La logica fuzzy
Conversazione liberamente
tratta da
Il Fuzzy-pensiero di B. Kosko
Ed. Baldini-Castoldi
e da informazioni da vari siti di
Internet
• Ogni giorno ci scontriamo con problemi legati ad
un mondo che appare dai contorni sfrangiati con
quantità che mutano insensibilmente: pensiamo
al drammatico confine tra vita e non vita, legato
ai trapianti, all'aborto, all’eutanasia,ma anche a
problemi più banali quante volte rispondendo ad
un questionario non ci va bene nè vero nè falso
e vorremmo dire è un po' vero e un po' falso.
• In pratica molto spesso ci troviamo di fronte a
cose che hanno confini vaghi con le non-cose,
nei casi più fuzzy: la cosa eguaglia il suo
opposto (bicchiere mezzo pieno e mezzo vuoto).
In essa c'è una percentuale di vero e una
percentuale di falso.
Einstein
In Geometry and Experience diceva:
Nella misura in cui le leggi della matematica si
riferiscono alla realtà non sono certe. E nella
misura in cui sono certe non si riferiscono alla
realtà.
Sembrerebbe che avesse colto il problema di
una mancata corrispondenza della logica e della
matematica alla realtà e avesse evidenziato i
grossi limiti della scienza positivistica.
• In realtà c'è sempre stata una opposizione
filosofica alla fede in una logica binaria, che
accetta solo realtà che si possono dividere
rigorosamente o in A o non A.
• Ci possiamo allora domandare come mai allora
il positivismo logico è imperante nel mondo
scientifico e matematico
• La cosa non è così marginale nella situazione
politica mondiale, pensiamo il ruolo degli
scienziati odierni rispetto quelli ad es.della metà
del secolo scorso, nel prendere determinate
decisioni o quanto meno ad avallarle (sostanze
cancerogeni ,buco nell’ozono, cibi trasgenici,
etc)
Breve storia di questa disciplina.
• Negli anni venti-trenta i logici per la prima
volta elaborarono una logica a più valori
per trattare i principi di indeterminazione di
Heisenberg considerando enunciati veri
falsi o indeterminati.
• Il polacco Lukasiewicz parlò direttamente
dapprima di logica polivalente, per poi
considerare lo spettro tra verità e falsità
come un continuum tra 0 e 1
RUSSEL
Russel riscoprì ,nascosti nei fondamenti della matematica
moderna i classici paradossi greci, ponendo fine alla fede
cieca nella certezza matematica, scoprì gli altarini grigi della
logica dicotomica senza però mai sviluppare compiutamente
tale nuova logica .
Paradossi sono quelli del sorite quelli di autoriferimento e
quello del barbiere.
Non si deve pensare che siano solo giochi di parole, Russel
in realtà trovò vere e proprie contraddizioni che minarono le
certezze della matematica.
Per la logica FUZZY i paradossi sono mezze verità. I
paradossi dell’autoreferenzialità corrispondono al punto
medio della linea di verità
0
1
LOFTI ZADEH
Il vero iniziatore di questa branca della matematica fu un
iraniano, nato a Bakù, Lotfi Zadeh. Nel 1965 egli, allora
preside del dipartimento di ingegneria elettrica dell'UC di
Barkley, pubblicò un saggio Fuzzy Sets, dove applicava la
logica polivalente di Lukasiewicz. Il titolo voleva essere uno
schiaffo alla scienza moderna, voleva suscitare l'ira del
mondo scientifico e l'ottenne. Nessun dipartimento
accademico, nessun ente statale diede finanziamenti, ma
ugualmente nonostante quasi 2500 anni di cultura
occidentale abbiano tentato di negare , ignorare, confutare
la logica Fuzzy, essa è riuscita ad affermarsi e proprio nel
modo della tecnologia più raffinata e della economia più
esasperate.
Alcune delle applicazioni già
attuate in Giappone
Filosofie orientali
Forse l’Oriente si è dimostrato più pronto ad
accogliere le nuove tecnologie, in quanto nel
misticismo orientale troviamo grandi sistemi
dottrinari che accettano le contraddizioni, sistemi
che anzi funzionano su di esse, pensiamo allo yin
e yang. I monaci buddisti che praticano lo Zen
moderno addestrano gli studenti a meditare su
koan, domande senza senso a cui dare una
risposta, per far breccia nella dicotomia bianconero, per far prendere coscienza dei limiti della
logica e del ragionamento
insieme Fuzzy
• Noi
viviamo nell'era informatica, che ha
introdotto la rivoluzione digitale nell'elaborazione
dei segnali
• Certamente possiamo lavorare più facilmente
con stringhe di 0,1 che non con le frazioni, ma
dobbiamo essere coscienti che operiamo delle
semplificazioni e delle approssimazioni certe
volte decisamente forzate
• La cultura occidentale vede ora la precisione
binaria come parte costitutiva del metodo
scientifico.
natura Fuzzy delle cose in ambiti
consueti
• Il concetto di adulto è tipicamente Fuzzy
oltre che chiaramente relativo,ma anche
quello di bellezza.
• I tribunali cercano di dirimere questioni tra
violazione e non violazione, intenzionale o
involontario, legale o non legale,
scontentando spesso tutti perché in realtà
emerge anche in campo legale sempre più
la natura Fuzzy del concetto di legalità
La vita è fuzzy
Come già accennato all'inizio la vita è un
tipico concetto F. Quando comincia?
Quando finisce? Non è il caso di fermarsi
qui sul fatto che proprio una maggior
informazione ha portato più difficoltà nello
stabilire il suo momento di inizio e di fine,
una maggior informazione non ci aiuta a
dirimere la questione vero-falso
Che cos’è la verità
E' certamente la domanda suprema della filosofia
e della scienza, nonché quella che indica
l'obiettivo della conoscenza.
I filosofi distinguono la verità logica da quella
fattuale.
La verità logica vale per enunciati che descrivono
relazioni logiche o matematiche, quella fattuale per
enunciati che descrivono fatti o avvenimenti
possibili e che perciò possono essere vere o false
in relazione al contesto.
La verità per gli scienziati
• Gli scienziati usano il linguaggio della
matematica,
caratterizzato
dalla
totale
accuratezza
per
analizzare
fenomeni,
caratterizzati da assunzioni semplificanti, parole
equivoche e studiati con un metodo induttivo
che può essere in qualsiasi momento invalidato
da una successiva misurazione.
• Lavorano con la matematica e credono a tal
punto nella matematica da sacrificare sul suo
altare la verità: la realtà con tutta la sua
ricchezza Fuzzy viene imbrigliato nel tutto o
niente della logica binaria.
Piccolo test
• Se chiedo: alzi la mano chi è residente nel comune di
Udine: possiamo rappresentare la situazione con una
stringa di valori 1 e 0, per nulla Fuzzy
• Ma se vi chiedo: alzino la mano quelli che sono contenti,
cominceremmo a vedere certamente molte incertezze
tra le persone indecise se alzare o no la mano
Avremmo difficoltà a dare la stringa di prima, forse
potremmo però rappresentare meglio la situazione di
ognuno con un punto preso all’interno di un segmento
con ad un estremo la situazione di “del tutto scontento”e
all’altra “del tutto contento”
l'entropia Fuzzy
•
Per misurare in qualche modo la qualità F. di
un insieme F. è stata introdotta l'entropia Fuzzy :
misurerà l'indeterminatezza.
A
•
P
B
Un punto all'interno del segmento chiarisce
meglio lo stato caratterizzato da una discreta
contentezza.
• Il rapporto di PA su PB esprime l’incertezza
della situazione e sarà in generale compreso tra
0 e 1; sarà invece uguale a 1 nel centro del
segmento, corrispondente al 100% di entropia.
Anche se si parla di percentuali e sarà meglio
chiarire che la logica F. non si riconduce al
calcolo delle probabilità in quanto quest'ultimo
ha ancora tutte le caratteristiche della logica
classica, esso si occupa di eventi con esiti
positivi o negativi, testa o croce.
Qui invece si vuole fissare l'attenzione su
insiemi reali in cui il confine fra vero è falso non
netto. Se si dice c'è la probabilità 50% che nel
frigo ci sia una mela, si dice una cosa diversa
che nel frigo c'è mezza mela
Kasko fa l'esempio classico del lancio della
moneta: probabilità 1/2, ma in un lancio non c'è
nessuna probabilità.
1/2 esprime solo il comportamento medio a lungo
termine. La probabilità si configura come un
effetto psicologico che ci consente di prevedere il
comportamento
futuro;
più
aumenta
la
conoscenza e l'informazione, meno risalta la
probabilità.
Essa pertanto non sta nella natura delle cose, è
una propensione mentale, un istinto psichico, che
ci aiuta a organizzare le ns. percezioni, le ns.
memorie e ci consente previsioni per il futuro e
scelte più convenienti.
Qui invece parliamo di eventi che si verificano solo
in una certa misura
L'idea guida che fa comprendere la situazione è
invece secondo Kosko è il concetto di
sottoinsiemità, ovvero la parte che contiene il tutto.
Se ho l’insieme X di eventi
X
EVENTI
FAVOREVOLI
EVENTI
SFAVOREVOLI
Se l'insieme degli eventi favorevoli lo chiamo A, se
A=X allora la parte contiene l'intero al 100% ,se A=
la parte contiene il tutto allo 0% in tutti gli altri casi
di inclusione i valori saranno variabili tra 0 e 100. La
parte contiene l'intero in proporzione diretta alla alla
sua misura.
La casualità in questa prospettiva lascia il posto
alla sottoinsiemità, che è poi quello che
intendiamo con frequenza. L'intero nella parte è
ciò che ha sempre affermato il misticismo orientale
ed è stato deplorato dagli scienziati. Ma questa è
scienza è matematica, anche se diversa. Einstein
aveva ragione nel dire che Dio non gioca a dadi
con l’universo, è vero l'universo non è casuale, è
deterministico, ma grigio.
La teoria del caos aveva già parlato del
determinismo nei comportamenti caotici, ora la
teoria F. aggiunge che è solo questione di misura
documento del dipartimento del
commercio Usa del nov.91
controllo del funzionamento
dell'aria condizionata
• Accenniamo come ciò si possa
realizzare il controllo del funzionamento
dell'aria condizionata
• Non viene usata nessuna equazione,
bensì viene incorporata l'esperienza di
un operatore umano.
• Se si deve regolare l'aria condizionata, si
sa che si accende se c'è caldo e si
regola in funzione della temperatura
• Consideriamo su X i sottoinsiemi Fuzzy fredda,
fresca, buona, calda, caldissima che esprimono
le possibilità dell'aria e l'altro insieme Fuzzy che
esprime le velocità del motore nulla, bassa,
regolare, alta, massima
• Da un insieme di regole linguistiche che descrivono
la strategia di controllo dell'operatore si ricava un
algoritmo di controllo ,un sistema di regole Fuzzy.
• Il sistema ha un grafico nello spazio di tutte le
combinazioni degli input ed output del sistema.
Ogni regola Fuzzy definisce una toppa in questo
spazio.
Vediamo un esempio:
se il termometro segna 65° vediamo che tale
temperatura appartiene totalmente a Buona è
perciò la regola 3 si eccita al 100 %
se invece è 63°F, vediamo che questo input
appartiene all'80% a buona, al 15% a fresca e
nella misura dello 0% a tutti gli altri. Cosicchè si
attivano due regole, ma ognuna solo in una certa
misura. Dunque noi restringiamo l’insieme
REGOLARE all’80% della sua altezza e quello
BASSA al 15% e si sommano i due triangoli (
sistema F. additivo), in pratica si fa una media
ponderata dei due valori e si arriva per esempio al
valore 42.
• Ma anche quando nella realtà si prendono certe
decisioni per la nostra vita non si fa certo una
rigida catena di inferenze, bensì si scelgono una
media F. di cose e ad esse si attribuisce un certo
peso.
• Pensiamo per es. alla scelta di cambiare lavoro.
Può essere motivata da una paga migliore,dà
maggiori possibilità di carriera, dalla vicinanza
del posto di lavoro,dall’insofferenza per il
vecchio capo e da tante altre ragioni ma
probabilmente ognuna di queste non può
spiegare la decisione , ognuna di esse ha un
peso F. e di fa una media ponderata fra di esse.
Lavatrice fuzzy
L'utente deve solo caricare la biancheria e premere il
pulsante d'avvio, il detersivo viene caricato una volta alla
settimana. La lavatrice regola il ciclo di lavaggio in funzione
del tipo di panni e del grado di sporcizia: alcune macchie
impiegano più tempo di altre a dissolversi. L'agitatore
opera come un sensore di carico e smaltendo lo sporco
ipotizza il tipo di panni che sono stati immessi. Questi dati
vengono inviati al microprocessore. Un sensore ottico, poi,
analizza l'acqua di scarico mandando altre informazioni al
microprocessore. Esso converte i dati dei sensori in
comandi di lavaggio che vengono aggiornati ogni secondo
sul modo di operare dell'agitatore, sul livello d'acqua,
sull'eventuale emissione di bolle d'aria per favorire lo
scioglimento del sudiciume e del detergente.
Altre applicazioni
• per far funzionare l'autofocus dell'obiettivo della
Canon H800 vengono usate 13 regole per un
totale di 1.1 kilobytes (8800 domande binarie),
• per una agenzia di borsa 1000 regole F.,
•
per la metropolitana nella città di Sendai si
usano 54 regole F. Ogni treno si ferma entro 7
cm dal punto di fermata previsto sulla
piattaforma, si risparmia circa il 10% di energia
rispetto i treni tradizionali e non è richiesta la
presenza del guidatore
conclusione
• Per ora il grave problema è la ricerca delle
regole F, che dipende solo dal cervello
umano, l'obiettivo è arrivare a dare un
cervello ai sistemi F, un loro modo
specifico di sviluppare le regole.
• La nuova frontiera sono i sistemi adattativi,
capaci di apprendimento. Le reti neurali
probabilmente potranno servire a trovare
queste regole.