Istituto Tecnico Statale Commerciale e per Geometri
“Ruggero Bonghi” – Assisi
PINTI
RAGNI
LUCA
GAUDENZI
LORENZO
APOSTOLICO
FEDERICO
NICOLA
PROF. SSE: TINI ILIANA e MALIZIA ARCANGELA
Dove si dovrà posizionare il nostro amico
Bob per fotografare meglio la statua?
E .…
Fino a quale distanza Bob, riuscirebbe a
vedere la statua?
Ma prima un po’ di storia….
• La Basilica di Santa
Maria degli Angeli si
trova a pochi chilometri
da Assisi, in pianura, al
centro della Valle Umbra.
• La chiesa venne
realizzata su ordine di
Papa Pio V in 110 anni a
partire dal 1569 d.C. su
progetto dell'architetto
Galeazzo Alessi e con la
consulenza, fra gli altri
anche del Vignola.
• L'edificio è oggi uno dei
santuari più grandi del
Cristianesimo contando
126 metri di lunghezza,
circa 65 di larghezza e 40
metri di altezza in
corrispondenza della
facciata portata a termine
nel 1680.
E’ sorta con un duplice scopo:
• anzitutto, custodire e
• in secondo luogo, accogliere
proteggere la Porziuncola - la
l’enorme folla dei pellegrini
culla preziosa dell’Ordine
attratta ogni anno dalla Festa del
francescano - la piccola
Perdono (il Perdono d’Assisi è
chiesetta-oratorio che ospitò
un’indulgenza istituita dal Santo
Francesco e i suoi frati
e confermata poi da Papa
all’inizio della loro missione;
Onorio III).
• Nel 1930 viene posta
al vertice della facciata
la statua della
"Madonna
degli
Angeli" realizzata
dallo scultore Colasanti,
mentre, perché il
piazzale antistante
raggiunga l'attuale
sistemazione, si deve
attendere il progetto
dell'architetto Nicolosi
del 1950.
Ora un po’ di fisica:
Angolo di visuale:
L’angolo di visuale e’ l’angolo sotto cui l’oggetto è
visto dall’occhio.
Minimo visibile:
• Il minimo visibile e’ il minimo angolo visivo,
entro il quale l’occhio riesce a distinguere
la presenza di due punti distinti, ed è
almeno pari a 1’.
Il nostro percorso
Da un’idea di Matematica & Realtà
• Vogliamo descrivere come varia l’angolo di visuale in
funzione della distanza dell’osservatore dalla statua.
• Vogliamo trovare la distanza dell’osservatore dalla statua
corrispondente al ‘minimo ‘visibile’.
B
7m
A
γ
40 m
α
β
O
P
La nostra simulazione
Dopo aver misurato le varie distanze abbiamo rilevato che:
• Altezza della basilica
OA= 40 m
• Altezza della statua
AB= 7m
B
7m
A
• Distanza
dell’osservatore dalla
basilica OP= x
γ
40m
α
• Angolo di visuale γ = α-β
β
O
P
Determiniamo l’angolo di
visuale
Con i teoremi di trigonometria sui triangoli rettangoli possiamo scrivere:
47
tg 
x
Sapendo che :
e
tg 
40
x
tg  tg
tg (   ) 
1  tg  tg
(formule di sottrazione)
sostituendo otteniamo:
47 40

7x
x
x 
tg (   ) 
47 40 x 2  1880
1

x x
7x
tg (   )  2
x  1880
Da cui l’angolo di visuale γ = α - β è dato da:
7x



2
x

1880


  (   )  arctg 
radianti
7x


  (   ) 
arctg  2
 gradi

 x  1880 
180
Troviamo la soluzione graficamenTe….
Rappresentando graficamente la funzione, notiamo che essa ammette un punto di
massimo che corrisponde alla posizione dalla quale Bob vede l’altezza massima
della statua:
POSIZIONE OTTIMALE: distanza dalla basilica 43 m circa
angolo di visuale di 5° circa
43m ; 4,6°
gradi
5.00
4.50
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
metri
300
Troviamo la soluzione del problema
matematicamente…
Determiniamo il punto di massimo della funzione con lo studio della derivata prima
Ricordando che:
f ' ( x)
Darctgf ( x) 
1  f 2 ( x)
7x 2 7 1880  14x2
 7x 2  13160
(x 2  1880)2
'
(x) 

49x2
(x 2  1880)2  49x2
1 2
(x  1880)2
 ' ( x)  0
Per x= 43,35m
7x 2  13160  0
si ha:
si ha:
da cui:
x  43,35m
(prendiamo la soluzione positiva)
 7  43,35  180

  arctg 

gradi

4
,
6

2
 43,35  1880  
Quindi Bob…
• Per fotografare al
meglio la
bellissima statua
della Madonna ti
dovrai posizionare
a circa 43 metri.
Determiniamo la distanza massima
entro la quale è visibile la statua
• il minimo angolo visivo è almeno pari a 1’
- Riduciamo i primi d’arco in gradi e radianti:
 1   1  
1'      
rad .
 60   60 180 
0
Dalla funzione che esprime la tangente dell’angolo di visuale:
tg ( ) 
7x
x 2  1880
ricaviamo:
x 2  tg  7 x  1880  tg  0
7  49  4 1880 tg2 γ
x

1,2
2  tgγ
da cui:
Se γ = 1’
 1 π 
7  49  7520  tg  

 60 180 

 24.076 m  24km
 1 π 
2  tg  

 60 180 
2
x1,2
Per verificare l’attendibilità dei nostri calcoli,
ci siamo recati sulla terrazza del Mercato
Coperto di Perugia. Data la presenza di
una leggera foschia e la nostra limitata
percezione visiva non è stato possibile
distinguere la statua ma era chiaramente
individuabile la basilica.
Però...
Dotati di un’ottima acutezza visiva e in
condizioni meteorologiche ottimali la
soluzione teorica del nostro problema
risulterebbe effettivamente reale.
Provateci Anche
Voi ;)