AUTOMOBILI O CAPRE?
Un apparente paradosso
del Calcolo delle
Probabilità
Gioco-evento a cura di
Andrea Capotorti
AUTOMOBILI O CAPRE?
Un apparente paradosso
del Calcolo delle
Probabilità
Gioco-evento a cura di
Andrea Capotorti
Di cosa si tratta ?
• Siamo in un gioco a premi (che prende spunto da un
fortunato show della TV americana chiamato "Monty
Hall"), abbiamo davanti a noi tre porte: dietro una di
queste c'è una Ferrari, nelle altre due...
una capra.
• Dobbiamo scegliere una porta, e vinceremo quello che
troviamo li dietro.
• Fatta la scelta, Monty Hall ci dice "Ne sei proprio sicuro?
Puoi ancora cambiare la scelta: anzi, ti voglio aiutare e
riduco le scelte a due. Ecco: dietro questa porta, c'è una
capra". Così dicendo, apre una delle porte che noi non
abbiamo scelto, mostrando una capra.
• Ammesso che vogliamo vincere l'auto, ci conviene
cambiare porta, o la cosa e' indifferente?
illustrazioni tratte da
La risposta "più razionale"
risulta spesso quella
"meno intuitiva"
ed andremo a spiegare il
perché ....
• Molti sono portati a dire: “dato che
una porta e’ stata aperta rimangono
due possibilità e quindi …
la probabilità diventa ½. Continuare
nella scelta iniziale o cambiare e’
indifferente…”
• Nulla di più sbagliato !!!!
• Infatti il conduttore non “apre a
caso” ma apre una porta sicuramente
“perdente”.
• Questo “dettaglio” e’ fondamentale…
• Infatti e’ “certo” che ALMENO una delle
due porte che NON abbiamo scelto sia
perdente, il fatto che questa ci venga
mostrata e’ del tutto ininfluente …
• Infatti, quando Monty Hall propone di
cambiare la scelta ci sta di fatto
proponendo di scambiare la porta che
avevamo scelto con le DUE non scelte (con
dietro ovviamente almeno una capra) …
– … e’ quindi “strategicamente”
conveniente CAMBIARE !!!
Spiegazione “rigorosa”(*) …
• Il “teorema di Bayes” del calcolo delle probabilità ci
fornisce la risposta razionale del perché convenga
cambiare …
• supponiamo infatti di aver scelto la porta no 1 e che
Monty Hall ci mostri “una capra dietro quella no 2”
(evento che denoteremo con C2), ci si prospettano
allora le seguenti situazioni alternative (espresse da
eventi):
situazione
•
F1=“Ferrari dietro porta no 1”
• F3=“Ferrari dietro porta no 3”
conseguenza
vinciamo
se
cambiamo idea
non
vinciamo se cambiamo
idea
(*) per semplicita' tratteremo solo la situazione di scelta casuale della porta da
aprire se entrambe fossero perdenti
• … la probabilità di vincere
scelta e’
(*)
se non cambiamo
P( F1 ) P(C2 | F1 )
P( F1 | C2 ) 

P( F1 ) P(C2 | F1 )  P( F3 ) P(C2 | F3 )
1
1
3
1
3
2
1
2
 13 1
 13
• … se invece cambiamo scelta la probabilita’ di
vincita(*) e’
P( F3 ) P(C2 | F3 )
P( F3 | C2 ) 

P( F3 ) P(C2 | F3 )  P( F1 ) P(C2 | F1 )
1
1
3
3
1
1  13
1

2
(*) per semplicita' tratteremo solo la situazione di scelta casuale della porta da
aprire se entrambe fossero perdenti
2
3
ATTENZIONE !!!
Il fatto che al cambiamento di scelta
si associ una probabilità di vincita
maggiore non garantisce una vincita
sicura nella singola prova, ma ci
suggerisce la “strategia”
da
seguire in modo sistematico (cioè
come comportamento da mantenere
fisso in un certo numero di prove
ripetute) .
Durante l’incontro si riproduce il
gioco grazie ad un modellino di sipario
realizzato dalla dott.sa Emanuela
Ughi (a cui va un caloroso ringraziamento)
Se non potete essere presenti potete comunque
giocare da casa collegandovi a questo sito …
Un altro link utile …
Se volete avere maggiori dettagli, sia da un punto di vista
teorico che per riferimenti scientifico/storici che per fare
delle simulazioni, potete guardare una delle tante pagine web
sull’argomento, ad esempio
http://digilander.libero.it/basecinque/probabil/montyhall.htm
(qui riportato anche in “locale”)