Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva
CURVE e SUPERFICIE 3
Cubiche, quartiche e alcune trascendenti;
superfici di rivoluzione a sezione meridiana variabile
Curve e superficie d’ordine superiore una
breve panomarica morfologica e un’applicazione in
architettura
Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e
senso palastico della variabilità
breve panoramica morfologica
 dalla parabola alle curve di efficiente resistenza
 cicloidi e prime curve cinematiche
 Concoidali e chiasmiche
 Quartiche e toriche
 Trascendenti tipiche: spirali
 Curve elastiche e parametriche

□ Curve di Bezier, B-Spline e NURBS
Una generalizzazione delle coniche: curve e superficie di Lamè


Descrizione delle superfici architettoniche
Esercizio in aula
F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009
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Ordini delle curve e senso plastico della
variazione di curvatura
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Grado dell’equazione e ORDINE DELLA
CURVA: una rassegna morfologica
Coniche
(Quadratiche)
Cubiche
ellittiche
(Parabole divergenti)
e cubiche razionali
(duplicatrice)
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Senso plastico ed efficienza meccanica delle
curve
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parabola
Serie
morfologiche
catenaria
Catenaria
d’ugual
resistenza
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Eugene Freyssinet
Hangar di Orly (1923)
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sinusoide
Cicloide
di Sturm
lintearia
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kappa
Curva di
Schoute
a forma di
punta di matita
qui ottenuta come inversione
biassiale dell’iperbole
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Curva di
Agnesi
Grafico della funzione
Inversa del coseno
iperbolico
Cubica di Lamé
Curva di
Gauss
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strofoide
Folium di
Cartesio
Trisettrice di
MacLaurin
Qui costruita come intersezione di
due rette che ruotano
costantemente una alla velocità
tripla dell’altra
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Cubica circolare
razionale
cissoide
Cissoide come
curva mediana
della retta del
circolo
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Cubiche di
Chasles
Iperboli
cubiche
(P è un polinmio di terzo
grado)
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Parabole
(cubiche)
divergenti
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Quartica
razionale
piriforme
.
Curva a
“lacrima”
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Lemniscata
di Bermouilli
Lemniscata
di Gerono
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Quartiche bicircolari
razionali
Lumaca di
Pascal
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Cardioide
Qui costruita come pericicloide
.
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Quartiche di
Bermuoilli
Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici
Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad
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Spiriche di Perseo
Fissati A e B
variando C.
1) Se 0 < B < A
2) Se B < 0 < A
Spiriche
e
toriche
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Ovali di Cassini
Ovali e Lemniscate
di Booth
e Ippopede di
Proclo
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Costruzioni cinematiche (come curve
di Watt) delle curve di Booth come
luoghi del centro di una conica che
ruota senza scivolare su una a lei
uguale e con i vertici coincidenti
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Quartiche
di Plücker
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Trascendenti tipiche: le spirali
Spirale
logaritmica
Caso di fibonacci
Cfr. Modulor
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Spirale
d’Archimede
E la sua inversa:
Spirale
iperbolica
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Involuta del
circolo
•
•
Le involute di una data
curva piana C sono le
curve (inviluppo) tracciate
dall’estremo di un filo teso
lungo C e srotolato da
C;detto altrimenti sono le
tracce nel piano di un
punto d’una retta ruotante
senza scivolare su C (sono
dunque dei casi particolari
di cicloidi).
Una qualunque curva della
quale un’altra curva C è
l’evoluta si dice Evolvente
di C (quì il circolo è
l’Evolvente).
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Evolute dell’ellisse (curve di Lamè)
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Curve elastiche e parametriche
•
Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale
alla distanza da una curva detta direttrice
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curve (di approssimazione) di Bézier
•
•
curva di approssimazione ottenuta come
interpolazione di punti di controllo che non passa
attraverso i punti che interpola (tranne il primo e
dell’ultimo).
L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al
numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di
ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo
grado).
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•
Come per Euclide la retta è quella
curva che coincide con ogni sua
tangente (la curva è una retta se
e solo se tutti i “punti di controllo”
giacciono sulla curva) così nelle
curve parametriche di Bézier la
curva è una retta se e solo se i
punti di controllo sono collineari.
tragitto di B(t) da P0 a P1.
•
Una curva quadratica di Bézier si
costruisce assegnando i punti
intermedi Q0 e Q1

al variare di t da 0 a 1 il punto
Q0 varia da P0 to P1 e descrive
una curva lineare di Bézier.

Il punto Q1 varia da P1 to P2 e
descrive una curva lineare di
Bézier.

Il punto B(t) varia da Q0 to Q1
e descrive una curva quadratica
di Bézier.
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•
•
La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e
all’ultimo tratto della spezzata di controllo
È tutta all’interno di un poligono convesso che
racchiude la spezzata
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Curve di approssimazione (B-spline)
•
•
Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono
le curve formate da più tratti di ordine uguale ma
anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di
controllo l’ordine della curva può variare tra n (in
questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in
questo caso degenera nella spezzata di controllo).
la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone
per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto
della spezzata di controllo.
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Non Uniform Rational B-spline
•
•
•
•
sono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad
ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di
NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti
eguali).
Le NURBS (come le Spline) sono composta da più
archi ma la continuità tra questi è regolabile da un
numero intero:
se = 0 gli archi sono semplicemente contigui
se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la
medesima tangente nel punto di saldatura
se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la
medesima tangente e hanno la medesima curvatura
nel punto di saldatura.
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•
•
•
•
•
•
I parametri che modellano una NURBS sono dunque:
- il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso;
- il numero degli archi o spans che compongono la
curva;
- la continuità tra gli archi nei punti di saldatura
(knots);
- il grado (ordine) della curva.
Attraverso le NURBS si descrivono le coniche
esattamente e non per approssimazione, come con le
altre spline.
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La categorizzazione comune delle curve
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Curve di Lamè
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Curve e Superfici di Lamè
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Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo
un’affinità omologica ortogonale
Le sezioni parallele variano la loro forma secondo
un’omotetia con centro sull’asse
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