LEGGI DI CONSERVAZIONE
Equazione di continuità
D
H 
J
t
   D
  J   0  t    J
t
 D

   H   
J 
 t

D  
   V  0

0
  J
t
Conservazione della carica elettrica
La carica netta che
nell’unità di tempo esce
da V è
dq
i  Ji 
n̂ dS

dt
V
SV
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+
V + + +
+
n̂


J
Il decremento subito nell’unità di
SV
   J dV
tempo dalla carica contenuta nel
zona di volume V
V V uguaglia la carica che
volume
 tempodesce dal
nello
stesso
  di dV

 dV
Formula
Gauss
volume.t
dt
(o della
divergenza)
V
V
La carica elettrica nonq =sicarica
creacontenuta
né si distrugge
nel volume V
U  n̂ dSV   U dV

SV


V
Caso stazionario
q = cost.
 J  0
i=0
la corrente continua che
entra nel volume
uguaglia quella che esce
V
In particolare, la corrente
continua è uguale in tutte le
sezioni di un filo metallico.
i1
i1=i2
campo solenoidale
di corrente
i2
Le correnti continue sono solenoidali.
Le loro linee di flusso sono chiuse.
Le correnti continue possono circolare solo in circuiti chiusi
i
–
+
Le correnti variabili nel tempo possono non essere solenoidali
Esse posso circolare anche in circuiti aperti
i
i= i(z,t)
q
z
-q
antenna a
dipolo
Teorema di Poynting
(forma differenziale)
B
E  
t
  SD H 
H 
t
S E H
J
B
H    E  H 
B
D t
E
D E  J
tE    H  Et  E  J
t
B
D
H    E  E    H  H 
E
 E 2J
vettore di Poynting
[W/m
]
t
t
E  H
B   A  A   B    A  B
Teorema di Poynting
(forma integrale)
V
Se V e costituito da punti regolari,
integrando nel volume la precedente
espressione differenziale e usando la
formula di Gauss si ottiene

SV
n̂
S
SV

 D

B
S  n̂ dSV    E 
H
 E  J  dV
t
t


V
Si mostra facilmente che questa espressione vale anche se il volume
V include un mezzo discontinuo, comunque complicato.
Inoltre, se il volume intercetta la porzione
S di una lamina di corrente, bisogna
aggiungere al secondo membro
S E J S dS
Particelle cariche nel vuoto
V
n̂
SV
Nel tempuscolo dt il lavoro fatto dalle
dt E J dV   L
v
forze
elettromagnetiche
sulle
particelle
V
dV
contenute nel volumetto dV è
 D
B 
dt  E 
H
dV  dU

t
t 
V
Poiché
dV dt  E  v dV dt 2E  J dV2 dt
f dV Dvdt0E , BE  v0HB siv ha
 0 E 0 H 
U

dV
2


D
E
1  E
E 
1V E2 E
2  0E
E
 0E 
 0 
 E  E    0

Pertil teorematdi Poynting:
2  t
t 
2 t
t 2
B  0 H 2
H

t t 2  L  dt
S  n̂ dS2V  dU
2

 D

B
d

E

H
S
V
0 ha v 0 J
nelle
correnti
di
convezione
si
E


H

dV


dV




t
t 
dt V  2
2 
V






  

In ogni istante U dipende solo dai valori assunti dal campo nello
stesso istante. Dunque U dipende solo dallo stato del campo nella
zona e nell’istante considerati, non dal modo in cui si è arrivati.
La variazione di U è collegata ad un lavoro
Una funzione di stato le cui variazioni sono collegate a un lavoro,
viene detta “energia”.
U prende il nome di “energia elettromagnetica” perché essa è
determinata dallo stato del campo elettromagnetico.
L’espressione
  0 E2  0 H 2 
U

dV


2
2 
V

indica che – nel vuoto – l’energia elettromagnetica è distribuita
con la densità
 0 E2  0 H 2
U

[J/m 3 ]
2
2
Bilancio energetico nel vuoto
 L  dt

SV
S  n̂ dSV  dU
Se il flusso del vettore di Poynting è nullo, il lavoro fatto sulle particelle corrisponde alla variazione dell’energia elettromagnetica contenuta nel volume V.
• L > 0 , dU < 0 : le particelle guadagnano energia e il campo la perde;
• L < 0 , dU > 0 : le particelle perdono energia e il campo l’acquista.
Se il flusso del vettore di Poynting non è nullo si ha dL ≠ dU. Il
principio di conservazione dell’energia viene rispettato se si assume
che il flusso del vettore di Poynting rappresenta la potenza elettromagnetica scambiata con il mondo esterno
(positivo, verso l’esterno; negativo verso l’interno).
Se le particelle sono assenti la variazione dell’energia contenuta
nella zona considerata uguaglia l’energia scambiata con l’esterno.
Nel problema trattato precedentemente non è stata fatta
alcuna ipotesi sul mondo esterno al volume V (né sul mezzo
né sulla presenza di sorgenti impresse).
Ciò nonostante, sappiamo che la potenza entrante in
(o uscente da) tale regione è data dal flusso del
vettore di Poynting.
Dunque, indipendentemente dal mezzo e dalla presenza di
sorgenti impresse, la potenza elettromagnetica dW che
attraversa nel verso positivo un elemento di superficie dS è
dW  S  n̂ dS
Il campo elettromagnetico è sede
di un flusso d’energia, trasmessa
lungo le linee di flusso del vettore
di Poynting.
n̂
dS
S
Il teorema di Poynting rappresenta
sempre un bilancio energetico, il cui
significato deve essere chiarito caso per
caso, considerando le equazioni
costitutive del mezzo.
Bilancio energetico in un mezzo ohmico
(caso stazionario)

isolante
V

 D

B
S  n̂ dSV    E 
H
 E  J  dV
t
t


SV
J  J c  E
V
n̂
=0
E
J
c

E J 
J c J

c

J
2
c



potenza e.m.
entrante
potenza termica
sviluppata per effetto Joule
 S  n̂ dSV 
SV
J
2
c
dV
conduttore
calore sviluppato
nell’unità di tempo
nell’elemento dV
V
La potenza assorbita da un conduttore
proviene dal mezzo esterno
Bilancio energetico in un mezzo
non-dispersivo

SV
 
D   0  r E B  0 r H J c   E
 DdU

B
S  n̂ dS
HQ J  E  J  dV
V S  n̂ dS
 EV  t  
t

dt
n̂
V
SV
 0 r E
potenza e.m.
entrante
2
QJ 

J
V
2
c
2

0 r H 2
J
2
2
c

potenza dissipata per effetto Joule
dV
V
U

  0  r E2  0  r H 2 
dV
 2 

2

energia elettromagnetica
V
U
 0  r E2
2

0 r H 2
2
densità dell’energia elettromagnetica.
Bilancio energetico in un dielettrico
polare dispersivo
V


dU D  0 H 2 
S  n̂ dS
B V 0 H E Q
Jd
0
dV

dt
t t 2 

SVV
n̂
V
P
2  P   E
D   0 E PE

0
P
0
t
U 

dV
energia elettromagnetica

2 0  
 2
V
 P
D   0 E2
P
  0 E2
1  P
E




P 
2E 

t t P2
t t 2
 0   t
 t
Qd 
dV potenza termica generata per le perdite dielettriche
 0  t
2
2
2
V
  0E
P 
 P
 potenza

 nel dielettrico


densità della
termica
generata
t  2
2 0    0  t


2