27 febbraio 2007
MISURE ED ERRORI
Che tipo di errori costituiscono la
misura, quali sono i parametri statistici
per il loro trattamento, quale è la loro
distribuzione normale.
Sensibilità e precisione degli strumenti
di misura
sensibilità di uno strumento
è la minima quantità di grandezza misurabile con lo
strumento (ordine di grandezza).
precisione di uno strumento
è il rapporto tra la sensibilità dello strumento e
la massima quantità di grandezza che lo strumento può
misurare.
La precisione è una grandezza adimensionale, tanto
maggiore quanto minore è il numero che la esprime.
Natura PROBABILISTICA
della misura
Il valore della “misura esatta” è teoricamente
pensabile solo come valore più probabile della
misurazione.
Per la legge probabilistica “empirica del caso” il
valore teoricamente esatto di una misura lo si
approssima come il valore più frequente in
una serie di misurazioni; tante più saranno tali
misurazioni quanta più sarà la precisione della
misura.
INCERTEZZA
Ma da un numero limitato di prove si può solo
ridurre statisticamente l’aleatorietà
introducendo la nozione di precisione e di
errore come due grandezze reciproche,
inversamente proporzionali che misurano
l’incertezza della misurazione o dello
strumento.
POPOLAZIONE di misure
L’insieme di misure omogenee di una stessa
grandezza si possiamo distribuire in classi di
equivalenza 1 ,2 ,3 , … n corrispondenti ai valori
di data misura X i = (x1, x2, … xn.) che esprimono
ciascuna quante misurazioni si possono riguardare
entro una “stessa misura”.
Queste classi indicano le. frequenze corrispondenti
alle misurazioni x1, x2, … xn
di una data misura X i.
x
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
72
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
f
1 2 3 6 6 6 7 8 5 4 6 1 2 1 1 1
Prima nozione statistica:
frequenza
Voto
(modalità)
Allievi
(frequenza)
4
5
6
7
8
3
5
8
5
3
Frequenza o
frequenza assoluta
(peso) di una modalità
(misura) è il numero
totale di volte che essa
si presenta nelle unità
rilevate
x1
.xi
f1
..fi
54
55
1
56
57
2
58
59
3
60
61
6
62
63
6
64
65
6
66
67
7
68
69
8
70
71
5
72
72
4
74
75
6
76
77
1
78
79
2
80
81
1
82
83
1
In questo caso il continuum delle misure X i è stato
discretizzato in intervalli di due unità ( ad esempio nella
classe 2 sono comprese le misure da 55,5 a 57,5).
Diciamo intuitivamente che al crescere dell’intervallo che
definisce le classi diminuisce la precisione (come nel caso
in cui si prelevassero le misure con una cordella metrica
intervallata solo ogni mezzo centimetro piuttosto che con
un nastro millimetrato) e cresce la difficoltà di leggere una
“misura” attribuendola ad una classe.
Perciò i numeri che esprimono le misure x1, x2, … xn sono
solo dei simboli delle classi di equivalenza 1 ,2 ,3 , … n
e non possiamo esprimere un intervallo con suoi limiti
effettivi (55,5-57,5) perché una misura che cadesse sul
limite (55,5) non sarebbe classificabile.
84
85
1
Media e misura probabile
MEDIA
M è un indice significativo dell’insieme dei dati ed
esprime la posizione sulla scala ordinata delle
“misurazioni” di X (x1, x2, … xn ) verso la quale si
addensa la “popolazione”.
x
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
f
1 2 3 6 6 6 7 8 5 4 6 1 2 1 1 1
M  1 xi
n
66
67
f
68
69
70
71
72
72
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
4052

 67.53
N
60
i
84
85
Misura PROBALILE di una grandezza
Ripetendo n volte la misura x di una grandezza si
può dimostrare che se gli errori sono distribuiti
del tutto casualmente (distribuzione normale) il
valore più probabile della misura è la media
aritmetica dei risultati delle misure:
xm = (x1+x2+x3+...+xn)/n
Valore
medio della
misura
xm
=
x
M 
N
n
1
i
media aritmetica ponderata
Quando ciascuna modalità (misura) si presenta con una
certa frequenza o peso, è più vantaggioso calcolare la
media aritmetica considerando le frequenze):
in tal caso si parla di media aritmetica ponderata perché
ogni valore entra nella media con il suo peso, cioè la sua
frequenza.
La media aritmetica ponderata M di n valori è:
x1  n1  x2  n2  ...  xn  nn
M  x1 , x2 ,..., xn  
n
dove n  n1  n2  ...  nn
Indici di dispersione
Scarto
Scarto medio
Scarto quadratico medio
Varianza

Seconda nozione statistica: la
variabilità
Il calcolo della media ci permette di sintetizzare una
quantità di dati, ma dall’altro riduce l’informazione
racchiudendo tanti valori in un solo ‘dato’, rende simili
situazioni che proprio simili non sono.
1^ prova
2^ prova
3^ prova
4^ prova
5^ prova
MEDIA
Allievo 1
3
4
5
9
9
6
Allievo 2
6
6
6
6
6
6
Allievo 3
2
4
7
8
9
6
Per ridurre la perdita di informazioni, si ricorre allo
studio della variabilità del fenomeno.
Variabilità è la tendenza di un fenomeno ad
assumere modalità (misure) diverse fra loro.
Diagramma di dispersione
9
8
7
6
5
4
3
2
Allievo 1
Allievo 2
Allievo 3
0
1
2
Prov e
3
4
5
SCARTO
Se la serie di misure indicano 37,2 cm. e l'utente,per un errore
accidentale o sistematico, trascrive i seguenti quattro valori 37,1 poi
37,4 poi 37,0 poi 37,2 risulta che la media dei valori letti sarà una
comune media aritmetica: (37.1 +37.4 +37.0 +37.2)/4 =148.7 /4
=37.175, detto valore medio .
Una volta ottenuto il valore medio, si può calcolare
un altro valore, lo scarto.
Lo scarto vi è calcolato sottraendo il
nuovo risultato letto xi dal valore
medio.
v  x M
i
i
Se a esempio una quinta misurazione fornisce il
valore di 37.3
si avrà uno scarto di circa -0,2.
SCARTO MEDIO
SCARTO è la differenza specifica tra ciascun valore x1, x2, … xn ed il
valore M della media.
v  x M
i
i
Per misurare la variabilità si può dare uno
SCARTO MEDIO inteso come la media
della differenza specifica tra ciascun valore
x1, x2, … xn ed il valore M della media.

x
i M 

1
N
v
i

n
n
ovvero
1
N

SCARTO QUADRATICO MEDIO

x
iM 

2

n
N
1
2

n
(vi)
1
N





M
x
i

VARIANZA
2
È il quadrato dello scarto quadratico medio
2

2
n
1
è un indice di variabilità che misura quanto si disperdono
i valori delle misure in rapporto al valore medio;
è la differenza tra il valore quadratico medio ed il
quadrato della media

N
2
 M 2M
2
La varianza
La varianza è la media aritmetica degli scarti
dalla media al quadrato, 2


x1  M    x2  M 

2
2
2
 ...   xn  M 
2
n
Es. 1 allievo : 
2

3  6   4  6   5  6   9  6 

2
2
2
2
2
8
5
1^ prova
2^ prova
3^ prova
4^ prova
5^ prova
MEDIA
Varianza
Allievo 1
3
4
5
9
9
6
8
Allievo 2
6
6
6
6
6
6
0
Allievo 3
2
4
7
8
9
6
8,5
Scarto quadratico medio 
Lo scarto quadratico medio (sqm)  o deviazione
standard è la radice quadrata (positiva) della
varianza.
x1  M   x2  M 
2
  
2
2
 ...   xn  M 
2
n
1^ prova 2^ prova 3^ prova 4^ prova 5^ prova
MEDIA
sqm o
Varianza Deviazione
standard
Allievo 1
3
4
5
9
9
6
8
2,83
Allievo 2
6
6
6
6
6
6
0
0,00
Allievo 3
2
4
7
8
9
6
8,5
2,92
TEORIA
DELL’ERRORE
1. Distribuzione normale degli
errori Funzione di Gauss
2. Teoria degli errori nel
rilevamento
ERRORI
grossolani – scarti macroscopici, dovuti ad
imperizia e negligenza nel rilevamento
sistematici – scarti sempre nello stesso senso
(segno), dovuti a errata taratura dello strumento,
individuabili confrontando le indicazioni dello
strumento con quelle di un altro strumento tarato
correttamente.
accidentali – scarti agenti in maniera aleatoria
che portano a deviazioni casuali in entrambe i
sensi; sono dovuti a numerose circostanze, non
sono identificabili individualmente ma solo
statisticamente ripetendo più volte la misura della
stessa grandezza.
MISURA &
INCERTEZZA
Ogni misura è sempre composta da:
UN NUMERO
UNA UNITA’ DI MISURA
E DAL VALORE DELL’INCETEZZA legata allo
strumento, all’oggetto misurato o alle condizioni di
misurazione.
Il valore dell’INCERTEZZA - di una misura o di uno
strumento – è valutato in un intervallo pari al
doppio dell’errore probabile.
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
Distribuzione normale dell’errore
accidentale: FREQUENZA
Eseguendo n misurazioni x di una grandezza si
possono raggruppare i risultati in classi di
frequenza 1 ,2 ,3 , … n che indicano il peso
di probabilità di una certa misura e non sono
necessarie nel caso di misure della stessa
precisione.
x
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
72
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
f
1 2 3 6 6 6 7 8 5 4 6 1 2 1 1 1
distribuzione probabilistica degli errori accidentali in
una serie di misure di ugual precisione è tale che:
1 - esiste un limite entro il quale non vi sono più errori
accidentali
2 – la probabilità che le misure siano approssimate in
eccesso è uguale a quella che siano approssimate in
difetto
3 – gli errori sono tanto più improbabili nella misura in
cui crescono; ovvero saranno tanto più numerosi
quanto più saranno piccoli.
La media aritmetica M dei valori letti in diversi momenti
sulla stessa grandezza corrisponde al valore più
probabile della misura
n
i
x
M 
N
1
Disposizione simmetrica
degli scarti
Eseguendo un sempre maggiore numero di
misurazioni, e misurandone un sempre maggiore
numero di scarti dal valore medio si constata una
Legge di simmetria:
in valore assoluto gli scarti si equivalgono,
cioè non esiste una tendenza degli
scarti accidentali a superare o
difettare dal valore medio.
Disposizione decrescente
degli scarti
La frequenza degli scarti aumenta con il
rimpicciolire del valore dello scarto stesso,
poiché è
molto più probabile commettere
un errore minuscolo piuttosto che un
errore elevato.
Ad esempio nel prelievo di una misura diretta è più
probabile sbagliare accidentalmente di un
centimetro che di un decimetro.
Dunque nel caso di misure ripetute di ugual precisione
il valore medio costituisce la stima empirica del
valore teorico della misura della grandezza. Tale
valore sarà tanto più probabile quanto più aumenta il
numero N delle misure.
Rispetto a questo valore più probabile della misura gli
scarti - le differenze specifiche tra ciascun valore x1,
x2, … xn ed il valore M della media – costituiscono gli
errori “veri” rispetto al valore più probabile della
Misura:
 iM
i
La somma algebrica di questi scarti dovrebbe
essere sempre nulla
v x
 v 0
n
1
i
ed è sempre minima la somma dei loro quadrati
rispetto alla media.
Questo principio detto dei minimi quadrati è
fondamentale per la compensazione degli errori
accidentali.
Si considera la vera misura come dato più
probabile rispetto al quale dunque è minima la
somma dei quadrati di tutte le differenze fra le
varie misure di una stessa grandezza.
Scarto quadratico medio
σ

v
i

n
1
N

Errore quadratico medio

2
2

v
i
 N 1
n
1
ERRORE QUADRATICO
MEDIO
2

v
i
 N 1
n
1
Questo indice (detto scarto tipo o anche deviazione
standard) esprime in media l’entità dell’errore entro il
quale può oscillare il valore delle misurazioni.
Indica quanto ogni misura mediamente si scosta dal
valore teorico della grandezza osservata. Valuta la
dispersione della media empirica intorno al valore
della media teorica.
L’errore quadratico medio consente di valutare la
precisione delle misurazioni.
Si dimostra che al crescere delle misurazioni i
valore minori di  sono circa il 70% di quelli
rilevati ovvero il valore di  ha una
probabilità di 0,7 di non essere
superato.
Solo una misurazione su mille
è affetta da scarti (errori)
accidenetali che eccedono il
triplo di .
Istogramma delle misure
Le misurazioni xi di una grandezza si
rappresentino tra il più piccolo (xmin)e il più
grande (xmax) dei valori misurati xi
e si divida l'intervallo xmin, xmax in un certo
numero di classi di frequenza, ciascuna di
ampiezza Δx.
In ascissa si indica l’ordine crescente (decrescente) dei valori xi,
In ordinata si indica il valore della frequenza.
Il grafico rappresenta la distribuzione dei risultati delle misure,
mostrando che la maggior parte dei risultati si addensa
intorno al valor medio,
mentre risultati che differiscono considerevolmente dalla
media sono poco frequenti.
Distribuzione di Gauss
Si può dimostrare che quando gli errori
sono distribuiti casualmente, facendo il
limite per Δx -->0, e n --> ∞, cioè
aumentando il numero delle
osservazioni e riducendo l'ampiezza
delle classi, l'istogramma precedente si
trasforma in una curva continua
chiamata gaussiana o curva di Gauss:
errore
errore
scarto
Frequenza delle misure
il parametro σ, chiamato deviazione standard,
esprime la distanza orizzontale tra i punti di flesso e il
massimo della curva (della funzione);
rappresenta la dispersione dei risultati
intorno al valore più probabile
Quanto maggiore è tale dispersione tanto più
larga appare la curva.
Una curva molto allargata indica che l'effetto
degli errori accidentali è notevole.
Il significato statistico della curva di
distribuzione è il seguente:
presi due valori x1 e x2, l'area sottesa dalla
curva nell'intervallo x1, x2 rappresenta la
probabilità che il risultato di una misura sia
compreso tra x1 e x2.
si può dimostrare che esiste
il 68.3 % di probabilità che il risultato della misura
sia compreso nell'intervallo xo+σ,
il 95.4 % che sia compreso nell'intervallo
xo+2σ e
il 99.7 % che si trovi in xo+3σ,
La deviazione standard può essere stimata dai
risultati sperimentali usando la relazione:
σ = ( (xi-xm)2/(n-1))1/2
in cui la sommatoria al numeratore rappresenta
la somma dei quadrati degli scarti dalla media.
Nota la deviazione standard è possibile calcolare
l'errore della media, o errore standard, come:
μ = σ/n1/2
che rappresenta la deviazione standard della
media.
Di conseguenza esiste il 68.3 % di probabilità che il
valor vero sia contenuto nell'intervallo xm+μ,
il 95.4 % che sia contenuto in xm+2μ
e il 99.7 % che sia contenuto in xm+3μ. Assumendo
come grado di fiducia il 95.4 % della probabilità,
si può esprimere il risultato delle misure nella
TOLLERANZA
è dunque definita come il triplo dell’errore
quadratico medio e costituisce l’ERRORE
TEMIBILE in una misurazione, è il valore prefissato
dell’incertezza.
TOLLERANZA è dunque la maggiore tra le differenze
ammissibili tra due misure della stessa grandezza in
modo che possa essere assunta la media come
valore più probabile della misura effettiva.
Consente di valutare l’ERRORE RELATIVO all’UNITA’
DI MISURA in modo che si possa assumere una
CORREZIONE automatica di segno contrario
all’errore stesso.
COME SI DETERMINA LA TOLLERANZA IN
UN RILIEVO?
1) In base alle caratteristiche del modello
finale
2) In base alle condizioni (strumenti e
metodi) del rilevamento
LA PRECISIONE DEL MODELLO
GEOMETRICO
Se il rilievo approda ad un modello grafico
dell’oggetto rilevato il parametro fondamentale è
l’errore di graficismo legato alla scala del
disegno.
Allorché nel progetto di rilievo si fissa una scala di
restituzione si implica un margine d’errore
ammissibile per rapporto allo scopo;
solo da ciò consegue la scelta di strumenti e metodi
di rilievo.
L’errore di graficismo nel disegno è valutato
intorno ai 2 o 3 decimi di mm. assumendo
conseguentemente un valore di tolleranza
direttamente proporzionale alla diminuzione
della scala (crescita del denominatore di scala)
dai 3 cm. della scala 1:100 ai 60 cm. in scala
1:2000.
D’altronde la rilevazione delle lunghezze con
strumenti diretti per rilievi in scala 1:50 non
consente tuttavia di rispettare nemmeno l’errore di
1,5 cm. consentito dall’errore di graficismo…
La differenza tra errore di graficismo e tolleranza
strumentale cresce in scala 1:20 sulle grandi
estensioni, mentre per rilievi in scala 1:100 la
tolleranza strumentale è ampiamente contenuta
nell’errore di graficismo.
MISURE DIRETTE
ERRORE QUADRATICO MEDIO
NELLE MISURE DIRETTE
Distanza topografica è la misura della lunghezza del
segmento che unisce la proiezione di due punti sulla
superficie di riferimento.
La misura diretta di una distanza L si compie riportando
n volte una lunghezza campione al quale è connesso
un errore quadratico medio  au noto
dell’assommarsi delle esperienze.
 au
è riferito al metro o al chilometro.
ERRORE ACCIDENTALE NELLE
MISURE DIRETTE
L’errore accidentale quadratico medio
a L della misura diretta L di una distanza
è proporzionale alla radice quadrata della
distanza:

aL

au
L
l’errore quadratico medio non è direttamente in
proporzione al crescere della distanza ma della
sua radice quadrata perché le compensazioni
tra valutazioni per eccesso e per difetto
avvengano automaticamente aumentando
l’entità della misura.
ERRORE SISTEMATICO NELLE MISURE
DEIRETTE
Invece gli errori dovuti alla taratura degli
strumenti influenzano la lettura delle misure
sempre nello stesso modo, direttamente
proporzionale alla distanza da misurare.

sL
  .L
su
Per ogni condizione strumentale esiste un
coefficiente di proporzionalità  su, cioè un
errore quadratico sistematico unitario.
ERRORE TEMIBILE
COMPLESSIVO NELLE MISURE
DIRETTE
è la somma degli errori accidentali e
sistematici.
 
L
au
. L   .L
su
Dove L è la distanza da misurare,
au è l’errore medio unitario accidentale,
 su è l’errore medio unitario sistematico
ricavati per via sperimentale.
TOLLERANZA NELLE MISURE
DIRETTE
stabiliti p e q parametri costanti stabiliti
sperimentalmente come il triplo degli errori
quadrati medi, la TOLLERANZA t è
t  p. L  q.L
La tolleranza è stabilita da diversi sistemi di
unificazione, il Catasto Italiano, dall’IGM,
Ad esempio il Catasto Italiano stabilisce i
seguenti valori di p e q:
p
Terreno
pianeggiante
Terreno
ondulato
Terreno
sfavorevole
0,015
0,020
0,025
q
0.0008
G. Boaga, Introduzione al rilievo fotogrammetrico
dei monumenti, Roma 1970.
Boaga fissa per il rilievo edilizio una Tolleranza
compresa
tra 0,45 e
1,45 mm
per metro.