Geometria analitica:
dalle funzioni alle rette
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Funzioni: come speciali legami.
Si possono considerare le relazioni come dei
legami che si formano fra elementi di due
insiemi diversi.
Legami di qualsiasi specie fra elementi di
insiemi contenenti qualsiasi cosa.
Funzioni: come speciali legami.
Fra le infinite possibilità alternative, noi ci
diremo interessati (lo so, è una parola forte):
•agli insiemi di numeri
•alle relazioni fra numeri che risultano
dall’applicazione di una o più operazioni
(eseguite in serie) su numeri
•a quel tipo di relazioni che, dato un numero,
individuano SEMPRE uno e un solo numero
corrispondente (le funzioni)
Funzioni: terminologia
A questi oggetti (ovvero alle scivolose idee che
gli stanno sotto) abbiamo dato dei nomi ben
precisi in modo che il solo nome (senza ulteriori
spiegazioni) evochi con precisione l’idea che
abbiamo in mente.
Funzioni: terminologia
Il numero di cui cerchiamo il corrispondente è la
x (variabile indipendente)
Funzioni: terminologia
Il suo corrispondente è la y (variabile
dipendente, anche detta immagine di x che, a sua
volta viene anche detta controimmagine di y )
Funzioni: terminologia
L’insieme dei valori che possiamo attribuire alla
x è detto Dominio, mentre l’insieme dei valori
che possono risultare per la y è detto Codominio
Funzioni: interconnessione
Già dalla nomenclatura appare evidente il
legame quasi inestricabile fra le diverse parti di
questa idea complessiva: ognuna di esse, d’altra
parte, non ha motivo di esistere senza l’altra.
Rappresentazione delle funzioni
Laddove esiste, una funzione individua coppie
ordinate di numeri reali (ordinate perché si parte
dalla scelta del valore da dare alla variabile
indipendente e si procede calcolando il valore
che risulta per la variabile dipendente).
Rappresentazione delle funzioni
Il piano cartesiano, che abbina ad ogni suo punto una
coppia ordinata di numeri reali, è proprio il luogo
naturale per rappresentare le funzioni, ovvero le
infinite coppie di valori x ed y che ciascuna funzione
individua.
Rappresentazione delle funzioni
E’ infatti sufficiente che qualcuno inserisca un valore
qualsiasi al posto della x, calcoli il valore che risulta
per la y, piazzi la coppia di numeri ottenuta sul piano
cartesiano e ripeta l’intera procedura scegliendo via
via un nuovo valore da attribuire alla x.
Rappresentazione delle funzioni:
non per punti, per favore!
Tuttavia, rappresentare le funzioni disegnadone un
gran numero di punti è una faccenda da macchine,
non da uomini. Gli uomini ben presto si annoiano e,
se sono ben motivati, si mettono alla ricerca di uno
stratagemma che li liberi dall’incubo di un lavoro
sempre uguale a sé stesso. E spesso ci riescono
perché l’insofferenza, condita da un briciolo di
orgoglio, è proprio la molla che conduce alla
scoperta.
Rappresentazione delle funzioni:
scopriamo le strutture!
Nel caso delle funzioni, la scoperta consiste
nell’insieme di idee che ci consentono di riconoscere
le diverse funzioni semplicemente osservando la
struttura delle equazioni che le rappresentano.
Rappresentazione delle funzioni:
scopriamo le strutture!
Le diverse strutture rendono palesi le caratteristiche
relative alla forma ed alla posizione della funzione
stessa indicandone i punti critici e permettendo di
rappresentarla con un grado di fedeltà accettabile
senza che ci sia bisogno di eseguire una montagna di
noiosi calcoli.
Rappresentazione delle funzioni:
funzione costante
La più semplice delle funzioni è quella che a
qualsiasi valore della variabile indipendente fa
corrispondere un medesimo valore della variabile
dipendente (dando alla x qualsiasi valore si ottiene
sempre la medesima y).
Rappresentazione delle funzioni:
funzione costante
Fa simpatia la funzione costante: si comporta come
se in essa la variabile dipendente tentasse
disperatamente di rivendicare un briciolo di
indipendenza: si aggrappa al suo valore e nessuno la
sposta più. Ma è solo un illusione: l’analisi del suo
valore si fa sempre a partire dal valore della x così
che la y, pur nel successo del suo tentativo di non
lasciarsi imbrigliare, resta una variabile dedotta, una
variabile a cui si guarda in un secondo momento, una
variabile dipendente, appunto.
Rappresentazione delle funzioni:
funzione costante
La funzione costante è della forma:
yq
Prova a disegnarla sul tuo quaderno quando :
q2
cioè quando
y2
Solo dopo che hai provato, clicca per andare avanti
Rappresentazione delle funzioni:
funzione costante
y2
Rappresentazione delle funzioni:
funzione costante
y2
Come puoi osservare, non importa quale valore assuma la
x: in tutti i punti selezioneati, l’ordinata corrispondente è
sempre la stessa ed è la costante q (o k, se preferisci) .
Rappresentazione delle funzioni:
funzione lineare
Quando si lavora anche sulla variabile indipendente x, si
riesce a fare breccia sulla resistenza della y. All’apparire del
termine in x (con il suo coefficiente m) ecco che il grafico
della funzione si “inclina” ai voleri della variabile
indipendente.
Rappresentazione delle funzioni:
funzione lineare
Rappresentazione delle funzioni:
funzione lineare
y  mx  q
Nell’equazione il valore della funzione, pur partendo dal
neutrale q, cresce o diminuisce di m volte il valore che
viene di volta in volta viene attribuito alla x.
La y si aggrappa al suo asse in corrispondenza di quanto
indica la q (che è il termine in cui non compare la x) ma
inevitabilmente cresce o decresce. secondo i capricci
dell’alleanza fra la m e la x.
Rappresentazione delle funzioni:
funzione lineare y  mx  q
Come si può osservare nella
figura a sinistra, qui il valore
che ha assunto la x conta,
eccome: in tutti i punti
selezioneati, l’ordinata
corrispondente è sempre
diversa ed è la somma
algebrica fra la costante q ed
il prodotto fra il numero
fisso m ed il valore sempre
nuovo della x.
Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
y  mx  q
Ma cosa rappresenta m? Sarebbe bello che
rappresentasse qualcosa di significativo.
Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
y  mx  q
Vediamo un po’: l’istinto ci dice che esso indica
il modo in cui la funzione lineare si inclina, cioè
il modo in cui al variare della x anche la y varia.
Proviamo a mettere a confronto i valori della
funzione in due punti diversi:
Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
y  mx  q
condizione di passaggio per A)
da cui
q  y A  mx A
y A  mx A  q
Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
y  mx  q
condizione di passaggio per B) yB  mxB  q
da cui
q  yB  mxB
Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
Volendo soddisfare entrambe le condizioni
contemporaneamente, si deve risolvere il seguente
sistema:
q  y A  mx A

q  y B  mx B
Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
mxA  mxB  y A  yB

q  yB  mxB
Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
m( x A  xB )  y A  yB

q  yB  mxB
Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
 m( x A  x B ) y A  y B


x A  xB
 x A  xB
q  y  mx
B
B

Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
y A  yB

m 
x A  xB

q  y  mx
B
B

Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
e termine noto
y A  yB

m  x  x

A
B

q  y  y A  y B x
B
B

x A  xB
Rappresentazione delle funzioni:
coefficiente angolare
e termine noto
Questo sistema
importanti:
ci
ha
dato
delle
informazioni
ci ha detto come procurarci il coefficiente angolare ed
l’ordinata all’origine di una retta date sole le coordinate
di due dei suoi punti.
Rappresentazione delle funzioni:
equazione della retta per due
punti
Così, sostituendo la m e la q trovate col sistema
nell’equazione esplicita dalla retta, l’equazione di una
retta che passi per due punti dati A e B si può calcolare
come segue:
yB  y A
yB  y A
y
x  yB 
xB
xB  x A
xB  x A
Rappresentazione delle funzioni:
equazione della retta per due
punti
( y B  y A )x  ( y B  y A )xB
y  yB 
xB  x A
Rappresentazione delle funzioni:
equazione della retta per due
punti
( y B  y A )( x  x B )
y  yB 
xB  x A
Rappresentazione delle funzioni:
equazione della retta per due
punti
y  yB
( y B  y A )( x  x B )

y B  y A ( y B  y A )( x B  x A )
Rappresentazione delle funzioni:
equazione della retta per due
punti
y  yB
x  xB

y B  y A xB  x A
Rappresentazione delle funzioni:
equazione della retta per due
punti
y  yB
x  xB

 1( y B  y A )  1( xB  x A )
Rappresentazione delle funzioni:
equazione della retta per due
punti
y  yB
x  xB

y A  y B x A  xB
ovvero la nota formula per calcolare
l’equazione di una retta passante per 2 punti
dati
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
Se:
A  (2;3) B  (1;1)
y  yB
x  xB

y A  y B x A  xB
Prova a calcolare su un foglio l’equazione di
questa retta. Quando sei pronto clicca per
vedere se le nostre soluzioni coincidono
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
Se:
A  (2;3) B  (1;1)
y  (1) x  1

3  (1) 2  1
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
Se:
A  (2;3) B  (1;1)
y 1 x 1

3 1 2 1
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
Se:
A  (2;3) B  (1;1)
y 1 x 1

4
1
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
Se:
A  (2;3) B  (1;1)
y  1 ( x  1)4

4
4
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
Se:
A  (2;3) B  (1;1)
y  1  ( x  1)4
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
Se:
A  (2;3) B  (1;1)
y 1  4x  4
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
Se:
A  (2;3) B  (1;1)
y  4x  4 1
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
Se:
A  (2;3) B  (1;1)
y  4x  5
Insomma troviamo:
m= 4 e capiamo che la retta vede crescere la y
di quattro unità per una crescita unitaria della x
q= -5 Ma questa q, che significato grafico ha?
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
Se:
A  (2;3) B  (1;1)
y  4x  5
Osserviamo che quando x vale zero anche 4x è
nullo e quindi y vale -5.
Da ciò possiamo capire che la q rappresenta il
valore della y quando la x vale zero, ovvero
rappresenta l’ordinata del punto di intersezione
della retta con l’asse y
Rappresentazione delle funzioni:
termine noto
A=(0; q)