Cinematica
(descrizione quantitativa del moto dei corpi)
Adesso riprenderemo una serie di concetti e di grandezze fisiche di cui abbiamo
già parlato e di cui abbiamo già fatto uso sia pure empiricamente e ne daremo la
definizione formale e operativa. In particolare:
Posizione
Spostamento
Velocità
Accelerazione
Lo faremo prima per il caso unidimensionale e poi per i moti in due o tre dimensioni
L’oggetto di cui studieremo il moto sarà un «punto materiale», cioè uno oggetto privo di
estensioni e quindi privo di fenomeni vibrazionali o rotazionali
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1
Moto in una dimensione
Posizione
Spostamento
Velocità
Accelerazione
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Posizione
La posizione di un punto materiale in una dimensione
è la sua coordinata sull’asse di riferimento
O
x1
x
Quindi: di quante informazioni abbiamo bisogno per definire la posizione di
un punto materiale ? Una sola:
x1
Quindi la posizione
in un «universo unidimensionale»
è in linea di principio semplicemente uno scalare
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Non c’è dubbio però che la posizione di un punto materiale può anche essere
definita come un vettore
r1
x1
O
x
Nel caso in questione il vettore r1 ha modulo x1 ed è orientato secondo il versore i
r1
=
x1 i
Questa è la definizione che spesso adotteremo, sia perché la formulazione è più elegante,
sia perché la cosa ci tornerà utile quando passeremo dalla
trattazione del caso unidimensionale al caso a due o tre dimensioni
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Spostamento
Supponiamo che il nostro punto materiale si sposti
dal punto x1 al punto x2
O
x1
x2
x
Di quante informazioni abbiamo bisogno per definire lo spostamento del punto materiale ?
Posizione originaria
Entità dello spostamento
Direzione e verso
Quindi lo spostamento è comunque un vettore,
anche nel caso di un universo unidimensionale
O
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x1
x2
x
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Nel formalismo che abbiamo adottato per la definizione della posizione, e cioè
un formalismo vettoriale, lo spostamento altro non è che la variazione Δr del
vettore posizione
r
Δr = r2 - r1
r1
x1
O
x
r2
O
x2
x
x2
x
Δr = r2 - r1
O
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x1
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Velocità
La velocità di un punto materiale è la rapidità con cui la sua posizione cambia nel tempo
Quindi: se il nostro punto materiale effettua il suo spostamento da x1 a
Intervallo di tempo
Δt:
x2
in un
Δr = r2 - r1
O
x1
x2
x
Tempo impiegato
Δt
definiremo la velocità media come:
v = Δr / Δt
m/s
La velocità così definita è detta velocità media in quanto la misura dello spostamento Δr
e del tempo trascorso Δt non ci danno informazioni sull’effettivo moto effettuato
dal punto materiale fra i punti x1 e x2 ed è un vettore, in quanto risulta
dal rapporto fra un vettore (lo spostamento)
ed uno scalare (il tempo).
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Velocità istantanea
La definizione di velocità media può essere utile, ma non ci aiuta a descrive i dettagli
del movimento del nostro punto materiale.
Si noti per esempio che se durante l’intervallo di tempo Δt il punto materiale in
questione torna al punto di partenza, la sua velocità media durante quell’intervallo
di tempo risulta pari a zero.
Siamo quindi certamente interessati alla definizione di velocità istantanea
così da potere ottenere informazioni per esempio su un moto del genere:
Come ottenere informazioni
più dettagliate del semplice
rapporto:
v = Δr / Δt
?
O
Δr
Δt
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x
Tempo t
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x
O
Δr1
Δt1
Tempo t
v1 = Δr1 / Δt1
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x
O
Δr2
Δt2
Tempo t
v2 = Δr2 / Δt2
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x
O
Δr3
Δt3
Tempo t
v3 = Δr3 / Δt3
11
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x
O
Δr4
Δt4
Tempo t
v4 = Δr4 / Δt4
12
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x
O
Δr5
Δt5
Tempo t
v5 = Δr5 / Δt5
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x
O
Δr6
Δt6
Tempo t
v6 = Δr6 / Δt6
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x
O
Δr7
Δt7
Tempo t
v7 = Δr7 / Δt7
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x
O
Δr8
Δt8
Tempo t
v8 = Δr8 / Δt8
16
© Nichi D'Amico
Possiamo rifare questo esperimento, adottando intervalli consecutivi di tempo Δti
sempre più piccoli, ottenendo così informazioni sempre più dettagliate sulla
velocità media
vi
durante ogni istante di tempo.
x
x
Tempo t
Tempo t
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Ad un dato istante t si definisce velocità istantanea v il valor limite a cui tende il
Rapporto Δr / Δt quando Δt tende a zero:
v = lim ( Δr/Δt ) m / s
Δt→0
x=vt
x
x
Δt→0
Tempo t
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In ogni punto, la velocità
istantanea è il coefficiente
angolare della retta
tangente la curva x(t)
Tempo t
18
Il limite:
v = lim ( Δr/Δt )
è la definizione matematica di derivata:
v = dr/dt
che nel caso unidimensionale in questione si riduce a:
vx = dx/dt
mentre in generale la derivata di un vettore in uno spazio tridimensionale (x,y,z) sarà
data dalla somma delle derivate delle sue componenti:
v =
dr
dt
=
d
(xi + yj + zk) =
dt
dy
dx
dz
i +
j +
k
dt
dt
dt
v = vx i + vy j + vz k
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Accelerazione
Come abbiamo visto, in generale la velocità istantanea di un punto materiale in movimento
può cambiare nel tempo, e questo porta alla definizione di un’altra grandezza fisica:
l’accelerazione. Così come la velocità esprime la rapidità con cui il punto materiale cambia
la sua posizione, l’accelerazione esprime la rapidità con cui il punto materiale cambia la sua
velocità.
Se un punto materiale ad un dato istante t1 si muove con velocità v1 e ad un altro dato
istante t2 si muove con velocità v2 l’accelerazione media
a è data dal rapporto:
a = (v2 – v1) / (t2 – t1) = Δv / Δt
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m / s2
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Osservando di nuovo il fenomeno con maggiore risoluzione temporale, misurando cioè
l’accelerazione in intervalli di tempo Δt sempre più piccoli, perveniamo alla definizione
di accelerazione istantanea:
a = lim ( Δv/Δt )
m / s2
Δt→0
v
In sostanza, l’accelerazione istantanea
tiene conto della rapidità con cui cambia
nel tempo il coefficiente angolare della
la tangente alla curva v(t).
Tempo t
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Anche in questo caso il limite:
a = lim ( Δv/Δt )
è la definizione matematica di derivata:
a = dv/dt
che nel caso unidimensionale in questione si riduce a:
ax = dvx/dt
Anche in questo caso, in generale la derivata di un vettore in uno spazio
tridimensionale (x,y,z) sarà data dalla somma delle derivate delle sue componenti:
a =
dv
dt
=
d
dvy
dvx
dv
(vxi + vyj + vzk) =
i+
j + zk
dt
dt
dt
dt
a = ax i + ay j + az k
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Dalle relazioni:
ax = dvx /dt
ay = dvy /dt
az = dvz /dt
vy = dy /dt
vz = dz /dt
e dalle:
vx = dx /dt
Risulta:
ax = dvx /dt = d2x /dt2
ay = dvy /dt = d2y /dt2
az = dvz /dt = d2z /dt2
Risulta quindi che l’accelerazione è©laNichi
derivata
seconda della posizione
D'Amico
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CINEMATICA UNIDIMENSIONALE
Formule e grafici
Ricapitolando: in cinematica unidimensionale, il nostro «universo» è costituito da una retta,
nella quale sono definiti un punto zero arbitrario, origine, una direzione e un verso:
0
Il nostro punto si muove SOLO lungo questa retta: può variare la velocità,
invertire il senso di marcia, ma comunque il suo moto avviene solo lungo
la retta.
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Possiamo quindi definire una variabile x(t) che rappresenta ad ogni istante la posizione
del nostro punto materiale lungo la retta in questione.
0
Adottiamo un sistema di assi cartesiani, ponendo x (t) come variabile dipendente
sull’asse delle ordinate, e t come variabile indipendente sull’asse delle ascisse.
x(t)
t
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Primo esempio: il nostro punto materiale è fermo in una posizione A
0
In questo caso, l’equazione del moto è la seguente:
x(t) = A
E la sua rappresentazione grafica è una retta orizzontale
x(t)
A
t
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Secondo esempio: il nostro punto materiale si muove a velocità costante
v = dx/dt = B
0
In questo caso, l’equazione del moto è la seguente:
x(t) = A + Bt
dove v x = dx/dt = B
E la sua rappresentazione grafica è una retta con coefficiente angolare B
x(t)
A
t
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Terzo esempio: il nostro punto materiale si muove con accelerazione costante
a = d2x/dt2 = C
0 In questo caso, l’equazione del moto è la seguente:
x(t) = A + Bt + Ct2
Dalle due definizioni:
v = dx/dt
Pendenza > B
x(t)
A
a = dv /dt
Pendenza = B
Si ha:
a = d2x/dt2 = 2C
t
x(t) = x0 + v0 t + ½ at2
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Quarto esempio: il nostro punto materiale si muove di moto oscillante
0
In questo caso, l’equazione del moto è la seguente:
x(t) = A cos (ωt)
E la sua rappresentazione grafica è la corrispondente funzione trigonometrica
x(t)
A
t
-A
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Moto di un corpo in caduta libera
Un dato sperimentale: tutti i corpi, indipendentemente dalla loro forma, dimensione,
sostanza, etc… cadono per terra con la medesima accelerazione. Apparentemente questo
potrebbe sembrarci semplicemente falso, perché nel nostro immaginario, una foglia e una
biglia acquisiscono accelerazioni differenti nella caduta a terra.
In effetti normalmente nella nostra esperienza quotidiana, i corpi NON sono in caduta libera
L’aria è un fluido: la foglia in pratica galleggia in questo fluido, mentre la biglia, soprattutto
se di piccole dimensioni, risente poco dell’attrito con l’aria. Ma nel vuoto tutti i corpi in
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caduta libera acquisiscono la stessa accelerazione
g
30
In prossimità della superficie terrestre,
g = 9.8 m / s2
Definiamo allora il nostro sistema di riferimento e applichiamo le equazioni del moto
Assumiamo come asse la direzione verticale
y
e fissiamone il verso positivo verso l’alto.
a
= costante =
y
-g
In analogia con quanto abbiamo già discusso,
le equazioni del moto saranno pertanto:
y = y0 + v0t – ½ gt 2
0
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