la storia dell’universo, con quella della terra a
dispetto della teoria della relatività
Fisica quantistico-relativistica
Come è evidente dal suo nome è una scienza che
cerca di collegare i principi fondamentali della
fisica quantistica con quelli della relatività
ristretta.
La fisica quanto-relativistica presuppone che a
ogni particella corrisponda un’antiparticella
avente la stessa massa della particella e carica
opposta. (elettrone-positrone; protone-antiprotone..)
In una collisione tra una particella e una
antiparticella si ha la loro contemporanea
annichilazione e trasformazione in energia che
viene emessa sotto forma di fotoni(o mesoni)
.
Il problema della freccia del tempo si formula,
come in generale, chiedendosi se, a seguito
dell’inversione dell’ordine temporale di qualsiasi
processo fisico, si ottenga un processo che sia
anch’esso fisico e con le stesse proprietà
quantitative.
Nel caso affermativo si dice che sussiste
l’invarianza rispetto all’operazione
dell’inversione del tempo (simbolo T); nel caso
negativo si sarebbe individuata la freccia del
tempo sulla scala delle interazioni elementari.
La fisica quanto-relativistica collega il problema
dell’invarianza per l’inversione temporale a
quelle dell’invarianza per altre due
trasformazioni.
Una di queste è la trasformazione per riflessione dello
spazio (simbolo P): essa consiste nel trasformare
qualunque processo nella propria immagine
speculare. Il problema dell’invarianza rispetto alla
trasformazione di parità consiste nel chiedersi se
l’immagine speculare di un qualsiasi processo fisico
sia anch’essa un processo fisico con le stesse
proprietà quantitative.
L’altra trasformazione consiste nella sostituzione di
ciascuna particella con la rispettiva antiparticella
(simbolo C). L’invarianza rispetto a C consiste nel
chiedersi se tutte le interazioni tra la antiparticelle
siano le stesse di quelle tra le corrispondenti
particelle.
CPT
La teoria quanto-relativistica, sulla base dei suoi
concetti fondamentali, dimostra un teorema
secondo il quale la fisica è invariante per
l’insieme delle operazioni C, P e T (il
cosiddetto teorema CPT).
Non esiste, però, alcun teorema che concerna
l’invarianza rispetto a ciascuna di queste
operazioni separatamente.
Non è possibile un’indagine sperimentale diretta
su violazioni dell’invarianza per l’operazione T,
ossia un’osservazione diretta dell’eventuale
freccia del tempo. Ma questa può risultare
indirettamente dall’osservazione di violazioni
dell’invarianza rispetto alle operazioni P e C.
Una violazione di CP e quindi di T indicherebbe una
freccia del tempo a livello del microcosmo.
Per aiutarci a capire come non è poi tanto assurdo
collegare la simmetria di parità con quella temporale
pensiamo che se vediamo in uno specchio una sfera
che ruota su se stessa, abbiamo l’impressione che il
suo moto sia invertito o possiamo anche pensare di
assistere al fenomeno indietro nel tempo
Nel 1947 si scoprì il Kaone, che si comporta in modo
strano, è una particella che decade in un tempo che è
migliaia di miliardi di volte superiore a quello
necessario per produrla. E’ un po’ come se
lanciassimo una palla in aria e scoprissimo che sta
milioni di anni per tornare giù. La reversibilità dei
processi fisici fondamentali sembrava seriamente
messa in crisi.
La spiegazione coinvolge un complicato discorso di
particelle e antiparticelle, il risultato interessante
comunque è che il Kaone possiederebbe un senso
intrinseco del passato–futuro, tanto che nel 1966,
R.Stannard, un professore universitario, suggerì che
tale particella potesse addirittura occasionalmente
saltare in un altro universo, dove il tempo scorre
all’indietro e poi tornare di nuovo al futuro.
La minuscola asimmetria che infesta il regno
subnucleare porta con sé una asimmetria tra materiaantimateria, e sarebbe proprio questa la spiegazione
dell’esistenza del nostro universo costituito da
materia.
La mistura di materia e antimateria esistita al momento
del Big Bang per meno di un secondo, prima che
l’annichilazione la trasformasse in raggi gamma,
avrebbe lasciato indenne quel piccolo eccesso di
materia che ha dato origine a tutto.
• Il fisico Yuval Ne’eman che è quello che
contribuì a gettare le fondamenta della teoria
dei quark, quali costituenti elementari della
materia, formulò nel 1970 questa interessante
ipotesi.
• Egli sostenne che la direzione del tempo,
connessa al decadimento del kaone, è
direttamente collegata al moto
cosmologico.
• Un universo in espansione composto da
materia è uguale ad un universo in contrazione
composto da antimateria
Come fa un kaone a sapere cosa fa
l’universo?
Tutto sarebbe connesso con la gravità. La
gravità ci fornisce una delle maggiori frecce
del tempo: i buchi neri… Si può cadere in un
buco nero ma non si può uscirne.
Penrose crede che la spiegazione ultima della
freccia del tempo, stia nella gravità: che
esista una intrinseca asimmetria del tempo
quando esso incappa in campi
gravitazionali.
Sono possibili i viaggi nel tempo?
Mentre la relatività ristretta impedisce
categoricamente alla materia ordinaria e di
conseguenza agli esseri umani di viaggiare nel
passato, la teoria della relatività generale è
meno rigorosa a riguardo.
Possiamo andare indietro nel tempo o
viaggiando più velocemente della luce
oppure deformando lo stesso spazio-tempo
Rappresentare il sistema
a 4 dimensioni
(spaziali + temporale) é piuttosto difficoltoso;
conviene di più, rappresentare un sistema a 2
dimensioni una spaziale e una temporale.
Questo piano prende il nome di CRONOTOPO,
dal greco "spazio-tempo".
In questo sistema, le rette parallele all'asse x
rappresentano lo spazio in un certo istante,
mentre quelle parallele all'asse del tempo
costituiscono una successione cronologica di
eventi che prendono posto nel medesimo
luogo.
Tutte le rette passanti per l'origine degli assi
costituiscono una successione di eventi che si
spostano linearmente nello spazio e nel tempo,
cioè di moto uniforme.
Le curve passanti per l'origine sono invece
successioni di eventi più generali.
Fuori dai due coni non può esservi niente perché
andrebbe ad una velocità maggiore di quella
della luce
Poiché la velocità della luce è la stessa per ogni
osservatore, tutti i coni di luce saranno identici
e puntati nella stessa direzione. Il passato, il
futuro e il cono di luce sono detti invarianti
dello spazio - tempo, perché non cambiano
qualunque sia il sistema di riferimento adottato.
Le linee di universo degli oggetti ordinari non
possono oltrepassare i propri coni di luce
Ma la gravità è una distorsione della geometria
dello spazio-tempo. Se questo è deformato
anche i coni di luce lo saranno
• Se i coni si piegano anche le linee di universo
degli oggetti materiali dovranno farlo. Può
succedere che i coni si capovolgano ed è ciò
che si verifica sulla superficie di un buco nero.
• Se nello spazio-tempo incurvato la linea
d’universo fa un anello e interseca se stessa,
l’oggetto sta visitando il passato; se si chiude
su se stessa l’oggetto diventa il suo passato.
Gödel
Con lui per la prima volta nel 1949 il viaggio nel
tempo ha ricevuto una rigorosa dimostrazione
matematica.
Basandosi sulle equazioni della relatività
generale, Kurt Gödel, una delle menti più geniali
che la matematica abbia mai visto, concepì un
modello di universo in rotazione perfettamente in
accordo con la teoria di Einstein, nel quale era
"teoricamente concepibile" viaggiare nel passato o
comunque poterlo influenzare. Questo perché
Gödel dimostrò che in un universo in rotazione le
traiettorie di spazio-tempo, pur muovendosi
costantemente verso il loro futuro locale, possono
arrivare ugualmente nel passato, permettendo il
viaggio nel tempo lungo traiettorie temporali
chiuse.
L'intervento del matematico austriaco suscitò
ovviamente grande scalpore, e anche un certo
imbarazzo, poiché la soluzione rigorosamente corretta
delle equazioni di Einstein non impediva in alcun
modo il classico paradosso temporale del viaggiatore
che ritorna nel proprio passato e incontra se stesso.
Ma il vero problema, semmai, era capire se le ipotesi
di Gödel potevano essere applicate al nostro
universo,ovvero se esso stesso era rotante e, per la
precisione, tale da compiere un giro completo in 70
miliardi di anni. In questo caso, il più breve cammino
temporale chiuso si estenderebbe per circa 100
miliardi di anni luce, ovvero sarebbe questa la
distanza da percorrere per tornare indietro nel tempo.
Ma anche su questo fronte però sembra che non
potremo andare da nessuna parte, essendo
ormai assodato che il nostro universo è finito e
in espansione, mentre quello del modello di
Gödel è infinito e statico.
Senza contare che il nostro universo sarebbe
anche troppo piccolo ("solo" 16 miliardi di anni
luce di raggio) per percorrere un "cappio
temporale" così lungo. Insomma, anche l'ipotesi
di Gödel, peraltro fondamentale per aver
inaugurato la lunga processione di teorie sul
viaggio nel tempo che sarebbero sorte nei
decenni a venire, si è dissolta in una nuvola di
fumo.
tipler
Tipler non solo disse che il viaggio nel tempo era
plausibile e che una macchina del tempo non poteva
essere che un buco nero artificiale, ma fornì anche
una ricetta per realizzarla.
Un buco nero può essere considerato anche una sorta
di tunnel che connette due universi.
"E' sufficiente una massa iperdensa in rapida rotazione
su se stessa, e i calcoli ci danno come miglior forma
un cilindro lungo cento chilometri, col diametro di
venti, di 1014 grammi per centimetro cubo di densità,
rotante sul suo asse alla metà della velocità della
luce".
Secondo le indicazioni di Tipler, un oggetto di questo
tipo, chiamato anche wormhole (lett. buco verme o
buco di tarlo, più comunemente detto anche cunicolo,)
riuscirebbe a curvare abbastanza il continuum spaziotempo da consentire uno spostamento temporale pur
con qualche limitazione.
Innanzitutto la macchina stessa limiterebbe l'orizzonte
del viaggio nel senso che non si potrebbe andare nel
passato prima della sua messa in funzione, né nel
futuro oltre il termine della sua esistenza, in secondo
luogo per adesso (e probabilmente ancora per molto
tempo) è impossibile fabbricare un oggetto avente una
simile densità di materia, e non si deve trascurare
inoltre che la macchina consumerebbe l'energia di
un'intera stella..
Per ottenere l'energia necessaria a far funzionare un
simile aggeggio, Tipler dice che "bisognerebbe coprire
l'intero pianeta Terra di pannelli solari, e in più
aggiungere tutti i reattori nucleari e tutte le riserve di
petrolio conosciute". Per finire bisogna considerare
che un simile oggetto non potrebbe essere installato
sulla Terra, giacché non impiegherebbe molto a
disintegrare il pianeta, ragion per cui sarebbe di gran
lunga consigliabile sistemarlo nello spazio a
un'adeguata distanza di sicurezza.
Il cammino attraverso un cunicolo come questo,
potrebbe condurre a regioni di spazio e tempi
diversi. Il cunicolo è a tutti gli effetti una scorciatoia
nelle quattro dimensioni, e questo principio può
essere utilizzato per muoversi sia nello spazio che nel
tempo
Paradossi dei viaggi nel tempo
Oltre all’arcinoto paradosso della nonna, un altro
interessante è questo, citato da Davis:
Un viaggiatore proveniente dall’anno 2007, visita
l’anno 2012 e viene a conoscenza di una
straordinaria soluzione delle equazioni di Einstein,
pubblicate su una famosa rivista specializzata da
una scienziata sconosciuta Amanda Brain. Il
viaggiatore ritornato nel suo anno, ricerca l’Amanda
e scopre essere una studentessa al primo anno di
Fisica dell’università al suo paese. Egli si propone
di insegnarle la Relatività e le spiega la famosa
soluzione delle equazioni. Amanda pubblica a suo
nome nel 2012 il famoso articolo.
Il problema è: di chi è il merito della
soluzione?
Amanda no: la soluzione le è stata
comunicata dal viaggiatore nel tempo
Ma nemmeno lui l’ha fatta,visto che l’ha letta
sul giornale.
La nuova scoperta si sarebbe creata da
sola
Una soluzione al problema
paradossi
Una soluzione sta nell’invocare l’idea dei
molti universi. Una visita nel passato
potrebbe condurci in un’epoca precedente,
non però nel nostro mondo, ma in un’altra
versione quantistica molto simile.
Il temponauta omicida ucciderebbe una
copia della nonna dei tanti sé paralleli,
lasciando intatto il suo futuro.
Bibliografia essenziale
P.Davis I misteri del tempo Arnoldo
Mondadori
R. Feynman. La legge Fisica Boringhieri
A. Einstein, Relatività: esposizione
divulgativa, Newton Compton Italiana
S. Hawking Dal big bang ai buchi neri
Rizzoli
fine