I problemi di matematica e la
comprensione del testo
Pietro Di Martino
Dip. Matematica – Università di Pisa
[email protected]
fox.dm.unipi.it/indagine
Partecipate e divulgate !
Episodio I
ATTIVITÀ 1
Il problem solving
Fare un esempio di problema di vita quotidiana
Analizzare se esistono caratteristiche
comuni a tutti gli esempi di problema
riconosciuti come tali nella fase precedente
A partire da tali caratteristiche
comuni definire cosa è un problema
La definizione di problema
Un problema sorge quando un
essere vivente ha una meta ma
non sa come raggiungerla
Karl Duncker, 1945
Psicologia della Gestalt
La definizione di problema
Un problema sorge quando un
essere vivente ha una meta ma
non sa come raggiungerla
Karl Duncker, 1945
problema / compito
La definizione di problema
Un problema sorge quando un
essere vivente ha una meta ma
non sa come raggiungerla
Karl Duncker, 1945
Quale meta?
Esempio di Von Neumann
La definizione di problema
Un problema sorge quando un
essere vivente ha una meta ma
non sa come raggiungerla
Karl Duncker, 1945
problema / esercizio
Pratica tradizionale
Nella pratica
scolastica si
tende a far
fare ai
ragazzi tanti
problemi o
tanti
esercizi?
Pratica tradizionale
Nella pratica
scolastica si
tende a far
fare ai
ragazzi tanti
problemi o
tanti
esercizi?
“Ma se non
facciamo
vedere come
si fa, poi non
riescono a
farlo,
sbagliano”
Un contro esempio
“Parliamo di quella certa pratica scolastica ripetitiva
secondo la quale per far capire bene (per esempio,
una certa tipologia di strategie per la risoluzione di
una classe di problemi o esercizi) occorre far fare
alla classe più volte lo stesso esercizio. Nella
memoria di alcuni di noi c’è il ricordo fisso della
mortificazione intellettuale e una vaga idea di inutilità
e della stupidità di questo modo di fare.
Un conto è ripetere le tabelline fino a farle diventare
Bruno D’Amore
un automatismo in modo che, senza pensare, uno
Problemi e laboratori
dica <45> allo stimolo <5 per 9> (e ciò semplifica poi
Metodologie per
addirittura la complessità della risoluzione di
l’apprendimento
della matematica
problemi). Ma ben altro è indurre soluzioni di
problemi per tipologie.
Chi non conosce la dichiarazione tipica che molti
discenti fanno imbattendosi in un nuovo problema
<Noi non siamo ancora arrivati a risolvere questi
problemi>, come se di dovesse saper risolvere solo
problemi già una volta risolti”
Cosa è un problema
Confronto tra inizio e fine
primaria
“COSA VI VIENE IN MENTE SE DICO LA PAROLA PROBLEMA?”
Raccogliere le risposte individuali e rappresentarle
graficamente.
Provare a fare ipotesi risolutive
Disegnare le soluzioni possibili
Cosa è un problema
TEMPI: una settimana, due lezioni
MODALITA’ D’USO: prima parte (punto 1 e 2)
individuale; seconda parte (punti 3 e 4) a coppie,
confronto finale nel gruppo classe
Cosa è un problema
Classe prima
È una cosa grave
È quando qualcuno si fa
male
Quando si perde qualcosa
Quando succede un
incidente (qualcuno o
qualcosa si rompe, si
brucia, si allaga…)
Classe quinta
E’ una cosa difficile da
risolvere
E’ un esercizio di
matematica
E’ un esercizio da risolvere
E’ un testo che ti chiede
qualcosa
E’ un problema di famiglia
Un problema di salute
E’ un testo dove ci sono i
numeri e più domande
Come si risolve
Classe prima
Pensando…
Provando…
Cercando…
Chiedendo aiuto…
…senza mai arrendersi…!
Classe quinta
Con il dottore
Parlando
Facendolo insieme
Con i dati..
Con la soluzione…
Con il diagramma
Con la risposta…
Con l’equivalenza
Con la logica
Con l’espressione
Si fa problem solving a scuola?
In particolare:
Si fa problem solving attraverso
l’attività usuale di soluzione di
problemi?
No!
“Ma se non facciamo vedere come si
fa, poi non riescono a farlo, sbagliano”
“Una delle caratteristiche della
matematica è di essere una materia
scientifica, questo comporta molti aspetti
positivi, ma anche negativi. Ad esempio non
vengono accettati errori”
Stella
Non vengono accettati da chi?
Focus sui problemi, sul nuovo e difficile
Il primo a dover vincere le proprie paure è l’insegnante stesso
“Ma se non facciamo vedere come si fa, poi
non riescono a farlo, sbagliano”
“Un bel problema,
anche se non lo
risolvi, ti fa
compagnia se ci
pensi
ogni tanto”
E. De Giorgi
Perché fare problem solving?
Due parole sui problemi. Ve ne sono
molti, e solo un studente eccezionale
potrebbe risolverli tutti. Alcuni servono
solo a completare dimostrazioni del
testo, altri hanno lo scopo di illustrare i
risultati ottenuti e far pratica su di essi.
Molti non vengono proposti tanto per
essere risolti, quanto per essere
affrontati. Il valore di un problema non
sta tanto nel trovarne la soluzione,
quanto nelle idee che fa sorgere in chi la
affronta e nei tentativi messi in atto”
Lavorare su “problemi"
Lavoro sul problem solving
Programmi
per la scuola
elementare
1985
Indicazioni Nazionali
“Il pensiero matematico è
caratterizzato dall’attività di
risoluzione di problemi”
“Caratteristica della pratica
Indicazioni
per il
curricolo
2007
matematica è la risoluzione di
problemi, che devono essere
intesi come questioni autentiche
e significative, legate spesso alla
vita quotidiana, e non solo
esercizi a carattere ripetitivo”
Lavorare su “problemi"
Lavoro sul problem solving
Indicazioni Nazionali
Le indicazioni nazionali 2012
“Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di
problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche
e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi
a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde
semplicemente ricordando una definizione o una regola...
“...Gradualmente, stimolato dalla guida dell'insegnante e dalla
discussione con i pari, l'alunno imparerà ad affrontare con
fiducia e determinazione situazioni problematiche,
rappresentandole in diverse modi, conducendo le esplorazioni
opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa
individuazione di ciò che è noto e di ciò che s'intende trovare,
congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili
strategie risolutive”
La voce dei bambini
“Quando devo affrontare
un problema mi suscita
un bel po’ di paura,
perché sono in quinta e
siccome non sono
abbastanza sicura di
quello che scrivo, e ho
paura che mi prendano
in giro.”
Luca 5P
Paolo 5P
“Io con la matematica non
mi ci trovo un granchè bene.
L’incubo peggiore che ho a
proposito di questa materia
sono quelli arcimaledetti
problemi! perché mi devo
spremere il cervello al
massimo, e non è detto che
riesca a capire come
risolverli.
Io durante le ore di
matematica immagino le
insufficienze che volano
nella classe felici e allegre.”
“La matematica non mi piace molto, anzi a dire la verità
alcune volto la odio.
Quando la maestra dà un problema che per me è difficile,
non riesco a pensare ad altro, sono tutto agitata.
Poi mi faccio coraggio e vado dalla maestra; lei mi spiega
cosa devo fare, ma quando non capisco faccio finta di
aver capito perché alcune volte mi annoia, allora non
ascolto.
Quando un problema o alcune operazioni non mi
riescono sudo, mi sento come mi scoppiasse la testa. E
per stare un minuto da sola vado ad appuntare le
matite o vado al bagno.”
Lucia 4P
“Ma c’è una cosa che quando la faccio mi blocco e
rimango lì a pensarci e ripensarci perché ho paura di
sbagliare e questa cosa sono i problemi!!.
In certe occasioni quando la maestra Laura mi chiama
per andare alla lavagna ho un po’ di paura perché penso
dentro di me: “Se sbaglio?”
Se la maestra ci dà una verifica li per lì sono felice perché
credo di finirla a pieni voti ma quando arrivo alle cose
difficili mi sento come un tremolio in tutto il corpo e
come un grande freddo
però quando ci penso intensamente e mi riesce ritorno la
Sara di sempre.”
Sara 5P
La voce dei
bambini...cresciuti
“Il mio rapporto con la
matematica fin dalle origini
non è mai stato dei migliori.
“Il mio rapporto con la
matematica alle
elementari non andava
molto per la quale.
Ricordo quando andavo alle
elementari e la maestra ci
obbligava a imparare quella
odiosa tabellina o a fare
quei problemi per me
completamente inutili;
I Problemi, erano la mia
ossessione, non riuscivo
mai a portarne uno
(concluso) risolto alla
maestra. ”
Andrea 4S
Jessica 5S
mi sono sempre chiesta:
perché studiare una
materia così arida e lontana
dal nostro modo di
pensare?!”
L’educazione matematica invece di
sviluppare «la voglia di affrontare
problemi nuovi» sembra alimentare, e
nel corso degli anni accentuare, la paura
dei problemi, la paura di sbagliare e del
difficile: in conclusione la paura della
matematica!
L’educazione matematica sembra
sviluppare comportamenti irrazionali
nella risoluzione di problemi!
“Come succede che l’allievo si trasformi
da “curiosity machine” a
“mathematical idiot”? Quand’è che
appaiono per la prima volta i segni della
avversione verso la matematica? Come si
riconoscono questi segni al loro insorgere
nel contesto dell’apprendimento?”
Todos los niños son
artistas. El problema
es cómo seguir
siendo artista cuando
creces
G. Mandler
Pablo Picasso
Episodio II
Il problem solving e le
competenze linguistiche
ATTIVITÀ 2
A cosa servono le competenze
linguistiche nel problem-solving?
Le indicazioni nazionali 2012
“La costruzione del pensiero matematico è un
processo lungo e progressivo nel quale concetti,
abilità, competenze e atteggiamenti vengono
ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più
riprese; è un processo che comporta anche difficoltà
linguistiche e che richiede un'acquisizione graduale
del linguaggio matematico. Caratteristica della
pratica matematica è la risoluzione di problemi,
che devono essere intesi come questioni autentiche e
significative, legate alla vita quotidiana, e non solo
esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si
risponde semplicemente ricordando una definizione
o una regola”
Le difficoltà nei problemi: le
interpretazioni dei ricercatori
Secondo molti ricercatori (e insegnanti) le
difficoltà degli allievi sono spesso dovute a
difficoltà nella fase iniziale di comprensione
Spesso sembra mancare una effettiva
ricostruzione della situazione problematica
Nella ricerca queste difficoltà sono state messe in
evidenza con due tecniche:
la richiesta di riformulare il testo del problema (retelling)
la richiesta di drammatizzarlo
RIFORMULAZIONE
“Joe ha 3 palline.
Tom ha 5 palline più di Joe.
Quante palline ha Tom?”
viene ripetuto così
“Joe ha 3 palline.
Tom ha 5 palline.
Quante palline ha Tom?”
DRAMMATIZZAZIONE
“ Pete ha 3 mele. Ann gli dà altre 5 mele. Quante mele
ha adesso Pete?"
I: (Intervistatore): Proviamo insieme. Io ti leggo la
storia frase per frase e tu la devi rappresentare usando
questi pupazzi e questi blocchi. Facendo così troverai la
risposta. –Pete ha 3 mele.
B: (Bambina): (prende 3 blocchi e li mette con il pupazzo
che rappresenta Pete).
I: O.K. –Ann gli dà altre 5 mele.
B: E’ impossibile!
I: Perché?
B: Perché Ann non ha mele.
I: Puoi darle quante mele vuoi.
La comprensione del testo è la prima fase
di un processo risolutivo:
• Si comprende il
problema
• Si compila un piano
• Si sviluppa il piano
• Si procede alla verifica
George Polya
La comprensione del testo è la prima fase
di un processo risolutivo:
Spesso sembra mancare una effettiva
ricostruzione della situazione
problematica
Difficoltà di
comprensione
“A volte però i comportamenti messi in
atto dai bambini di fronte ai problemi
verbali sembrano testimoniare una
rinuncia a priori a comprendere, in quanto
le strategie utilizzate sembrano
prescindere dalla comprensione del testo”
Rosetta Zan
comprensione
testo
dovrebbe
LaLa
comprensione
deldel
testo
è la
prima fase
essere
faserisolutivo:
di un processo
di la
unprima
processo
risolutivo:
Spesso sembra mancare una effettiva
ricostruzione della situazione
problematica
Comportamenti “tipici” degli allievi di fronte
ad un problema scolastico
• Trovando i numeri e sommando
• Cercando di indovinare l’operazione
• Guardando i numeri e da quelli
•
•
•
•
risalire all’operazione ‘giusta’
Provando tutte le operazioni e
scegliere in base al risultato
Cercando ‘parole chiave’
Larry Sowder
Decidendo se il risultato deve
essere maggiore o minore dei
numeri dati, e scegliendo
l’operazione di conseguenzaCOMPORTAMENTI
A caso
‘PATOLOGICI’
ISRAELE
Quale sarà la temperatura dell’acqua in un
recipiente se metto insieme una caraffa
d’acqua a 10° gradi ed una a 40° ?
45.000 studenti
"31 col resto di 12" (29%)
"31" (18%)
10° + 40° = 50°
Un camion dell’esercito può portare 36 soldati. Se
bisogna trasportare 1128 soldati alla loro base,
quanti camion servono?
Su un battello ci sono 36 pecore. 10
muoiono affogate.
Quanti anni ha il capitano?
STATI UNITI
FRANCIA
…i bambini ‘rispondono’!!!!
Il ruolo delle scelte didattiche
Nell’attività di risoluzione di problemi la pratica
didattica è molto influenzata dalla tradizione e
dai libri di testo...
Si sta veramente
suggerendo di leggere
al bambino? O in realtà
si suggerisce una
lettura selettiva del
testo e un
procedimento
automatico e non
strategico?
DATI
OPERAZIONI
La struttura del problema verbale
STRUTTURA
MATEMATICA
STRUTTURA
NARRATIVA
Rosetta Zan
Permettere la
ricostruzione della
situazione
problematica
In realtà è usata
e vista
STRUTTURA
NARRATIVA
esclusivamente come
contenitore di dati che
Agevolare
l’attivazione
servono
per rispondere
alla
Favorire
del pensiero logicodomanda
pratiche
di
scientifico necessario
per la risoluzione del
problema
controllo sul
risultato
PROBLEMA
=
CONTESTO
CONTENITORE DI DATI
+
DOMANDA
PROBLEMA
Su un battello ci sono 36 pecore.
CONTESTO
10 muoiono affogate.
+
Quanti
anni ha il capitano?
DOMANDA
CONTENITORE DI DATI
…i bambini rispondono!
 Lettura selettiva del testo
• Dati numerici
• Parole chiave
Quale sarà la temperatura
dell’acqua in un recipiente se metti
insieme una caraffa d’acqua a 10°
e una a 40°?
10° + 40° =
 Lettura selettiva di un testo

‘capire’ come si deve fare
per avere la risposta
comprendere il testo di un problema
…costruire una rappresentazione mentale della
situazione (un ‘modello mentale’)
 Lettura selettiva di un testo
 La comprensione del testo
comprendere il testo di un problema
…costruire una rappresentazione mentale della
situazione (un ‘modello mentale’)
 Lettura selettiva di un testo
 La comprensione del testo
Lavorare sulla comprensione è una scelta
didattica, meno semplice di scorciatoie spesso
suggerite dai libri di testo...
comprendere il testo di un problema
…costruire una rappresentazione mentale della
situazione (un ‘modello mentale’)
Lavorare sulla comprensione è una scelta
didattica, meno semplice di scorciatoie spesso
suggerite dai libri di testo...
Dati
numerici
Parole
chiave
Lettura selettiva
del testo
Lavorare sulla comprensione è una scelta
didattica, meno semplice di scorciatoie spesso
suggerite dai libri di testo...
Richiede tempo, tempo “ben speso” perché
legato agli obiettivi formativi essenziali
dell’educazione matematica...
...obiettivi in linea con i traguardi per
competenze delle Indicazioni!
comprendere il testo di un problema
…costruire una rappresentazione mentale della
situazione (un ‘modello mentale’)
Prova 2a Primaria – 2012/13
Dati
numerici
Parola
chiave
Risposta:
9+10=19!
comprensione
testo
dovrebbe
LaLa
comprensione
deldel
testo
è la
prima fase
essere
faserisolutivo:
di un processo
di la
unprima
processo
risolutivo:
Spesso sembra mancare una effettiva
ricostruzione della situazione
problematica
Difficoltà di
comprensione
La struttura narrativa del
problema verbale
“Se la struttura matematica è in primo piano per
quanto riguarda le scelte dell’insegnante nell’attività
di risoluzione di problemi, è soprattutto alla
struttura narrativa che fa riferimento il processo di
comprensione – o rappresentazione – del problema.
E’ quindi solo parlando esplicitamente di struttura
narrativa che possiamo riconoscere in modo
adeguato l’importanza della fase di rappresentazione
del problema ”
Rosetta Zan
La struttura narrativa del
problema verbale
“In un problema le informazioni rilevanti per
comprendere una storia non sono di tipo logico, in
particolare non sono necessariamente le informazioni
necessarie per risolverlo. Quelli che in un problema
spesso vengono liquidati come 'dettagli' irrilevanti
possono avere un ruolo fondamentale per permettere
al bambino di comprendere e quindi di rappresentare
la storia, per poi fondare su tale rappresentazione i
processi risolutivi ”
Rosetta Zan
Da una ricerca di D’Amore et al.
La ri-formulazione dei testi dei problemi scolastici standard
Ad allievi delle scuole elementari e medie viene
proposto il testo di un problema standard. Si
richiede – senza risolverlo! – di riformularlo per
proporlo ad altri allievi…
…nel modo che ritengono migliore
Tre operai impiegano 6 ore a
fare un certo lavoro.
Quanto tempo impiegheranno 2
operai a fare lo stesso lavoro?
Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro,
tutti insieme, e ogni volta impiegano 6 ore.
Ma uno di loro si ammala e non va a lavorare.
Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma
devono fare lo stesso lavoro.
Secondo te, impiegheranno più tempo o meno
tempo? Perché?
Calcola quanto tempo impiegheranno
Tre operai impiegano 6 ore a
fare un certo lavoro.
Quanto tempo impiegheranno 2
operai a fare lo stesso lavoro?
Viene riformulato così…
Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.
Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo
stesso lavoro?
Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.
Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo
stesso lavoro?
AIUTO! Mi fa male il piede! AIUTO
Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.
Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo
stesso lavoro?
POVERO GIACOMO
POVERINO SI DEVE ESSERE
FATTO TANTO MALE
Queste modifiche del testo…
• …non sono finalizzate a ‘facilitare’ i
processi risolutivi, ad aumentare cioè le
probabilità di ottenere risposte corrette
riducendo la complessità del problema
• sono invece finalizzate a restituire al
contesto la complessità necessaria:
 per comprenderlo (tanto che il testo
diventa più lungo)
 per ancorarlo saldamente alla richiesta
 ed in definitiva per basare su tale
comprensione eventuali processi risolutivi
Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro,
tutti insieme, e ogni volta impiegano 6 ore.
Ma uno di loro si ammala e non va a lavorare.
Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma
devono fare lo stesso lavoro.
Secondo te, impiegheranno più tempo o meno
tempo? Perché?
Calcola quanto tempo impiegheranno
Non è un dato essenziale per risolvere il
problema…
Ma è un dato essenziale per comprenderlo!
Bei problemi si possono...
...costruire
CONTESTO
Carlo compra un quaderno e due penne.
Spende 2 €. Una penna costa 0,6 €.
Quanto costa il quaderno?
DOMANDA
Esempio
Rosetta
Zan
non ha una struttura narrativa consistente, in
particolare non descrive una situazione
problematica!
Carlo compra un quaderno e due penne.
Spende 2 €. Una penna costa 0,6 €.
Quanto costa il quaderno?
Andrea deve comprare un quaderno ma non può
andare in cartoleria.
Chiede allora a Carlo di comprarglielo.
Carlo però oltre al quaderno per Andrea compra per
sè due penne da 0,6 € l’una.
Spende in tutto 2 €.
Quando Andrea gli chiede: ‘Quanto ti devo dare per il
mio quaderno?’, Carlo non sa cosa rispondere.
Come può fare Carlo a sapere quanto costa il quaderno
di Andrea?
Queste modifiche del testo…
• …non sono finalizzate a ‘facilitare’ i
processi risolutivi, ad aumentare cioè le
probabilità di ottenere risposte corrette
riducendo la complessità del problema
• sono invece finalizzate a restituire al
contesto la complessità necessaria:
 per comprenderlo (tanto che il testo
diventa più lungo)
 per ancorarlo saldamente alla richiesta
 ed in definitiva per basare su tale
comprensione eventuali processi risolutivi
Esempio sperimentazione Follonica
CONTESTO
Giacomo ha nel suo borsellino € 15,00; suo fratello
Marco ha il doppio dei suoi soldi e il fratello più
piccolo, Antonio, ha € 5,00 meno di Giacomo.
DOMANDA
Hanno in tutto € 60,00? Se no, quanto manca?
non ha una struttura narrativa consistente, in
particolare non descrive una situazione
problematica!
Giacomo ha nel suo borsellino € 15,00; suo fratello
Marco ha il doppio dei suoi soldi e il fratello più
piccolo, Antonio, ha € 5,00 meno di Giacomo.
Hanno in tutto € 60,00? Se no, quanto manca?
Giacomo, Marco e Antonio sono tre fratelli.
Hanno visto un gioco per la Play Station che
vorrebbero comprare e così hanno deciso di mettere
insieme i loro risparmi per vedere se hanno i soldi
necessari per farlo.
Giacomo ha € 15,00; Marco ha il doppio dei suoi soldi
e Antonio, ha € 5,00 meno di Giacomo.
Il gioco costa € 60,00.
Se non hanno i soldi necessari, la nonna ha detto che
darà loro i soldi che mancano: quanto dovranno
chiedere alla nonna?
ATTIVITÀ 3
Costruire un bel
problema
Prendere un problema dal vostro libro di
testo e provarlo a modificare in questo senso
Babbo, sono
vivo, e... è
vero. Sono un
bambino vero!
GRAZIE