La potenza in alternata
In continua esiste una sola potenza, misurata in watt. Essa si calcola facendo
il prodotto tra tensione e corrente: P = V*I. Essendo i due valori di tensione e
di corrente costanti nel tempo, anche la potenza sarà costante.
Tutto ciò in alternata non è più vero. Infatti sia la tensione che la corrente
variano sinusoidalmente, quindi la potenza sarà anch’essa variabile.
Inoltre bisogna distinguere il caso di potenza su un carico resistivo R ed il
caso di potenza su carico reattivo (cioè C o L). Le due situazioni sono diverse
poiché le sinusoidi di tensione e corrente sono in fase nel primo caso e
sfasate di 90° nel secondo.
Un’altra differenza tra carico resistivo R e carico reattivo deriva dalla
considerazione che mentre R dissipa energia (la trasforma in altra forma di
energia), L e C non dissipano energia, ma la immagazzinano e la restituiscono
periodicamente.
Tutto ciò si può verificare partendo dalle sinusoidi di tensione e corrente,
ricavando poi la sinusoide della potenza.
1
La potenza in alternata
POTENZA ATTIVA
Studiamo il primo caso del carico resistivo R. Di seguito vediamo due equazioni di
sinusoidi V e I e poi il loro prodotto, cioè P. Successivamente realizziamo il grafico
delle tre equazioni scritte.
v t   3  sen ( 2    f t )  3  sen ( 2    50 t ) (V)
i t   4  sen ( 2    f t )  4  sen ( 2    50 t ) (A)
pt   v t   i t   3  sen ( 2    50 t )  4  sen ( 2    50 t )


pt   12  sen ( 2    50 t )
2
In queste formule abbiamo tenuto conto che la tensione e la corrente sono in fase
(l’angolo dei due seni sono uguali) e si è fatta la semplificazione che la fase iniziale
sia zero.
La prossima pagina mostrerà i grafici delle tre formule.
2
La potenza in alternata
POTENZA ATTIVA
V, I , P
12
P
10
I
8
V
6
4
2
0
0
0, 005
0, 01
0, 015
0, 02
0, 025
-2
-4
-6
t
Si nota chiaramente che la potenza P è sempre positiva e che ha frequenza
doppia delle altre sinusoidi. Una potenza sempre positiva significa che il suo
verso è sempre lo stesso: dal generatore alla resistenza e mai al contrario. A
questo grafico si possono applicare tutte le considerazioni fatte sul valore
efficace.
3
La potenza in alternata
POTENZA ATTIVA
A
V EFF  2 
A

I EFF 2 
3
2
4
2
3 4 12


V EFF I EFF 2  2  2  6 W
P V

W
I
EFF
EFF
Dal calcolo si nota che il prodotto tra i valori efficaci di tensione e corrente è
esattamente il valore medio della curva che rappresenta la potenza. Quindi la
superficie racchiusa sotto la curva della potenza vale 6 W. Questa è l’equivalente
in continua della potenza in alternata.
In definitiva possiamo quindi calcolare la potenza su un carico resistivo facendo il
prodotto tra i valori efficaci di tensione e di corrente (o facendo la metà del
prodotto tra le ampiezze).
Tale potenza prende il nome di POTENZA ATTIVA e si misura in WATT.
4
La potenza in alternata
POTENZA ATTIVA
DIMOSTRAZIONE
v t   V M  sen ( t )  2 V EFF  sen ( t ) (V)
i t   I M  sen ( t )  2  I EFF  sen ( t ) (A)
pt   v t   i t   2 V EFF  sen ( t )  2  I EFF  sen ( t )
1  cos( 2   t ) 
pt   2 V EFF  I EFF  sen ( t )  2 V EFF  I EFF  

2


pt   V EFF  I EFF  1  cos( 2   t )  V EFF  I EFF V EFF  I EFF  cos( 2   t )


2
L’ultima espressione ci dimostra matematicamente che la potenza che dissipa una
resistenza R è formata da un temine costante (continua) che non viene restituita al
generatore e da un termine variabile, cioè il coseno, con frequenza doppia ( 2) della
tensione e della corrente. Quest’ultimo termine ha valore medio zero quindi non
aggiunge altra potenza a quella in continua.
5
La potenza in alternata
POTENZA ATTIVA
La formula appena ricavata è applicabile solo alla potenza dissipata sulle
resistenze R.
Quindi possiamo anche trovare altre formule valide solo per le resistenze
ricordando che:
VEFF = V R(eff)
IEFF = I R(eff)
VR(eff) = R*IR(eff)
IR(eff) = VR(eff) / R
Sostituendo o la prima o la seconda formula in quella della potenza si avrà:
P = VEFF * IEFF = R*I2 R(eff)
P = VEFF * IEFF = V2 R(eff) / R
6
Richiamo di trigonometria
f+90
f
f
f  90
cos( f ) = sen( f + /2 )
- cos( f ) = sen( f -  /2 )
7
La potenza in alternata
POTENZA REATTIVA
Studiamo il secondo caso di carico induttivo L. Di seguito vediamo due esempi di
equazioni di sinusoidi V e I e poi il loro prodotto, cioè QL. Successivamente
realizziamo il grafico delle tre equazioni scritte.
v t   3  sen ( 2    f t +

)  3  sen ( 2    50 t +

2
2
i t   4  sen ( 2    f t )  4  sen ( 2    50 t ) (A)
Q L t   v t   i t   3  sen ( 2    50 t +

2
) (V)
)  4  sen ( 2    50 t )
dalla trigonomet ria si ricava che : sen(  +

2
quindi l 'espressione della potenza diventa :
)  cos(  )
Q L t   12  cos( 2    50 t )  sen ( 2    50 t )
dalla trigonomet ria si ricava : sen(  )  cos(  ) 
quindi l 'espressione della potenza diventa :
Q L t   12 
sen(2 )
2
sen[2  ( 2    50 t )]
 6  sen[2  ( 2    50 t )]
2
8
La potenza in alternata
POTENZA REATTIVA
Q
8
V
L
( pot e nz a r e a t t i v a i ndut t i v a )
QL
I
6
4
2
t
0
0
0, 005
0, 01
0, 015
0, 02
0, 025
-2
-4
-6
-8
Si nota chiaramente che la potenza QL è alternativamente positiva e negativa
e che ha frequenza doppia delle altre sinusoidi. Questa potenza cambia il suo
verso ogni mezzo periodo, quindi si sposta dal generatore all’induttanza
quando è positiva, in verso opposto quando è negativa. Ciò significa che
l’induttanza non dissipa energia, ma la immagazzina per mezzo periodo e la
restituisce nell’altro mezzo periodo.
9
La potenza in alternata
POTENZA REATTIVA
Per avere un dato sugli scambi energetici tra generatore e induttanza (che
comunque ci sono!) si parla di potenza reattiva QL e si calcola tramite il prodotto
tra i valori efficaci della tensione e della corrente.
v t   V M  sen ( t +

) (V)
2
i t   I M  sen ( t ) (A)
Q L t   v t   i t   V M  I M  sen ( t +

2
)  sen ( t )
dalla trigonomet ria si ricava che : sen(  +

2
quindi l 'espressione della potenza diventa :
)  cos(  )
Q L t   V M  I M  cos(  t )  sen ( t )
dalla trigonomet ria si ricava : sen(  )  cos(  ) 
quindi l 'espressione della potenza diventa :
sen(2  )
2
sen(2   t )
 V EFF  I EFF  sen(2   t )
Q L t   V M  I M 
2
10
La potenza in alternata
POTENZA REATTIVA
Q L t V EFF  I EFF  sen(2   t )
L’ultima espressione ci dimostra matematicamente che la potenza che scambia una
induttanza L è formata da un solo temine variabile con frequenza doppia ( 2) della
tensione e della corrente. Quest’ultimo termine ha valore medio zero quindi non dissipa
potenza, come già detto.
Nella formula precedente il prodotto VEFF * IEFF NON HA lo stesso significato che ha
nella potenza attiva, poiché la tensione e la corrente non sono in fase. Quindi non ha il
significato di potenza continua equivalente all’alternata.
Il significato, come già detto, è quello di fornire un dato sugli scambi energetici tra
generatore e induttanza.
Per evidenziare questa differenza anche l’unità di misura non è quella della potenza
attiva ma si chiama Volt Ampere Reattivi = V.A.R.
11
La potenza in alternata
POTENZA REATTIVA
Q L V EFF  I EFF (V.A.R.)
La formula appena ricavata è applicabile alla induttanza L.
Quindi possiamo anche trovare altre formule valide solo per le induttanze ricordando
che:
VEFF = V L(eff)
I EFF = I L(eff)
VL(eff) = XL *IL(eff)
IL(eff) = VL(eff) / XL
Sostituendo o la prima o la seconda formula in quella della potenza si avrà:
QL = VEFF * IEFF = XL*I2 L(eff)
QL = VEFF * IEFF = V2 L(eff) / XL
12
La potenza in alternata
POTENZA REATTIVA
Studiamo il terzo caso di carico capacitivo C. Di seguito vediamo due equazioni di
sinusoidi V e I e poi il loro prodotto, cioè QC. Successivamente realizziamo il grafico
delle tre equazioni scritte.
v t   3  sen ( 2    f t 

)  3  sen ( 2    50 t 

2
2
i t   4  sen ( 2    f t )  4  sen ( 2    50 t ) (A)
Q C t   v t   i t   3  sen ( 2    50 t 

2
) (V)
)  4  sen ( 2    50 t )
dalla trigonomet ria si ricava che : sen(  

2
quindi l 'espressione della potenza diventa :
)   cos(  )
Q C t   12  cos( 2    50 t )  sen ( 2    50 t )
dalla trigonomet ria si ricava : sen(  )  cos(  ) 
quindi l 'espressione della potenza diventa :
Q C t   12 
sen(2 )
2
sen[2  ( 2    50 t )]
 6  sen[2  ( 2    50 t )]
2
13
La potenza in alternata
POTENZA REATTIVA
Q
I
8
C
( pot e nz a r e a t t i c a c a pa c i t i v a )
QC
VC
6
4
2
t
0
0
0, 005
0, 01
0, 015
0, 02
-2
-4
-6
-8
Si nota chiaramente che la potenza QC è alternativamente positiva e negativa
e che ha frequenza doppia delle altre sinusoidi. Questa potenza cambia il suo
verso ogni mezzo periodo, quindi si sposta dal generatore al condensatore
quando è positiva, in verso opposto quando è negativa. Ciò significa che
l’induttanza non dissipa energia, ma la immagazzina per mezzo periodo e la
restituisce nell’altro mezzo periodo.
14
0, 025
La potenza in alternata
POTENZA REATTIVA
Per avere un dato sugli scambi energetici tra generatore e condensatore (che
comunque ci sono!) si parla di potenza reattiva QC e si calcola tramite il prodotto tra
i valori efficaci della tensione e della corrente.
v t   V M  sen ( t 

) (V)
2
i t   I M  sen ( t ) (A)

Q C t   v t   i t   V M  I M  sen ( t  )  sen ( t )
2
dalla trigonomet ria si ricava che : sen(  

2
quindi l 'espressione della potenza diventa :
)   cos(  )
Q C t   V M  I M  cos(  t )  sen ( t )
dalla trigonomet ria si ricava : sen(  )  cos(  ) 
quindi l 'espressione della potenza diventa :
Q C t   V M  I M 
sen(2  )
2
sen(2   t )
 V EFF  I EFF  sen(2   t )
2
15
La potenza in alternata
POTENZA REATTIVA
Q C t  V EFF  I EFF  sen(2   t )
Anche in questo caso si possono ripetere le stesse considerazioni fatte per le
induttanze. Per evidenziare questa differenza anche l’unità di misura non è quella della
potenza attiva ma si chiama Volt Ampere Reattivi = V.A.R.
Q C  V EFF  I EFF (V.A.R.)
La formula appena ricavata è applicabile al condensatore C.
Quindi possiamo anche trovare altre formule valide solo per il condensatore ricordando che:
VEFF = V C(eff)
I EFF = I C(eff)
VC(eff) = XC *IC(eff)
IC(eff) = VC(eff) / XC
Sostituendo o la prima o la seconda formula in quella della potenza si avrà:
QC = VEFF * IEFF = XC*I2 C(eff)
QC = VEFF * IEFF =
V2
C(eff)
/ XC
16
La potenza in alternata
POTENZE ATTIVA E REATTIVA
P, Q
L
, Q
C
14
P
QL
12
10
8
6
4
2
t
0
0
0, 005
0, 01
0, 015
0, 02
0, 025
-2
-4
-6
-8
QC
I tre grafici riportati mostrano che le tre potenze sono tra loro sfasate di angoli
che determineremo. Si nota subito che QLe QC sono tra loro sfasate di 180°.
Questo dato si ricava anche dalle formule trovate:
QL = V L(eff)*IL(eff)*sen(2t); QC = - V C(eff)*IC(eff)*sen(2t).
Il segno “-” in QC indica appunto lo sfasamento di 180°.
17
La potenza in alternata
POTENZE ATTIVA E REATTIVA
Resta da capire quale sia lo sfasamento della potenza attiva rispetto a quelle
reattive (ricordiamo che anche la potenza attiva varia nel tempo e che quindi ha una relazione di
fase con le Q). Nel prossimo grafico è rappresentata la potenza attiva solo con la sua
componente alternata, cioè senza la continua.
QL, QC , P
Q
8
P
Q
C
L
6
4
2
0
0
0, 005
0, 01
0, 015
0, 02
0, 025
-2
-4
-6
-8
t
Da questo grafico si vede che P è sfasata di 90° in ritardo rispetto a QL,
e 90° in anticipo rispetto a QC
18
La potenza in alternata
POTENZE ATTIVA E REATTIVA
Possiamo quindi disegnare il diagramma vettoriale tra le tre potenze. Ricordiamo
che un diagramma vettoriale ha significato se è rappresentativo di sinusoidi,
quindi l’avere trascurato la componente continua della potenza P è legittimo.
Nel grafico vettoriale a) sono rappresentati i tre vettori come derivano dal grafico
delle sinusoidi, però è maggiormente usato il grafico vettoriale b) (equivalente a
quello a) ).
QC
QL
QL
P
P
b)
a)
QC
In questi grafici i vettori hanno tutti la stessa ampiezza (derivano da un esempio
numerico!). Questa però è una condizione particolare, mentre in generale le tre
ampiezze sono tutte diverse. Quindi il diagramma vettoriale sarà di due tipi: QL>QC e
19
QL<QC.
La potenza in alternata
POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED
APPARENTE
I grafici potranno essere i due seguenti.
Q L > QC
QL < QC
QL
QL
S

QL - QC
a)

QC - Q L
S
P
QC
P
QC
b)
La risultante S è chiamata POTENZA APPARENTE e si misura in Volt – Ampere
(V.A.).
Siccome S è la somma vettoriale della potenza attiva dissipata dalle resistenze e
della potenza reattiva immagazzinata dai condensatori ed induttori essa è la potenza
complessiva proveniente dal generatore. Questo è il significato fisico di S.
20
La potenza in alternata
POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE
Una importante applicazione delle formule e diagrammi vettoriali riguarda i circuiti R-C
ed R – L. Ricordiamo che ogni circuito si può ridurre ad uno dei due citati.
Utilizziamo i valori efficaci di tensione e
corrente:
P = VR * I (W)
QC = VC * I (VAR)
R
I
VR
VC
VG
C
Dal diagramma vettoriale disegnato a
lato si ricavano le seguenti formule:
VR = VG * cos ( φ )
VC = VG * sen ( φ )
VR
I
φ
VC
VG
DA RICORDARE
Quindi possiamo riscrivere le potenze
così:
P = VG * cos ( φ ) * I (W)
QC = VG * sen ( φ ) * I (VAR)
Cioè:
P = VG * I * cos ( φ ) (W)
QC = VG * I * sen ( φ ) (VAR)
21
La potenza in alternata
DIAGRAMMI VETTORIALI
DELLE POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED
APPARENTE
VR
I
φ
VC
VG
P = VR * I ;
QC = VC * I
La P e la Q sono vettori proporzionali ad I
e quindi non cambia l’angolo tra di loro ed
S.
I diagrammi vettoriali hanno gli stessi
sfasamenti
P
QC
P  S  cos( )
QC  S  sen ( )
S

Dal diagramma delle potenze
si ricavano anche le formule
22
riportate a lato.
La potenza in alternata
ESPRESSIONE MATEMATICA DELLA POTENZA APPARENTE
Quanto vale S?
Per effettuare la dimostrazione ricordiamo le formule ricavate:
P = VG * I * cos ( φ ) (W)
QC = VG * I * sen ( φ ) (VAR)
S  P +Q 
2
S
V G  I  cos( )  + V G  I  sen( ) 
2
2

V G  I    cos( )  +  sen( ) 
2
2
2
V
G
I 
2
 cos( )  +  sen( ) 
2
S  V G  I (V.A.)
S VGI
(V.A.)
23
2
La potenza in alternata
POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE
IL FATTORE DI POTENZA
P  S  cos( )
QC  S  sen ( )
P
QC

S
A
P
QC
1
B
S
Facciamo una riflessione sulle formule e sul diagramma vettoriale.
Nella figura A l’angolo φ è maggiore dell’angolo φ1 della figura B, ma la potenza P
resta invariata.
Se l’angolo φ diminuisce, il cos(φ) aumenta. Se la potenza attiva P resta uguale, allora
significa che la potenza reattiva QC diminuisce.
Il fattore di potenza cos(φ) deve essere mantenuto sufficientemente alto (maggiore di
0,8 per legge, ma tecnicamente è auspicabile che sia maggiore di 0,95) per un
problema tecnico-economico che verrà affrontato quando si parlerà del
“RIFASAMENTO”.
24
La potenza in alternata
POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE
Nei circuiti R – L le formule restano identiche, fatta eccezione del diagramma
vettoriale, riportato di seguito.
VG
FORMULE
φ
VL
P = VR * I ;
QL = VL * I
VR
I
P = VG * I * cos ( φ ) (W)
QL = VG * I * sen ( φ ) (VAR)
S VGI
QL
S
(V.A.)

P
Dal diagramma delle potenze
si ricavano anche le formule
riportate a lato.
P  S  cos( )
Q L  S  sen ( )
25
La potenza in alternata
POTENZE ATTIVA, REATTIVA ED APPARENTE
IL FATTORE DI POTENZA
Per il circuito R-L valgono le stesse considerazioni fatte per il circuito R-C
proposito del fattore di potenza cos(φ).
26
La potenza in alternata
IL PROBLEMA DEL “RIFASAMENTO”
In ogni impianto elettrico, in generale, sono presenti utenti che richiedono
potenza attiva (le resistenze) ed altri richiedono potenza reattiva
(condensatori ed induttanze). Le resistenze possono essere le lampade, i
forni, le stufe ecc. In generale sono utenti che convertono l’energia elettrica in
altre forme di energia e quindi mettono in atto un processo fisico irreversibile
(cioè l’energia utilizzata non ridiventerà mai più elettrica). Questa potenza
attiva dobbiamo pagarla all’ente che la fornisce.
Per quanto riguarda la potenza reattiva, essa può servire per il funzionamento
di motori (che sono essenzialmente delle induttanze) o per caricare dei
condensatori.
Il caso più frequente è quello dei motori e quindi di carichi induttivi.
Come abbiamo già studiato la potenza reattiva non viene convertita in altre
forme di potenze e quindi periodicamente restituita all’ente che in precedenza
l’aveva fornita. Ne deriva che non c’è un “consumo” e quindi non può esserci
un pagamento.
Tuttavia per fornire una potenza reattiva occorre far fluire una corrente nei
cavi che collegano il generatore all’utente:
QL = VG * I
27
La potenza in alternata
IL PROBLEMA DEL “RIFASAMENTO”
Quindi la corrente che occorre per “trasportare” la potenza reattiva rende
necessario la realizzazione di cavi elettrici di sezione maggiore di quella
sufficiente ad una data potenza attiva.
Questa maggiore sezione dei cavi rende l’impianto più costoso per l’ente
che eroga energia. Per evitare delle pesanti penali a carico dell’utente si
deve procedere alla realizzazione del “RIFASAMENTO” dell’impianto.
Si tratta in pratica di generare localmente la corrente reattiva necessaria
all’utente, senza gravare sull’ente erogatore e quindi senza appesantire
l’impianto con rame in più.
Facciamo un esempio numerico.
Supponiamo di avere una resistenza (ad es. una lampada) che assorba
una potenza attiva di 40 W. Colleghiamo questa lampada prima da sola al
generatore e poi in serie ad una induttanza di 1000 mH. Valutiamo in tutti
e due i casi quanto vale la corrente che il generatore deve erogare.
Naturalmente la frequenza vale 50 Hz ed il generatore eroghi la 200 V.
28
La potenza in alternata
IL PROBLEMA DEL “RIFASAMENTO”
I
R
I1
VR
VG
R
VR1
VG
A
VL
B
I = P / VG = 40 / 220 = 0,181 A
XL= 2  f L = 6,20*50*1000*10-3 = 314 W
R = VG/ I = 220 / 0,181 = 1215 W
VL= XL* I1 = 314 * I1
VR = R * I1= 1215 * I1
Da questi semplici calcoli si nota
che la corrente con l’induttanza in
serie (a parità di potenza attiva
richiesta) è maggiore di quella con
solo la resistenza.
 arctang ( VL/VR) = arctang ( 314 / 1215)
= 14,5°
P = VG*I1*cos()= 220*I1*0,97
29
I1= 40 / (220*0,97)= 40/213 = 0,188 A
La potenza in alternata
IL PROBLEMA DEL “RIFASAMENTO”
Questo problema si risolve utilizzando un condensatore di rifasamento che di solito
si pone in parallelo al generatore. La sua funzione è quella di immagazzinare
potenza reattiva e di fornirla all’induttanza quando questa la richiede.
I1
IC
IC
I
VG
ZL = carico induttivo
VG
CS
φ1
φ
I1
I
Dal diagramma vettoriale si ricava che il condensatore provoca una diminuzione delle
corrente erogata dal generatore che passa da I ad I1 ed una diminuzione dello
sfasamento da φ a φ1, con un aumento del fattore di potenza cos(φ1).
Questo è proprio quello che si cerca di ottenere. Contestualmente si può dire che il
problema si risolve aumentando il fattore di potenza.
30
Calcoliamo adesso il valore del condensatore di rifasamento da inserire nel circuito.
La potenza in alternata
IL PROBLEMA DEL “RIFASAMENTO”
CALCOLO DI “C”
IC
Dimostrazione
QC  V G  I C
VG
φ1
φ
I1
I
QC
C
(F)
2
2    f V G
IC 
QC
VG
VG
V
 G    C V G
IC 
1
XC
 C
QC
QC
QC
I
C
V
G
C



 V G  V G  V G 2 2    f V G 2
Il problema del rifasamento si può studiare anche facendo riferimento al
diagramma vettoriale delle potenze, affrontato nella prossima diapositiva.
31
La potenza in alternata
IL PROBLEMA DEL “RIFASAMENTO”
CALCOLO DI “C”
S
QL
S

QL
Q1
P
QC = QL – Q1

1
S1
P
Prima del rifasamento la potenza reattiva vale:
QL = P*tang(φ)
Dopo il rifasamento la potenza reattiva vale:
Q1 = P*tang(φ1)
Dal secondo grafico delle potenze si ricava che QL si sottrae alla la potenza del
condensatore QC. La potenza risultante sarà quindi:
Q1 = QL – QC
Da questa formula ricaviamo la QC.
QC = QL – Q1 = P*tang(φ) - P*tang(φ1) = P*[tang(φ) - tang(φ1)]
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