• RAPPORTI E PROPORZIONI
• PROPORZIONALITA’ DIRETTA ED INVERSA
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• Dal rapporto alla proporzione
• Proprietà delle proporzioni
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PROPORZIONI
Dal rapporto alla proporzione
Dati due numeri a e b, con b≠0, si chiama rapporto fra i due numeri il
quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo, cioè a : b.
Si chiama invece, rapporto inverso il quoziente ottenuto dividendo il
secondo per il primo, cioè b : a.
Tale numero sarà un numero razionale esprimibile sotto forma di
frazione.
Esempi di rapporti
Rapporto fra numeri: è il numero che si ottiene dividendo il primo
numero per il secondo.
(2 : 5 = 0,4)
Rapporto tra grandezze omogenee: è il numero che si ottiene (15kg : 3kg = 5kg)
dividendo la prima grandezza per la seconda (o la misura della
prima grandezza rispetto alla seconda).
Rapporto fra grandezze eterogenee: è la grandezza che si
ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda
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(40m : 5s = 8m/s)
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In un rapporto, il dividendo viene detto antecedente e il divisore
conseguente.
L’uguaglianza di due rapporti è una proporzione:
a:b=c:d
Tale uguaglianza si legge in questo modo: “Il rapporto fra a e b è uguale al
rapporto fra c e d” oppure: “a sta a b come c sta a d”.
I numeri che compaiono nella proporzione vengono detti termini della
proporzione. In particolare il primo e il quarto vengono detti estremi, il
secondo e il terzo medi.
Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali
Esempio:
36 : 12 = 12 : 4
In generale la forma di una proporzione continua è la seguente:
a:b=b:c
In una proporzione continua b viene detto medio proporzionale
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La proprietà fondamentale
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al
prodotto degli estremi.
SE a : b = c : d ALLORA b x c = a x d
Esempi
7 : 2 = 21 : 6
3 2 3 2
: 
:
4 5 20 25
→
→
2 x 21 = 7 x 6 = 42
2 3
6
3 2


 
5 20 100 4 25
Grazie alla proprietà fondamentale possiamo quindi verificare se
quattro numeri, in un dato ordine, formano una proporzione.
Adesso andremo a vedere come, sfruttando la proprietà
fondamentale, è possibile calcolare un termine incognito
conoscendo gli altri termini della proporzione.
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Poniamoci una domanda su un problema abbastanza
semplice: se un operaio percepisce 900€ in un mese
quanti euro percepirà in due mesi e mezzo?
In questo caso, basterà moltiplicare 900 per 2,5 e
otterremo il risultato. Ma se pensiamo il problema in
termini di rapporti tra i termini numerici che vi compaiono,
potremmo andare a scrivere la seguente proporzione:
900 : 1 = x : 2,5
Se applichiamo la proprietà fondamentale otteniamo:
1 ∙ x = 900 ∙ 2,5
Il termine incognito a questo punto sarà dato proprio dal
prodotto tra i termini numerici dati.
Quindi attraverso la proprietà fondamentale possiamo
calcolare il valore dell’incognita tenendo conto ogni volta della
posizione che essa occupa all’interno della proporzione. In
particolare:
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Se il termine incognito è un estremo, esso si calcola dividendo il
prodotto dei medi per l’estremo noto.
Esempi
x : 3 = 4 : 9 Per la proprietà fondamentale 3 ∙ 4 = x ∙ 9 e quindi
3  4 12 4
x
 
9 9 3
Se il termine incognito è un medio, esso si calcola dividendo il
prodotto degli estremi per il medio noto.
Esempi
5 : x = 15 : 7
→
x
5  7 35 7


15 15 3
Se la proporzione è continua e il termine incognito è un medio allora
esso sarà dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi; se il
termine incognito invece sarà un estremo lo si otterrà dividendo il
quadrato del medio per l’altro estremo.
SE a : b = b : c ALLORA b ∙ b = a ∙ c.
2
b
Cioè b2 = a ∙ c. Dunque b  a  c e a 
c
b2
mentre c 
a
Esempi 3 : x = x : 12 → x  3  12  36  6
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Proprietà delle proporzioni
Le proporzioni godono di interessanti e utilissime proprietà che ne fanno
uno strumento molto potente nella risoluzione di problemi riguardanti i
più diversi ambiti. Riuscire ad applicare nella maniera corretta tali
proprietà è fondamentale nella risoluzione di tali problemi.
Vediamole tutte quante.
PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE
Data la proporzione a : b = c : d, poiché, se due rapporti sono
uguali, lo sono anche i loro inversi, si può scambiare di ogni
posto ogni antecedente col proprio conseguente, e la
proporzione resta valida.
SE a : b = c : d ALLORA b : a = d : c
Esempi
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6 : 3 = 24 : 12
diventa
3 : 6 = 12 : 24
9 : 2 = 45 : 10
diventa
2 : 9 = 10 . 45
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PROPRIETA’ DEL PERMUTARE
In ogni proporzione, poiché il prodotto dei medi è eguale al prodotto degli
estremi e il prodotto è commutativo, è possibile scambiare di posto i medi
fra loro e/o gli estremi fra loro, e la proporzione resta valida.
a : c  b : d
SE a : b = c : d ALLORA 
d : b  c : a
Esempio
permutando i medi
4 : 20 = 6 : 30
4 : 6 = 20 : 30
permutando gli estremi 30 : 6 = 20 : 4
Se in una proporzione i medi e gli estremi vengono permutati
simultaneamente si ottiene un risultato “banale” cioè la proporzione
scritta a rovescio.
Esempio
7 : 5 = 21 : 15
diventa
15 : 21 = 5 : 7
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PROPRIETA’ DEL COMPORRE
In una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al
primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta
al terzo (o al quarto).
a : b = c : d → (a + b) : a = (c + d) : c oppure (a + b) : b = (c + d) : d
Esempi
4 : 7 = 12 : 21
Applicando la proprietà del comporre otteniamo:
(4 + 7) : 4 = (12 + 21) : 12 cioè 11 : 4 = 33 : 12
Quella che abbiamo ottenuto è una nuova proporzione. Infatti:
4 ∙ 33 = 11 ∙ 12 = 132.
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PROPRIETA’ DELLO SCOMPORRE
La differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo)
come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).
Data la proporzione : a : b = c : d,
se a > b e c > d si ha che (a – b) : a = (c – d) : c oppure
(a – b) : b = (c – d) : d;
se, invece, a < b e c < d, prima di eseguire le sottrazioni si dovrà applicare
ai termini della proporzione la proprietà dell’invertire.
Esempio
7 : 2 = 28 : 8
Applichiamo la proprietà dello scomporre:
(7 – 2) : 2 = (28 – 8) : 8 cioè 5 : 2 = 20 : 8
Si è ottenuta una nuova proporzione. Infatti 2 ∙ 20 = 5 ∙ 8 = 40
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Le proprietà del comporre e dello scomporre si rivelano utilissime
quando si tratta di risolvere problemi del tipo “somma-rapporto” e del
tipo “differenza-rapporto”.
Esempio
Il rapporto fra due numeri è 2/5 e la loro somma è uguale a 40.
Determinare i due numeri.
x + y =40
x :y = 2 : 5
Applicando la proprietà del comporre otteniamo:
(x + y) : x = (2 + 5) : 2
40 : x = 7 : 2
40  2 80
x

7
7
80 280  80 200
y  40 


7
7
7
Esercizio
Determina due numeri la cui differenza è pari a 22 e il cui rapporto è
uguale a 3/2.
(devi applicare la proprietà dello scomporre)
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Esercizi
1) Trova quali dei seguenti rapporti sono equivalenti a 21/9:
3/7;
7/3;
25/13;
210/90;
49/21
2) Calcola il valore di x
3
5
x
9
x
2
x
7
4
3) Calcola il, termine incognito
x:3 4:5
x : 4  9: x
2: x  x:8
16 : x 
4) Trova due numeri sapendo che la loro somma è 45 e il loro
rapporto 4/5
5) Nell’anidride solforica il rapporto fra le masse di zolfo e di
ossigeno è 2/3. Quanti grammi di zolfo sono contenuti in 250g di
anidride solforica?
6) Se Mario e Carlo hanno in tutto 240 figurine e Carlo ne
possiede i 3/5 di quelle di Mario, quante ne ha ciascuno?
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2 4
:
25 25
Grandezze direttamente ed inversamente
proporzionali
Prima di analizzare nei dettagli l’argomento riguardante la
proporzionalità diretta e inversa fra grandezze, è opportuno ritornare
brevemente su un concetto tipicamente matematico che trova largo
uso nelle scienze sperimentali: quello di funzione.
Si considerino due grandezze qualsiasi che per comodità indichiamo
con x e y. Spesso si verifica (soprattutto in fisica) che scelte le due
grandezze in modo opportuno, al variare della prima (la x) anche la
seconda (la y) subisca variazioni. Se poi la legge è tale che ad ogni
valore assunto dalla x, è possibili associare uno ed un solo valore della
y diremo allora che y è funzione di x.
Denoteremo questa condizione con la scrittura
y = f(x)
nella quale la grandezza x viene detta variabile indipendente mentre la
grandezza y variabile dipendente nel senso che i valori assunti da
questa dipendono da quelli assegnati alla x.
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Consideriamo ora un’esperienza nella quale vengono pesati blocchetti di
ferro di volume assegnato e rispettivamente uguale a 1, 2, 3, 4, 5, 6 cm3.
La tabella che segue mostra i valori del peso al variare del volume.
Volume (cm3)
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
Peso (g)
7.8
15.6 23.4 31.2 39.0 46.8
Osservando attentamente la tabella ci si rende conto che esiste una
regolarità tra i valori assunti dalle due grandezze fisiche, e cioè
quando il volume raddoppia, triplica, ecc., anche il peso raddoppia,
triplica, ecc… Possiamo esprimere questa regolarità anche notando
che il rapporto tra il peso P ed il volume V si mantiene costante. Infatti:
7.8 15.6 23.4


 ...
1.0
2.0
3.0
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In generale quando due grandezze x e y sono tali che il loro rapporto si
mantiene costante diremo allora che le due grandezze sono
direttamente proporzionali.
In formule scriveremo :
y
k
x
(dove k rappresenta una qualsiasi costante)
e chiameremo questa legge della proporzionalità diretta.
Si considerino ora l’insieme dei rettangoli aventi per area un valore
dato A. Se si indicano con b e h rispettivamente la base e l’altezza dei
rettangoli in questione, l’espressione che determina l’area sarà
b∙h=A
Anche in questo caso tra le due grandezze esiste una dipendenza ma
di tipo completamente diverso da quella vista sopra. Ora infatti è
immediato riconoscere che se il valore di b raddoppia, triplica ecc.,
affinchè l’area si mantenga sempre uguale ad A. occorre
necessariamente che il valore di h diventi rispettivamente la metà, un
terzo, ecc.
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In generale quando due grandezze x e y sono tali che il loro prodotto si
mantiene costante diremo allora che le due grandezze sono
inversamente proporzionali. In formule scriveremo
x ∙ y = k (k costante qualsiasi)
e chiameremo questa legge della proporzionalità inversa.
La rappresentazione attraverso una tabella può aiutare a comprendere
meglio quanto è stato detto.
Posto A = 24 cm2 assegniamo valori arbitrari alla base b e
determiniamo i corrispondenti valori dell’altezza h.
base b
(cm)
1
2
3
4
6
8
12
24
Altezza
h (cm)
24
12
8
6
4
3
2
1
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ESERCIZI
1) Stabilisci se tra le seguenti coppie di grandezze variabili esiste una
relazione di proporzionalità diretta, inversa oppure non esiste alcun
legame di proporzionalità.
Diretta
Inversa
Nessun legame
Calorie assimilate e
peso di una persona
Superficie e altezza
di un trapezio
Strada percorsa e
benzina consumata
da un’auto
Numero di operai e
tempo di esecuzione
di un lavoro
Crescita di una
pianta e tempo
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2) Individua le relazioni fra gli elementi delle seguenti tabelle e
trova gli elementi mancanti.
x
y
2
1
4
2
6
3
10
…
x
y
2
8
4
4
8
2
16
…
x
1
5
8
10
y
3
7
10
…
x
y
4
9
5
11
7
15
6
…
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