Obiettivi
Conoscere strumento
della Fuzzy Logica
Analisi di un progetto
Argomenti, obiettivi
- Antefatto: contraddizioni logica classica
- Inquadramento storico
- Sistemi Fuzzy
- Settori (Fisica / Aerodinamica) nei quali tale strumento
può essere applicato con successo
-Rivedere concetti fondamentali alla base di questo metodo
-
Cosa non è e cosa è la Logica Fuzzy
•La Logica Fuzzy non si pone l’obiettivo di modificare:
•Il modo di ragionare di un uomo
•la metodologia usata da un uomo per
- affrontare un problema
- per prendere delle decisioni
•La Logica Fuzzy si pone l’obiettivo di trovare :
•un metodo semplice e funzionale per codificare(tradurre in un
codice utilizzabile da una macchina) il modo di ragionare di un
uomo.
•un metodo per codificare la conoscenza,
•un metodo per catturare l’esperienza
Il concetto di verità nella
Logica Aristotelica
• Verità logica:
gli enunciati che descrivono relazioni
logiche o matematiche, come
6-3=3 (vero)
8*5=6 (non vero)
sono vere o falso in ogni contesto
• Verità fattuali: enunciati che descrivono fatti o
eventi possibili
si deve azionare il postbruciatore
fa freddo
sono vere o false a seconda dei casi
Verità fattuali
•
La natura delle cose è molto più
complessa
- cosa è una montagna? Cos’è una collina?
- esiste un passaggio brusco da collina
a montagna?
- L’evento misurato è una temperatura?
- Che “peso” ha la temperatura nel modello
matematico che descrive il sistema?
Fuzzy Sets
L.A. Zadeh (1965),
Dep. Of Ingeneering and Electronics
Research Laboratory - Berkeley
Teoria classica
X appartiene ad A
X
f(x)=1
X non appartiene ad A
X
f(x)=0
Teoria fuzzy
1
0
Il grado di appartenenza
Di x ad A è definito da una
membership function
fA(x)= numero reale [0,1]
Granularizzazione delle variabili nella
logica fuzzy
Osservazione
Ragionamenti basati sulla logica
Ogni ragionamento prevede delle relazioni logiche, “regole”,
costituite da:
una premessa e una conclusione(conseguenza)
• la premessa di una regola è un enunciato,proposizione
(semplice o composta)
- definisce le condizioni in cui la conclusione deve essere applicata
• la conclusione (conseguenza) di una regola
- definisce l’azione che deve essere attivata quando
la condizione della premessa è verificata
I ragionamenti
nelle due logiche
Logica aristotelica:
esempio nella matematica
Se la premessa è vera allora La conclusione (conseguenza) è attivata
Se la premessa non è vera allora La conclusione (conseguenza) non è attivata
Esempio: EQ. di II° grado
Se il Δ > 0 allora abbiamo 2 sol. reali distinte
•Se il Δ = 0 allora abbiamo 2 sol. reali coincidenti
•Se il Δ < 0 allora abbiamo 2 sol. complesse coniugate
X1, x2
X1= x2
X1 =a+ib
X2=a-ib
I ragionamenti nel mondo reale
Tutta la nostra vita si basa su decisioni,
azioni legate a dei ragionamenti(consci o inconsci)
Nel mondo reale gli enunciati che definiscono le premesse
sono sempre o veri o falsi ?
- Se è caldo accendo il condizionatore.
Ma… Cosa vuol dire è caldo ?
Ha senso introdurre una soglia per decidere se è caldo ?
Non è forse più sensato attivare il condizionatore proporzionalmente
alla sensazione di caldo che proviamo.
Detto in modo Fuzzy proporzionalmente a quanto è vera
(al grado di verità) la proposizione è caldo.
Si intuisce allora l’opportunità di implementare sulle macchine un “modus operandi”
più simile a quello umano. Per far ciò dobbiamo rendere fuzzy i concetti su cui si
basano il loro modo di ragionare.
Un altro confronto
Logica binaria
•If (V is L) then Cons. L
1
M
L
•If (V is M) then Cons.M
H
V
0
49.9
•If (V is H) then Cons.H
50.1
Logica fuzzy
•If (V is L) then
1
Cons. L, M
L
M
H
•If (V is M) then
V
0
51.1
•If (V is H) then Cons.H
Punto di partenza: osservare che nel mondo reale,
i processi decisionali, o ragionamenti, hanno sempre
lo stesso obiettivo:
I/O
TROVARE UNA RELAZIONE TRA
INGRESSO E USCITA
•
•
Per un fisico equivale a trovare un modello
In generale, il processo decisionale che ci porta a prendere
ogni decisione.
Es. se “fa freddo” allora mi copro.
ma QUANTO freddo io stia provando è soggettivo, e
“come” mi coprirò è strettamente legato all’ingresso, ossia
alla percezione.
L’uscita sarà quindi proporzionale al grado di verità
dell’affermazione in ingresso
L’algoritmo Fuzzy
Fenomeno
reale
L’algoritmo descrive come rendere
computabile un ragionamento
basato su un set di regole Fuzzy
OBIETTIVO:
•Individuare le variabili che lo regolano
•Stabilire relazione I/O
Input
Relazioni
deterministiche
di tipo
If…Then
OUTPUT
Come costruire l’Algoritmo Fuzzy ?
•Definire gli insiemi Fuzzy delle variabili di ingresso e uscita
(granularizzazione delle variabili)
•Definire le regole che correlano le variabili di ingresso e uscita
(IF ..THEN… rules)
•Precisare come calcolare :
- il grado di verità della premessa di ogni regola;
- l’inferenza delle singole regole
- il contributo di tutte le regole
Come calcolare il grado di verità (Θ) della Premessa
•La premessa di una regola (If Premessa THEN Conseguenza)
può essere una proposizione
•semplice
(x is L)
•Composta
(x is L) and (y is M)
(x is L) or (y is M)
Calcolo del grado di verità (Θ) della premessa
(secondo Zadeh)
•Proposizione semplice
0.6
0.4
1
L
M
x is L
H
V
0
x is M
Θ= αL = 0.6
Θ= αM = 0.4
X
1
0.4
L
M
•Proposizione composta
H
V
0
X
1
0.6
0
L
M
H
V
Y
(x is L) and (y is H)
Θ = min (αL , αH ) = 0.4
(x is L) or (y is H)
Θ = max (αL , αH ) = 0.6
Inferenza di un sistema fuzzy
(Aggregazione di tre regole)
Il ragionamento fuzzy si basa su:
1.
Uso di variabili linguistiche:
- variabili che utilizzano parole( aggettivi descritti da insiemi fuzzy) al
posto dei numeri
•
Uso di regole fuzzy:
- IF premise THEN conclusion
1.
Aggregazione dei contributi delle regole (inferenza)
2.
Se richiesta, defuzzificazione
Conclusioni
Metodo tradizionale,
logica aristotelica
Ragionamento fuzzy,
logica fuzzy
-Variabili numeriche
-variabili linguistiche
-Relazioni matematiche
(esigenza di un modello)
-regole fuzzy
(conoscenza tramite esperto)
-La conseguenza di una
relazione logica è o non è
attivata, nella misura in cui
la premessa è o non è vera
-la conseguenza di una regola
è attivata proporzionalmente
al grado di verità della premessa
RIGOROSO MA COMPLESSO
SEMPLICE E FUNZIONALE
Esempi
• Pendolo inverso
•Approssimazione di funzioni
(modello “fuzzy”)
Pendolo Inverso
•La soluzione classica
richiede una equazione
differenziale del 4° ordine
•Sono state pubblicate diverse
soluzioni fuzzy che richiedono da 9
a 15 regole coinvolgendo θ e dθ/dt
θ
2L
Pendolo Inverso con liquido
(Yamakawa)
2r
θ2
θ1
2L
m
v
M
0
Y
Confronto tra le regolazioni
Risultati
2r
• Il bicchiere è stabilizzato
indipendentemente
- dalla quantità di liquido contenuto
- dalla lunghezza del supporto (2L)
θ1
θ2
• Le regole non cambiano al variare di
m, r, L ed h
v
2L
m
M
0
Y
Il controllo fuzzy è model-free
• La presenza del liquido nel
bicchiere può essere modellizzata
• Il topo si muove a caso e non
può essere modellizzato
IL SISTEMA E’ COMUNQUE
STABILE
Approssimazione di funzioni
Approccio classico
Ricerca di un MODELLO,
ovvero di un funzione di una
relazione matematica del tipo
Y = f(X)
Approccio fuzzy
Scrive le regole:
IF (x is L) THEN (y is L)
IF (x is M) THEN (y is M)
IF (x is H) THEN (y is L)
H
Gradi di verità