NOZIONI FONDAMENTALI DI
GEOMETRIA RAZIONALE
INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA
RAZIONALE
I Greci furono i primi a pensare a figure di tipo geometrico (dal greco geo, terra, e
metron, misura, che significa “misura della terra”) non esistenti in natura. Questo tipo
di studio parte da enti primitivi e da concetti come punti, linee, piani e spazi.
Oltre a questi termini ci saranno anche delle definizioni che ne spiegheranno altri.
Infine, oltre a termini e definizioni, ci sono i postulati (dal greco richiedere) che sono
affermazioni che esprimono realtà evidenti.
Il termine “geometria razionale” viene dal fatto che come metodo scientifico non
bisogna usare l’intuizione, ma il RAGIONAMENTO. Essa non è totalmente astratta
perché molte proposizioni saranno molto uguali alla realtà.
TEOREMI ED ENTI PRIMITIVI
Il TEOREMA è un’implicazione tra un’ipotesi e una tesi.
Nel teorema:
•L’enunciato esprime il contenuto dell’implicazione da verificare;
•L’ipotesi esprime quello che si suppone sia vero,
•La tesi esprime quello che si deve verificare;
•La dimostrazione è il processo deduttivo che porta ad affermare la verità della tesi tutte le volte che sono
verificate le ipotesi
Spesso il teorema non è scritto sotto forma di enunciato ma bisogna trasformarli.
In geometria gli enti primitivi sono i termini che non sono definiti ed essi sono: punto, retta, piano, spazio,
insieme, elemento, appartenenza, movimento rigido
Una figura è un insieme qualunque di punti e quindi:
DEFINIZIONE FIGURA:
si definisce figura un insieme, non vuoto, di punti.
POSTULATI FONDAMENTALI
POSTULATI DI APPARTENENZA
POSTULATO 0
Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti piani.
Un piano contiene infiniti punti e infinite rette.
Una retta contiene infiniti punti.
POSTULATO 1
Due punti distinti appartengono ad una ed a una sola retta o anche per due punti distinti passa una e una
sola retta
POSTULATO 2
Tre punti non allineati appartengono a uno ed a uno solo piano o anche per tre punti non allineati
passa uno e un solo piano oppure ancora tre punti non allineati individuano un piano e uno solo
(fig. 4)
POSTULATO 3
Se due punti di una retta appartengono a un piano, allora la retta è contenuta (o giace)
nel piano.
POSTULATO D’ORDINE
POSTULATO 4
Si può stabilire una relazione d’ordine tra i punti di una retta, ossia si possono ordinare i punti di una retta in
modo che
•Se due punti distinti A e B della retta, o A precede B oppure B precede A (fig.5 e 6)a
•Se A precede B e B precede C, allora A precede C (fig.7)
POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO
POSTULATO 5
Una retta r di un piano divide il piano in due parti (non vuote) tale che
•Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa
parte;
•Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha in comune con r un
punto (punto di intersezione tra la retta passante per C e per D e la retta r) (fig.16)
POSTULATO DI EUCLIDE
POSTULATO 6
Per un punto esterno a una retta passa una sola retta parallela alla retta data. (fig.24)
POSTULATO DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI
POSTULATO 8
Dati una semiretta di origine O e un segmento, esiste sulla semiretta un segmento e uno solo di
origine O e congruente al segmento dato. (fig.45)
POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI
POSTULATO 9
Dati in un piano una semiretta e un angolo, esiste uno e uno solo angolo, congruente all’angolo
dato, che abbia uno dei lati coincidente con la semiretta, il vertice nell’origine della semiretta e
che giaccia da una parte prefissata rispetto ad essa. (fig.48)
POSTULATO DI DIVISIBILITA’ DELL’ANGOLO
POSTULATO 10
Ogni angolo è divisibile in un numero n (n≥2) di parti
congruenti
RETTE, SEMIRETTE, SEGMENTI,
LINEE
SEMIRETTA: data una retta orientata r e un suo punto qualsiasi O, si chiama semiretta di origine
O l’insieme costituito del punto O stesso e dai punti di r che precedono (oppure che seguono) O
nel verso fissato. (fig.8)
SEGMENTO: si definisce segmento di estremi A e B l’insieme costituito dai punti A e B e da tutti i
punti della retta AB compresi tra A e B. (fig.9) Se A e B coincidono, il segmento è nullo.
SEGMENTI CONSECUTIVI: due segmenti aventi in comune solamente un estremo si dicono
consecutivi.
SEGMENTI ADIACENTI: due segmenti consecutivi e situati sulla medesima retta si dicono
adiacenti.
DEFINIZIONE POLIGONALE: la figura formata da più segmenti consecutivi si chiama poligonale
(o spezzata) aperta. I segmenti di dicono lati della spezzata e i loro estremi vertici. Ogni vertice,
tranne il primo e l’ultimo, è comune a due lati della spezzata; il primo e l’ultimo vertice si dicono
estremi della poligonale. Se i due estremi si uniscono la poligonale è chiusa. Se i due vertici non
sono uniti la poligonale è aperta. Essa può essere anche intrecciata.
SEMIPIANO: si chiama semipiano avente per origine la retta r la figura costituita dalla retta r e
da una delle due parti in cui tale retta divide il piano.
POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE
FASCIO PROPRIO DI RETTE: l’insieme di tutte le rette di un piano che passano per uno stesso
punto è detto fascio proprio di rette; il punto è detto centro del fascio. (fig.20)
RETTE INCIDENTI: se due rette hanno un solo punto in comune esse si dicono incidenti. (fig.21)
RETTE PARALLELE: due rette distinte di uno stesso piano (cioè
complanari) si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune.
(fig.22)
SGHEMBE: due rette non complanari che non hanno alcun punto in
comune si dicono sghembe. (fig.23)
FASCIO IMPROPRIO DI RETTE: in un piano, l’insieme costituito da una retta e da tutte le sue
parallele prende il nome di fascio improprio di rette parallele o fascio improprio. La proprietà
comune a tutte le rette di un fascio improprio è quella di avere la stessa direzione.
FIGURE CONCAVE E CONVESSE: una figura si dice convessa se, considerati due suoi punti
qualsiasi, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nella figura. Se esiste anche
solo una coppia di punti per cui tale proprietà non si verifica, la figura è detta concava.
ANGOLI E POLIGONI
ANGOLO: si definisce angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette
distinte con l’origine in comune, semirette comprese. Le semirette si dicono lati dell’angolo e ne
costituiscono il contorno; l’origine comune si dice vertice dell’angolo.
ANGOLI CONVESSI E CONCAVI: dei due angoli formati dalle semirette a e b si dice convesso
quello che non contiene al suo interno i prolungamenti dei lati (fig.27) e si dice concavo quello
che contiene al suo interno i prolungamenti dei lati.
ANGOLO PIATTO: due semirette opposte determinano due angoli, ciascuno dei quali è detto
angolo piatto. (fig.28)
ANGOLO NULLO: se le due semirette sono sovrapposte l’angolo che si forma è un angolo nullo.
(fig.29)
ANGOLI CONSECUTIVI: due angoli di un piano si dicono consecutivi quando hanno lo stesso
vertice e hanno in comune solamente i punti di un lato. (fig.30)
ANGOLI ADIACENTI: due angoli di dicono adiacenti quando oltre a essere consecutivi, hanno i
lati non comuni che giacciono su una stessa retta. (fig.31)
POLIGONO: si definisce poligono la figura formata da una poligonale chiusa (non intrecciata) e
dalla parte di piano da essa definita.
POLIGONI CONVESSI E CONCAVI: un poligono di dice convesso se giace da una stessa parte
rispetto a ciascuna retta ottenuta prolungando ognuno dei lati. Un poligono si dice concavo se il
prolungamento di un suo lato lo divide in due parti. (fig.34) il numero lati di un poligono sono
sempre uguali al numero dei vertici dello stesso e da essi si ottiene il nome del poligono
(triangolo, quadrangolo, pentagono, esagono, ecc…)
DIAGONALE E CORDA DI UN POLIGONO: il segmento che
ha per estremi due vertici non consecutivi di un poligono
si chiama diagonale. Si chiama invece corda ogni segmento
che ha per estremi due punti qualsiasi del contorno del
poligono non appartenenti ad uno stesso lato.
CONGRUENZA TRA FIGURE PIANE
FIGURE CONGRUENTI: due figure si dicono congruenti (o isometriche o sovrapponibili) quando è
possibile trasportare, con un movimento rigido, la prima figura in modo che coincida con la
seconda. (fig.39)
POLIGONI EQUILATERI E EQUIANGOLI: un
poligono è detto equilatero se ha tutti i la ti
congruenti tra loro ed è detto equiangolo se ha gli
angoli tutti congruenti tra loro.
POLIGONO REGOLARE: un poligono è detto regolare se è sia equilatero sia equiangolo.
SOMMA E DIFFERENZA DI
SEGMENTI E DI ANGOLI
La somma tra due segmenti AB e BC si può fare se i due segmenti sono adiacenti e quindi la
formula sarebbe AB+BC.
La differenza tra due segmenti di cui il primo è maggiore o congruente al secondo e quel
segmento che addizionato al secondo si riforma il primo.
Queste operazioni hanno le seguenti proprietà:
•Commutativa
•Associativa
•Somme di segmenti rispettivamente congruenti
MULTIPLO DI UN SEGMENTO: si definisce multiplo di un segmento a, secondo il numero
naturale n≥2, la somma di n segmenti congruenti ad a. (fig.53)
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO: si chiama punto medio di un segmento il punto, interno al
segmento, che lo divide in due parti congruenti.
SIMMETRIA RISPETTO A UN PUNTO: due punti A e B sono simmetrici rispetto a un punto M
quando il punto M è il punto medio del segmento AB (es. fig.55)
La somma tra due angoli AOB e BOC consecutivi e l’angolo AOC,
ma si possono sommare anche angoli non consecutivi come
l’esempio della fig.56.
La differenza di due angoli, di cui il primo è maggiore o congruente al secondo, è l’angolo che
sommato al secondo dà come risultato il primo.
Anche per gli angoli ci sono le regole delle somme e differenze di angoli rispettivamente
congruenti che sono congruenti. Ci sono pure i multipli e i sottomultipli.
BISETTRICE DI UN ANGOLO: si chiama bisettrice di un angolo di vertice O la semiretta, interna
all’angolo, che divide l’angolo in due parti congruenti.
ANGOLI ESPLEMENTARI: due angoli sono detti esplementari se hanno per somma un angolo
giro.
ANGOLI SUPPLEMENTARI: due angoli sono detti supplementari se hanno per somma un angolo
piatto.
ANGOLO RETTO: la metà di un angolo piatto si dice angolo retto.
ANGOLI ACUTI E OTTUSI: un angolo minore di un angolo retto è detto angolo acuto; un angolo
convesso maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto è detto ottuso.
ANGOLI COMPLEMENTARI: due angoli la cui somma sia congruente a un angolo retto si dicono
complementari.
RETTE PERPENDICOLARI: due rette si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro
angoli retti.
PROIEZIONE DI UN SEGMENTO SOPRA UNA RETTA: si dice proiezione di un segmento sopra una
retta il segmento che ha per estremi le proiezioni sulla retta degli estremi del segmento dato.
(fig.69)
ASSE DI UN SEGMENTO: in un piano, l’asse di
un segmento è la retta passante per il punto
medio del segmento e perpendicolare al
segmento stesso.
PUNTI SIMMETRICI RISPETTO AD UNA RETTA: due punti A e B si dicono simmetrici rispetto a
una retta r, se r è alle del segmento AB.
ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE: due angoli convessi si dicono opposti al vertice se i lati di uno
sono i prolungamenti dell’altro.
TEOREMA 1
Angoli opposti al vertice sono congruenti.
MISURA DEI SEGMENTI, DEGLI
ANGOLI E DELLE SUPERFICI
LUNGHEZZA
Misurare un segmento AB significa metterlo a confronto con un’unità di misura u. Da esse si
possono trarre tre casi:
Primo caso: AB è un multiplo di u secondo un numero naturale n. In questo caso, AB=n*u, la
misura di AB è il numero positivo n e quindi AB=n.
Secondo caso: il segmento AB è multiplo secondo n del sottomultiplo secondo m.
AB=n*(1/m*u)=n/m*u. la misura di AB rispetto a u è il numero razionale n/m, cioè AB=n/m
Terzo caso: il segmento AB non è un sottomultiplo di u, cioe non esiste un segmento
sottomultiplo sia si u che di AB. In questo caso si riescono a conoscere solo valori approssimati
per difetto ed eccesso; essi sono numeri irrazionali.
I primi due casi davano il risultato che AB e u = commensurabili; nel terzo caso invece AB e u
erano incommensurabili.
Si conclude così che dato un qualsiasi segmento AB esiste sempre un numero reale positivo che
costituisce la misura di AB rispetto a un dato segmento scelto a piacere come unità di misura.
L’unità di misura della lunghezza è anche detta unità di misura lineare ed è il METRO. I suoi
multipli e sottomultipli sono:
Decametro, ettometro, chilometro ecc…
Decimetro, centimetro, millimetro ecc…
AMPIEZZA
Per misurare gli angoli bisogna considerare l’estensione del piano relativa all’angolo che prende
il nome di ampiezza. Bisogna fare un procedimento simile a quello dei segmenti, quindi trovare
un’unità di misura e confrontarla con l’angolo dato.
Per misurare gli angoli si usa la novantesima parte dell’angolo retto e quindi si ottiene il GRADO.
I suoi sottomultipli sono il primo e il secondo
SUPERFICIE
Per misurare le superfici delle figure piane bisogna misurare l’estensione delle superfici di tali
figure; tale espansione è detta anche area. Per misurare l’area bisogna confrontare la superficie
da misurare con un’altra qualsiasi come per i segmenti e gli angoli.
Per facilitare la misurazione delle superfici si usa il quadrato come u.d.m. Il METRO QUADRATO è
l’unità di misura e i suoi multipli e sottomultipli sono:
dam₂, hm₂, dm₂, cm₂