Università degli Studi di Udine
MASTER IDIFO
Master universitario di II livello in
Innovazione Didattica in Fisica e Orientamento
Mini sperimentazione
didattica MODULO E
Problem Solving per
l’orientamento
di Patrizia Colella
A. Einstein:
“E’ la TEORIA che
determina ciò che osserviamo
e non viceversa”
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I principi della relatività ristretta sono straordinariamente
semplici (più degli assiomi della geometria euclidea o dei
principi di funzionamento di un'automobile).
Però sia Euclide che l'automobile sono stati padroneggiati
(forse senza avvertire la necessaria sorpresa) da
generazioni di persone comuni.
Alcune delle menti migliori del ventesimo secolo lottarono
invece con i concetti della relatività, non perché questa sia
oscura, ma perché riesce difficile liberarsi della maniera
convenzionale di guardare alla natura,
il mondo delle altissime velocità descritto dalla relatività è
così lontano dall'esperienza comune che gli avvenimenti
quotidiani non ci possono aiutare a sviluppare
un'intuizione che ci permetta di descriverlo.
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Per esempio l’esperienza quotidiana ci suggerisce che se due
o più persone, in possesso di ottimi e ben funzionanti
orologi, sincronizzano i loro orologi ad un certo istante,
quando poi si incontreranno, dopo un mese o dopo un
anno, i loro orologi segneranno la stessa ora.
Ma l’esperienza quotidiana, cioè il senso comune, può farci
fare previsioni su ciò che appunto è assimilabile alla nostra
esperienza comune.
Noi normalmente ci muoviamo a velocità molto inferiori alla
velocità della luce e quindi non abbiamo esperienza di come
possa essere il mondo dopo essersi spostati per esempio
con una velocità di 100000 km/s.
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Definizioni
Evento: è qualcosa che accade istantaneamente
indipendentemente dal sistema di riferimento
utilizzato per descriverlo (clic del contatore
geiger, emissione di un segnale luminoso). Per
localizzarlo ho però bisogno di un sistema di
riferimento (rotella metrica-orologio).
Fenomeno: è una collezione di eventi (fenomeno del
decadimento radioattivo) ha una sua durata.
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Sistema di riferimento è fisicamente associato ad un
luogo/osservatore che può essere fermo o in moto a
velocità costante
Sistema di coordinate è il “metodo matematico” con il quale
decido di misurare gli spazi e generalmente pongo l’origine
sull’osservatore (cartesiane o polari).
Invariante: quantità che ha lo stesso valore quando viene
misurata in diversi sistemi di riferimento
Costante: è qualcosa che non cambia nel tempo. Se lasci cadere
un oggetto da una certa altezza la sua velocità di caduta è
costante
Principio di inerzia classico: in assenza di forze non equilibrate un
corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo
uniforme
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MOTO RELATIVO CLASSICO
Composizione classica delle velocità per sistemi in
moto relativo
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=140.msg704
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Le trasformazioni di Galileo
Lunghezze e tempo sono
grandezze invarianti per sistemi in
moto relativo a velocità costante
Tenendo conto che OO' = vo t e
che t' = t (il tempo è assoluto) ,
dalla figura sopra segue subito
che valgono le cosiddette
Trasformazioni Galileiane:
x = x' + OO' = x' + v o t‘
y = y'
z = z'
t = t'
Legge di Composizione delle velocità
V = v +V’
(con i segni opportuni)
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La TRS
l’Operazionismo
La "filosofia-metodologia" che guida la Relatività ristretta è
considerata alla base di quello che fu chiamato
OPERAZIONISMO
secondo cui
nella fisica devono entrare in gioco solo quelle grandezze che si
possono definire in base al metodo con il quale possono essere
osservate o misurate sperimentalmente
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IL PRINCIPIO DI INVARIANZA
DELLA VELOCITÀ DELLA LUCE
La metodologia dell'operazionismo, base metodologica della
Relatività Speciale o Ristretta trova un ampliamento
epistemologico nell'idea di:
Assumere proprio come principi, dai quali partire per l'elaborazione
della teoria, quei "FATTI" che sembrano resistere ad ogni tentativo
di falsificazione osservativa.
LA LUCE è uno di questi FATTI
Alcune proprietà della velocità della luce
Invarianza
Finitezza
essere una velocità limite
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IL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ
L'altro principio guida sarà
il Principio di Relatività
già formulato da Galileo per la Meccanica
e che Einstein estenderà, oltre che alla Meccanica
anche ai Fenomeni Elettromagnetici e, più in
generale, a tutte le leggi fisiche
LE LEGGI DELLA FISICA SONO LE STESSE IN TUTTI
I SISTEMI INERZIALI
La conseguenza è che non c’è nessun fenomeno che
mi permette di capire che il mio sistema di
riferimento è in moto relativo a velocità costante
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La velocità della luce è INVARIANTE
cioè la velocità della luce è la stessa in qualsiasi SRI
Una freccia lanciata da un treno in corsa e da una
postazione fissa raggiungerà il bersaglio a differente
velocità; in questo caso 300 e 200 Km/h,
rispettivamente.
La regola che abbiamo costruito per la composizione
della velocità non si applica alle onde elettromagnetiche
ed alla LUCE
I fasci di luce emessi da due laser, uno sul treno e l’altro
a terra raggiungeranno il bersaglio con la stessa velocità
c.
La radiazione elettromagnetica ha velocità costante nel
vuoto ed è indipendente dalla velocità della sorgente da
cui è stata emessa.
La legge di composizione delle velocità per la luce e per i
corpi che si muovono con velocità prossime a quelle della
luce è ora dettata dalle trasformazioni di Lorentz.
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La velocità della luce
è grande …ma è finita
Una delle deduzioni più importanti che A. Einstein ha tratto dalla finitezza
della velocità della luce, nella sua teoria della relatività speciale, è la
relatività della simultaneità: poichè alla luce occorre un tempo finito per
attraversare una distanza nello spazio, non è possibile definire la
simultaneità riguardo ad un orologio universale compatibile con tutti gli
osservatori.
Infatti, semplicemente a causa della loro posizioni nello spazio, due
osservatori possono non essere in accordo circa l'ordine in cui due eventi
spazialmente separati sono avvenuti .
È soltanto perché la velocità di luce è così grande in confronto alle distanze
con cui abbiamo a che fare nella vita di tutti i giorni che questo effetto non
ci è familiare.
Si noti che la relatività della simultaneità è attribuibile esclusivamente alla
finitezza della velocità della luce, quindi può essere compresa in
situazioni dove non è presente nessun altro effetto relativistico
La seguente animazione dimostra l'effetto
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La relatività della simultaneità
Le palline gialla, blu e grigia sono
osservatori
Le palline rosse e verdi sorgenti di
luce
I cerchi rossi e verdi rappresentano
il fronte d’onda della luce che si
propaga in tutte le direzione
I trattini orizzontali segnano il
tempo a partire da quando quello
osservatore viene raggiunto
dall’evento (in concordanza di
colori)
E’ evidente che per l’osservatore giallo i due eventi sono simultanei, viene raggiunto dai due
fronti d’onda nello stesso istante, per l’osservatore blu l’evento rosso avviene prima di quello
verde e per l’osservatore grigio invece è l’evento verde che precede quello rosso.
Tratto da The Relativity of Simultaneity Moon Landing from the Moon
by John Walker http://www.fourmilab.ch/documents/RelativityOfSimultaneity/
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Relatività della simultaneità come effetto relativistico
in sistemi di riferimento in moto relativo
La relatività della simultaneità mostrata nell’esempio precedente può essere risolta, ed
effettivamente viene risolta nella TRS, rivedendo il concetto di sincronizzazione,
utilizzando un sistema di misura del tempo in cui gli orologi nello spazio sono
sincronizzati in base alla loro distanza spaziale.
In qualunque modo si scelga di sincronizzazione due orologi distanti nello spazio si
ha che l’esistenza in natura di una velocità limite fa sì che per determinare la
distanza temporale tra due eventi distanti spazialmente è necessaria anche
una misura della loro distanza spaziale, essendo tale misura necessaria per
sincronizzare gli orologi che si trovano nelle posizioni in cui i due eventi
accadono.
SISTEMI IN MOTO RELATIVO
Per il sistema di riferimento del TRENO
(osservatore sul treno) i due eventi
luminosi A e B sono simultanei
Per il sistema Terra (osservatore a terra) i
due eventi non sono simultanei, in
particolare A accade prima di B
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Se la velocità della luce è una invariante allora tempo e spazio
non possono rimanere grandezze assolute per sistemi in moto
relativo!
Esperimento del treno di Einstein
1
2
1
1
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A) EVENTO:. Riprendendo un esempio inventato
dallo stesso Einstein, consideriamo un treno che
si muove a grande velocità rispetto a un
osservatore 01 che si trova a terra, lungo i binari.
Un secondo osservatore 02 si trova sul treno,
esattamente nel punto medio del convoglio. A un
certo punto, due petardi sono fatti esplodere sui
binari, in corrispondenza delle due estremità del
treno. Le due esplosioni sono testimoniate dai
segni di bruciatura che rimangono sui binari e sul
treno, e la luce emessa da esse si propaga in tutte
le direzioni con velocità c (vedi figura B).
B) La ragazza – sistema terra-vedrà i due eventi
come simultanei e misurando la distanza tra Lei
e i punti di scoppio L (lunghezza del vagone è
2L) essa potrà affermare con certezza che gli
eventi sono simultanei
Dt1 = Dt2 = Dx/c=L/c
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C) L'osservatore 02 sul treno sarà d'accordo con 01?
Mentre i raggi luminosi si propagano, il treno si sposta (nel nostro esempio) verso sinistra.
Quindi 02 solidale al treno vede la stazione muoversi verso destra, egli vedrà prima
l'esplosione che avviene alla testa del treno e soltanto dopo un certo intervallo di tempo
l'esplosione che ha avuto luogo in coda al treno: non c'è dubbio che, secondo lui, le due
esplosioni non sono state simultanee.
Allora i due eventi che stiamo esaminando, cioè le due esplosioni, sono stati
simultanei o no?
Non c'è una risposta assoluta. Per quanto sembri strano l'unica risposta sensata è
«dipende».
Infatti, entrambi gli osservatori si sono attenuti strettamente alla definizione operativa di
simultaneità. Entrambi hanno condotto in modo corretto le loro osservazioni. Eppure le
loro risposte sono diverse, la SIMULTANEITA’ come conseguenza della invarianza,
finitezza e non superabilità della velocità della luce, diventa un concetto relativo.
Va inoltre notato che non c'è nulla di speciale che distingua il sistema di riferimento del
treno da quello in cui i binari sono fermi: in maniera del tutto simmetrica, due eventi che
sono simultanei per l'osservatore 02 non lo sono per l'osservatore 01 .
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LIMITE SULLA CAUSALITA’
NESSUN SEGNALE CI RAGGIUNGE PIÙ VELOCEMENTE
DELLA LUCE
La piccola Lucia, di nove anni, agita la sua bacchetta magica giocattolo ed esclama:
«ora il Sole esploderà!»
E vero?
Finché siamo sulla Terra non abbiamo alcun modo per saperlo, o almeno non per un
po' di tempo. Il Sole è posto a 150000 milioni di metri dalla Terra. Perciò occorreranno
150000 milioni di metri di tempo (t=x/c) di transito della luce perché il primo lampo di
luce proveniente dall'eplosione possa raggiungerci. Ciò equivale a 500 secondi 8
minuti e 20 secondi. Dobbiamo solo aspettare e vedere se Lucia ha ragione. Quando
gli 8 minuti e 20 secondi sono passati, avremo la prova del fatto che Lucia si
sbagliava: guardando attraverso i nostri speciali occhiali SCURI non vedremo
esplodere il Sole.
Ma la bacchetta magica di Lucia ci ha fatto pensare.
Quale legge di natura impedisce che il movimento di quella bacchetta possa essere il
segnale che farà esplodere il Sole in quell'istante? Oppure cosa impedisce a Lucia di
ricevere un segnale istantaneo, in modo da alzare la propria bacchetta
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contemporaneamente all'esplosione del Sole in modo da darci una falsa impressione
del suo potere?
Entrambe le domande hanno la stessa risposta:
“la velocità della luce è finita ed è un limite non superabile ”
Qualunque siano i suoi poteri, Lucia non può esercitare un'influenza sul Sole
prima che siano trascorsi 500 secondi; e non è neppure possibile che un
segnale d'avvertimento ci giunga dal Sole in un tempo minore di quello. Nel
corso di quei 500 secondi intermedi vedremmo la familiare forma rotonda del
Sole, in apparenza integro come sempre.
In maniera più generale, un evento non può causarne un altro quando la loro
separazione spaziale è maggiore della distanza che la luce può percorrere nel
tempo che divide questi eventi (distanza o separazione temporale x=ct)
La velocità finita della luce pone un limite alla causalità.
In altre parole perché due eventi siano causalmente (uno causa dell’altro) connessi
la loro distanza spaziale deve essere più piccola di quella temporale calcolata
come prodotto di “t” per la velocità della luce c, in modo tale da poter inviare da
uno all’altro un segnale, p.e. luminoso, che possa esserne la causa.
Se invece la distanza spaziale domina su quella temporale, il limite della velocità
della luce rende impossibile la causalità tra i due eventi che si dicono uno
nell’altrove dell’altro
(il segnale dovrebbe viaggiare a velocità maggiore di quella della luce)
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Abbiamo visto che la Teoria della Relatività ci mostra che eventi
simultanei per un osservatore non lo siano per un altro
Possiamo adesso dire di più:
anche la relazione prima/dopo è differente per osservatori in moto relativo,
quando due avvenimenti accadono ad una distanza l’uno dall’altro,
maggiore della loro distanza temporale la relazione di prima e dopo perde di
senso.
Solo se gli eventi hanno una distanza spaziale inferiore alla distanza
temporale, osservatori in sistemi relativi, pur non concordando sui singoli
tempi concorderanno sulla loro relazione temporale (ossia su quale sia
accaduto prima e quale dopo), altrimenti potrebbe presentarsi un fenomeno
di inversione temporale: mentre per un osservatore O l’evento A si verifica
prima dell’evento B (ossia nel suo sistema di riferimento risulta tA < tB) per
un altro osservatore O’ l’evento A potrebbe verificarsi dopo l’evento B (ossia
nel suo sistema di riferimento risulta t’A > t’B).
Il fenomeno dell’inversione temporale appare ancora più sbalorditivo
e ci sembra sovvertire qualche principio di base della nostra
concezione dell’Universo
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Come fare per passare dal sistama O
al sistema O’ ….
Possiamo applicare le
“Trasformazioni di Lorentz”
Oppure lo
“Spazio Tempo di Minkowski”
o ancora
“L’Invarianza dell’intervallo”
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Le trasformazioni di Lorentz
Si ottengono:
da una generalizzazione delle trasformazioni
galileiane
richiedendo la validità, del principio di relatività (non è possibile distinguere i due sistemi)
E richiedendo la validità del principio di
costanza della velocità della luce
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Invarianza dell’Intervallo
date le coordinate spazio – temporali di uno eventi riferite a due
osservatori inerziai O e O’ in moto relativo, rispettivamente (x,t) e
(x’,t’), si trova che la grandezza
(Intervallo)2=|(c*Dt)2-(Dx)2|=| (c*Dt’)2-(Dx’)2|
identificata come intervallo spazio –temporale assume lo stesso
valore per qualsiasi osservatore inerziale
Dx e Dt sono la distanza e l’intervallo di tempo tra due eventi nel sistema O e Dx’ e Dt’
sono distanza e intervallo di tempo nel sistema O’ che si muove con velocità v rispetto
a O (oppure O si muove con velocità –v rispetto ad O’)
La relazione consente di determinare una delle quattro grandezze incognite
In particolare:
se il primo evento è collocato nell’origine del sistema per entrambi i sistemi la relazione
si può scrivere
(Intervallo)2 =(c*t)2 -(x)2= (c*t’)2-(x’)2
(eventi simultanei in O) abbiamo
(c*Dt’)2 =(intervallo)2 + (Dx’)2 (eventi non simulatnei in O’)
Se Dt=0
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Spazio-tempo di Minkowski
La deformazione degli
assi rende evidente
che eventi simultanei
in O non sono più
simultanei in O’ – in
particolare Eb è
successivo ad Ea
Ea ed Eb sono eventi in cui la separazione spaziale supera quella temporale
si trovano uno nell’altrove dell’altro e mai potranno essere collegati come
causa ed effetto
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http://webphysics.davidson.edu/Applets/minkowski4/default.html
A questo indirizzo si
raggiunge un applet java che
permette di trasformare le
coordinate da un sistema O ad
uno O’ che si muove a velocità v.
Nell’applet è possibile variare la
velocità espresse come v/c, ed è
poi possbile inserire coordinate
in O o in O’, passando poi sopra
con il mouse appaiono le
coordinate trasformate.
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PROBLEM SOLVING 1
Alle 12.00 del tempo medio di Greenwich una
astronauta sulla Luna si lascia cadere una pinza
sull’alluce e urla: “@!#*§&” nel microfono del suo
casco (evento A)
Questa imprecazione viene portata verso la terra da
un segnale radio.
Un secondo dopo le 12.00 (sempre ora di
Greenwich) un corto circuito (evento B) disabilita
l’amplificatore dell’impianto ricevente presso il
Centro di Controllo Missione sulla Terra.
Ricostruendo l’accaduto, tempo dopo, un
controllore, notoriamente maschilista, sostiene
che sia stata proprio l’imprecazione a provocare il
corto circuito sulla terra.
Secondo te il controllore potrebbe aver ragione?
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PROBLEM SOLVING 2
Mileva Maric, fisico, moglie di A. Einstein, si
soffermo a riflettere sul seguente problema:
Un corridore si guarda in uno specchio che tiene
davanti a se alla distanza di un braccio.
Se egli corre a velocità elevata ma costante,
prossima alla velocità della luce, riuscirà a vedere
la propria immagine riflessa?
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PROBLEM SOLVING 3
Il problema dei vulcani Scherr et al. (2001).
In questo problema, eventi e moti avvengono lungo la stessa direzione, parallela al terreno.
Effetti di non inerzialità sulla superficie della Terra possono essere trascurati.
Il monte Reiner e il monte Hood, che distano 300km nel sistema terra, dove
essi sono fermi, improvvisamente eruttano.
Un sismologo, che si trova fermo in un laboratorio esattamente a metà strada
tra i due vulcani, riceve i segnali luminosi dell’eruzione dei due vulcani
nello stesso istante (gli eventi sono simultanei)
Un assistente del sismologo si trova fermo in un laboratorio collocato alla
base del Mt. Reiner, nell’istante stesso della sua eruzione.
Un’astronave molto veloce sta volando, dal Mt. Reiner al Mt. Hood, ad una
velocità costante pari a 0,8 c relativamente al terreno.
Nell’istante in cui il Mt. Reiner erutta, l’astronave si trova sopra questo
vulcano e, dunque, il pilota percepisce immediatamente il bagliore
dell’eruzione.
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Chiamiamo “Evento 1” l’eruzione di Mt. Reiner ed “Evento 2” l’eruzione di Mt.
Hood.
Tutti gli osservatori sono in grado di osservare i fenomeni in
modo scientificamente rigoroso e cioè sono in grado di
valutare il tempo di tutti gli eventi che avvengono nel loro
sistema di riferimento.
In altre parole ancora, ciascun osservatore possiede orologi
sincronizzati con tutti gli osservatori del suo sistema di
riferimento.
Per il Sismologo gli eventi sono simultanei, ma per gli atri
osservatori? Come possiamo procedere per sapere se per gli
altri (assistente del sismologo, pilota dell’astronave)
l’Evento 1 avviene prima, dopo o contemporaneamente
all’Evento 2?
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