Oltre la facciata della solita
matematica esiste un mondo dove i
numeri sono amici, dove la natura
si diletta a giocare …
È strano a dirsi, ma matematicare
diventa puro divertimento …
Ed ora preparatevi perché
scopriremo un nuovo mondo:
MATELAND!!!
I PARADOSSI
Ma la matematica È un’opinione?
PARADOSSO: Tesi apparentemente contraria ai principi di una scienza o a
quelli tradizionali dell’opinione comune, ma vera nella sostanza.
In matematica
Affermazione assurda,
provata da un’argomentazione solo apparentemente rigorosa
IN PAROLE POVERE… PARADOSSO
IL BARBIERE
Un villaggio ha tra i suoi abitanti un solo
barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato che
rade tutti e unicamente gli uomini del
villaggio che non si radono da soli. Se i fatti
stanno in questo modo sorge
immediatamente la domanda: "Chi rade il
barbiere?"
B
A
Persone che si
radono da sole
E il barbiere
da chi va a
radersi?
Clicca qui
Persone che vanno a
radersi dal barbiere
TRE ENUNCIATI FALSI
Qui ci sono tre enunciati falsi.
a. 1 + 1 = 2
b. 2 : 2 = 3
c. 5 + 2 = 7
d. 13 – 3 = 9
e. 27 : 3 = 9
E’ vero?
Gli enunciati falsi sembrano essere due,
b e d. Quindi l’affermazione Qui ci sono
tre enunciati falsi è falsa e costituisce –
così, il terzo enunciato falso. Ma se gli
enunciati falsi sono tre, allora è vera!
ACHILLE E LA TARTARUGA
Riuscirà Achille a superare in velocità una tartaruga?
N.B. Achille corre a una velocità dieci volte superiore a quella della tartaruga, la quale
parte con un vantaggio di 10 metri.
NO! Infatti Nel momento in cui Achille
raggiunge i 10 metri da cui è partita la tartaruga,
questa si sarà spostata di 1 metro. Rapidamente
Achille percorrerà quel metro, ma la tartaruga si
sarà spostata di 1 centimetro, e così via all'infinito.
Se ne conclude che Achille non raggiungerà mai la
tartaruga. Si trova così una somma infinita :
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..... = 111,11111.....
IL PARADOSSO DEL MENTITORE
Epimenide diceva: “Tutti i Cretesi sono mentitori"
Epimenide, che era Cretese, diceva la verità?
Per la soluzione,
clicca qui
E ORA..METTETEVI ALLA PROVA!
COME NON FARSI MANGIARE DAI CANNIBALI
L'Acuto Esploratore fu catturato da una tribù di cannibali.
I cannibali però erano Bravi e gli lasciarono una scelta: poteva essere cotto arrosto oppure
bollito.
Per scegliere, l'Acuto Esploratore, doveva pronunciare una frase tale che, se era vera
sarebbe stato cotto arrosto, e se era falsa sarebbe stato bollito.
Bisogna precisare due cose:
• L’esploratore era acuto
• I cannibali, oltre ad essere bravi, erano
Logici, e comunque avevano il freezer
Pieno di carne surgelata
L'Acuto Esploratore riuscì a salvarsi: come?
RISPOSTA: L'Acuto esporatore disse: "Morirò bollito.“
Se questa frase è vera allora i cannibali devono cuocerlo
arrosto, ma così facendo la frase diventa falsa.
Se la frase è falsa devono cuocerlo bollito, ma così facendo la frase diventa vera.
Nel dubbio, i cannibali mangiarono la carne surgelata che avevano nel freezer.
DIAMO UN OCCHIATA…AL PARADOSSO
INFO
ILLUSIONE DEL
BINARIO
(O “DEI SEGMENTI DI
PONZO“)
INFO
ILLUSIONE DELLA CORDA RITORTA
(O “DEI CERCHI DI FRAZIER“)
L’ARTE DEL PARADOSSO
Triangolo di
Penrose
M C Escher. "Cascata"
M C Escher.
“Belvedere"
Per saperne di più su queste
due opere clicca qui
Cubo di Necker
IPOTETICHE SPIEGAZIONI
SPIEGAZIONE DE “IL BARBIERE”
Se il barbiere si rasa da solo non deve
farsi radere dal barbiere ma si rade da sé,
però, essendo lui il barbiere, è come se SPIEGAZIONE DE “IL MENTITORE”
fosse andato dal barbiere, quindi non se
la rade da solo. Se invece non se la rade
Se Epimenide diceva la verità, allora
da solo, deve andare dal barbiere, ma
non tutti i cretesi erano mentitori,
essendo lui il barbiere, se la rade da solo.
quindi ha detto una frase falsa.
Dicendo una frase falsa allora non può
aver detto la verità. Ma se ha detto una
frase falsa, allora i cretesi non sono
mentitori. Quindi come ha fatto a dire
il falso se, in quanto cretese, non può
mentire?
DIAMO UN’ OCCHIATA AL PARADOSSO
(SPIEGAZIONE)
Quando si accostano dei segmenti paralleli a delle linee oblique
si può assistere alla nota illusione del binario detta anche
l'illusione "dei segmenti di Ponzo" dal nome dello scopritore di
questo fenomeno. Il segmento inferiore sembra più corto di
quello superiore mentre invece sono perfettamente uguali. Ciò
avviene perché i nostri occhi interpretano la figura
prospetticamente a causa delle due rette oblique laterali che
simulano il cosiddetto "punto di fuga". Quindi i due segmenti
vengono visti come se stessero su due piani differenti: quello in
basso vicino a noi e l'altro più lontano.
Essendo poi in realtà di uguale lunghezza il cervello crede erroneamente che
quello più "lontano" deve essere per forza più grande e così si genera
l'illusione.
Una legge della percezione infatti, la legge di Emmert, postula:"La
dimensione percepita di un particolare angolo visivo è direttamente
proporzionale alla sua distanza percepita", o in parole povere:"Più un oggetto
ci sembra lontano, più ci sembra grande!". Quindi la figura posizionata vicino
al punto di contatto delle due rette laterali viene vista come se fosse più
grande dell'altra anche se così non è!
Creare dei disegni utilizzando delle linee che
sembrano delle corde intrecciate può dare
luogo a delle distorsioni della linearità o della
continuità degli oggetti raffigurati.
Questa illusione viene chiamata della corda
ritorta o dei cerchi di Frazier.
Quelle che sembrano delle spirali invece sono
dei cerchi! L'accostamento tra le curve bicolori e
lo sfondo inganna la percezione della
continuità dei singoli cerchi e ci costringe a
vedere delle linee curve che vanno dalla
periferia al centro a mo' di spirale.
L’ARTE DEL PARADOSSO (APPROFONDIMENTO)
Escher, in questa opera, per realizzare il paradossale effetto
dell’acqua che “risale” nel canale, sfrutta la figura
impossibile creata da Penrose poco tempo prima, chiamata,
appunto, “triangolo di Penrose”. Questo triangolo deve
l'aggettivo impossibile al fatto che osservando i suoi lati si
ha l'impressione che uno venga verso di noi e uno sembri
allontanarsi. Studiando i suoi angoli ci accorgiamo che sono
tutti e tre di 90°, cosa impossibile poiché sappiamo che la
somma degli angoli interni di un triangolo deve dare 180°.
Nella opera la struttura permette osservazioni veramente “ardite”,
sottolineate dalla posizione dei due individui che osservano dalle
sue balconate; la dama al piano di sopra sembra osservare
attraverso la facciata principale in una direzione ma l’uomo al
piano di sotto pare osservare, in tutt’altra direzione, attraverso la
medesima facciata. Altro elemento “fuori dal normale” è la scala a
pioli. Al piano di sotto appare interna all’edificio, salvo poi
appoggiarsi alla balconata esterna del piano superiore. Per
convincersi dell’impossibilità di costruire tale edificio è sufficiente
osservare le colonne del piano inferiore, sembrano incrociarsi e
compiere delle pericolose pieghe. Anche in quest’opera il modello
matematico adottato da Escher è chiaramente indicato.
Si tratta del cubo di Necker, tenuto in mano dall’ uomo seduto in basso sulla panca.
Se la matematica vi piace e vi
interessa e volete approfondirla …
vi aspettiamo l’anno prossimo al
Liceo Scientifico G. Ferrari di
Borgosesia …
Venite numerosi …
Castaldi Matteo
Ferrari Federico
Frova Beatrice
Locuratolo Chiara
Longhetti Giulia
Menada Filippo
Pin Monica
Rotti Francesca
Scovenna Matteo
Spanò Stefania
Urban Alberto
Zambelli Chiara
…qualche rebus…
( frase: 10, 3, 1, 8)
( frase: 10, 2, 4)
1
2
( frase: 2, 12, 8)
3
(frase: 9, 7)
4
…e altri giochi…
• Il problema dei calzini
Un cassetto contiene mezza dozzina di calzini bianchi, una dozzina
di calzini neri e due dozzine di calzini grigi, alla rinfusa. Al buio
quanti calzini dovreste prendere dal cassetto per avere la certezza di
averne almeno un paio dello stesso colore?
• La croce del Sud
Che numero manca?
4 5 6 9
61 52 63 ?
Le soluzioni
• Ecco le soluzioni dei rebus:
1 Operazioni con i naturali
2 Elevamento al cubo
3 Un quadrilatero regolare
4 Triangoli scaleni
• Siete riusciti a risolvere il problema dei calzini?!
Si deve considerare il “ caso peggiore”, cioè quello in cui si peschino
i calzini tutti di tipo diverso. Poiché i tipi diversi sono tre sarà
sufficiente prenderne almeno quattro. Infatti in questo caso si avrà
sicuramente almeno una coppia di calzini dello stesso colore.
• La croce del Sud
4 5 6 9
61 52 63 18
Infatti i numeri della seconda riga sono tutti i
quadrati del numero corrispondente nella riga
superiore ma con la cifre invertite. es: 4  16  61