Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva
aa. 2008-2009
CURVE e SUPERFICIE 1:
Modelli matematico e
categorie comuni (morfologia
ingenua) delle curve: la
doppia natura delle coniche
Curve e superficie 1: le curve antiche
introduzione
• Linee e superfici come astrazioni percettive:
specificazioni del paradigma del tipo
• L’originaria doppia natura dei modelli geometrici delle
curve e delle superficie: come leggi del moto di un
punto e come sezione di corpi
• NOZIONI BASILARI
le antiche coniche
1. coniche come “luoghi solidi”
1.1 le coniche di Menecmo
1.2 le coniche di Apollonio
2. coniche come luoghi geometrici del piano
2.1 fuochi
2.2 direttrici ed eccentricità
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Che forma ha? / Che forma è?
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Curve e superficie come attributi della
forma dei corpi
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Modello geometrico delle curve e delle
superficie
curva
superficie
Percorso di un punto che
si muove a un grado di
libertà
Tessuto di un punto
che si muove a due
gradi di libertà
Inviluppo delle rette
tangenti
Inviluppo dei piani
tangenti
Interzezione tra due
superficie in uno spazio
3D
Movimento di una curva
(generatrice) su un’altra
curva (direttrice) a un grado
di libertà
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Luogo legittimo
Luogo solido
Luoghi legittimi:
cinematismi piani e grafici delle Funzioni
•
•
La curva come luogo di punti è immaginata come
prodotta da un cinematismo piano a un solo grado di
libertà; è dunque il Luogo delle posizioni consecutive
di un punto in movimento secondo una legge data
come relazione analitica fra le coordinate x e y del
piano (soddisfatta da tutti e soli i punti della curva):
equazione della curva.
1) ciascuna coordinata è espressa come funzione di
un parametro (ad esempio il tempo)
x = f (t), y = g (t)
•
•
2) oppure entrambe le coordinate sono espresse in
una sola equazione f (x,y) = 0 in forma cartesiana o
polare.
A esempio in forma polare…:
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;
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Grado delle equazioni e ORDINI delle curve
•
•
Se f(x, y) è un
polinomio (ridotto) di
grado m, la curva è
algebrica di Ordine
m (di primo grado
per una retta, di
secondo grado per
una conica). L’ordine
ha il noto significato
proiettivo del
massimo numero di
intersezioni con una
retta del piano
proiettivo.
La curva si dice
algebrica oppure
trascendente secondo
che sia algebrica o
trascendente la sua
equazione
Il punto doppio si
conta due volte
L’ordine di una curva non dipende dal tipo
coordinate (cartesiane, polari, bipolari …) nei quali è
rappresentata la sua equazione poiché le relazioni
che permettono il passaggio da un sistema di
riferimento cartesiano a un altro sono lineari e
dunque l'ordine di una curva algebrica rimane
invariato quando si cambia sistema di riferimento.
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Punti speciali di una curva
•
•
•
•
•
•
•
MULTIPLO - Se una curva torna su stessa una o più volte il
punto nel quale avviene questo ritorno assume generalmente
tangenti distinte ed è nominato PUNTO DOPPIO o TRIPLO o
MULTIPOLO. Le tangenti possono coincidere, o divenire a coppie
immaginarie coniugate.
NODO - In un punto doppio le tangenti possono essere reali e
distinte e allora il punto si dice NODO;
CUSPIDE - possono essere invece reali e coincidenti, allora
quel punto è una CUSPIDE e le tangenti reali e coincidenti
invertono il loro senso.
ISOLATO - Le tangenti nel punto doppio possono anche essere
immaginarie e coniugate, allora il punto si dice ISOLATO.
ASINTOTICO è un punto attorno al quale la curva compie
infinite evoluzioni.
Per dualità nel piano dall’idea di punto multiplo si ammette quella
di tangenti multiple aventi con la curva multipli punti di
contatto.
Una tangente doppia sega la curva in due punti reali e distinti o
coincidenti, oppure immaginari e coniugati; tali punti sono detti
DI FLESSO;
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TANGENTE di una curva e
curva come INVILUPPO
•
•
•
La tangente in un generico punto A di una curva piana
è la posizione limite della secante in A e in un punto A'
quando A' tende a A.
il variare del coefficiente angolare delle tangenti si
esprime traducendo la forma esplicita dell’equazione y
= f(x) nella funzione sua derivata prima y'(x).
La curva è così anche l’INVILUPPO delle sue rette
tangenti, si può immaginare ogni suo punto come
generato dal moto di una retta che interseca in ogni
istante la sua posizione precedente. Una curva è
l’insieme dei punti di contatto della famiglia delle sue
tangenti.
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Luoghi legittimi:
cinematismi spaziali a due gradi di libertà e
funzioni rappresentati superficie
•
•
Superficie è ogni oggetto topologico localmente
omeomorfo al piano; lo si può immaginare descritto
dal moto di una curva (generatrice) lungo un’altra
curva (direttrice) e dunque assimilabile a un
cinematismo a tre dimensioni e due gradi libertà
In quanto tale (sia come luogo di punti o inviluppo di
piani) una superficie può essere descritta con funzioni
di tre variabili, se l’equazione è algebrica la si dice
algebrica e il suo ordine equivale al grado del
polinomio. I piani sono superficie di primo ordine, le
quadriche di secndo, le cubiche di terzo, le quartiche
del quarto…
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1. STEROI TOPOI
(luoghi solidi)
ORTOTOMA
OXITOMA
AMBLITOMA
1.1 Coniche
di Menecmo
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Cono
rettangolo
ORTOTOMA
Cono
acutangolo
OXITOMA
Cono
ottusangolo
AMBLITOMA
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1.2 Coniche di Apollonio
superficie conica rotonda è il
luogo delle rette g (generatrici)
che passano per un punto V
(vertice) di una retta v (asse) e
che formano con v un angolo 
costante.
Sezione conica è la curva
(necessariamente chiusa) nella
quale un piano taglia una
superficie cnica rotonda.
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Un qualunque piano  (non passante per V) taglia la
superficie conica in una curva simmetrica lungo un
asse detto asse focale o asse principale della
sezione conica.
Tale asse focale è l’intersezione del piano  della
conica con il piano ad esso  che passa per l’asse v
della superficie conica e dunque è anche un piano di
simmetria della superficie.
L’asse focale incontra la curva nei suoi due apsidi
A1 e A2, vertici principali della conica la cui
distanza 2a misura la lunghezza dell’asse focale.
Conica
(sezione)
Apside A1
Apside A2
2a asse focale
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parabola
L’asse focale della sezione conica può
formare un angolo rispetto all’asse v
uguale, minore o maggiore di  (l’angolo
formato dalle generatrici g della
superficie) a seconda che il piano  sia
// a una, a due o a nessuna generatrice.
Nel primo caso  incontra al finito tutte
le generatrici tranne quella a esso // per
iperbole
cui la curva, parabola, ha tutti punti
propri tranne il suo secondo vertice
principale. Nel secondo caso i vertici
della curva sono propri ma, essendo  //
a due generatrici, la curva, iperbole, ha
due punti impropri e dunque consta di
due rami. Nel terzo caso  incontra tutte
le generatrici al finito e quindi si
ellisse
determina una curva, ellisse o in
particolare circolo, composta di tutti
punti propri che presenta anche una
coppia di vertici secondari agli estremi di
un secondo, minore, asse di simmetria
ortogonale.
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Consideriamo sezione
conica qualunque
sezione piana della
superficie conica, e
dunque è una conica,
anche quella ottenuta
con un piano sezionante
che passi per il vertice
della superficie, solo che
in quel caso la curva si
riduce o a un punto o a
una coppia di rette
(distinte oppure
coincidenti) è detta
conica degenere.
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circolo
conica degenere
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Le proprietà metriche e grafiche delle sezioni del cono si
deducono da quelle della superficie conica.
Il luogo dei punti medi di tutta la schiera di corde
parallele di una superficie conica sono i punti di un piano
che passa per il vertice e che chiamiamo piano
diametrale coniugato alla direzione delle corde //.
Così sul piano  della sezione conica il luogo dei punti
medi di una schiera di corde // della curva è una retta
che viene detta diametro coniugato alla direzione delle
corde.
Una schiera di piani // taglia generalmente una superficie
conica in una serie di coniche centrali omotetiche rispetto
al vertice V; quindi il luogo dei centri di queste coniche è
una retta che passa per V che viene detta diametro
coniugato alla giacitura dei piani // considerati. Segue
che (se una sezione conica ha centro) tutti i diametri
coniugati passano per il centro della conica. Caso
particolare è quello in cui  taglia la superficie conica in
una parabola, allora il piano diametrale coniugato a una
direzione // a  passa per la generatrice // a . Tutti i
diametri di una parabola sono // al suo asse.
Nel punto in cui un diametro incontra la conica, la
tangente alla conica è \\ alla direzione coniugata a quel
diametro.
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2-3. Dalle “diverse” coniche di
Apollonio alle coniche come diverse
manifestazioni di un unico ente
matematico
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2.
Coniche come
luogo geometrico di
punti del piano
rispondenti a
proprietà metriche
2.1 fuochi
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2.1 Distanze dai FUOCHI
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Come il circolo è il luogo dei punti di un
piano equidistanti da un solo punto F
(centro), l’ellisse è quello dei punti per i
quali è costante la somma delle distanze
da due punti F1, F2 detti fuochi,
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l’iperbole è il luogo dei punti per i
quali è costante la differenza delle
distanze da due fuochi F1, F2,
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la parabola è il luogo dei
punti per i quali è uguale la
distanza da un punto F (fuoco)
e una retta d (direttrice).
direttrice
fuoco
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2.2 direttrici
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2.2
eccentricità
Le coniche si possono anche
definire come il luogo dei punti P di
un piano tali che il rapporto tra
la loro distanza PF da un punto F
detto Fuoco e la loro distanza Pd
da una retta d (corrispondente a F) detta
direttrice è sempre costante;
tale rapporto si dice eccentricità
e= PF/Pd , e per e=1, e<1,
e>1 la curva è rispettivamente
parabola, ellisse ed iperbole.
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Significato fisico delle proprietà metriche
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