Lezione II Avviare la presentazione col tasto “Invio” Nichi D'Amico 1 ACCURATEZZA DELLE MISURE E CIFRE SIGNIFICATIVE Con il migliorare della qualità della strumentazione moderna, aumenta l’accuratezza delle nostre misure delle grandezze fisiche. Questo significa che il numero di cifre significative con le quali esprimiamo i risultati delle nostre misure (e dei calcoli che ne seguono), aumenta. Ma cosa si intende per cifre significative ? Se esprimiamo una data misura di lunghezza come segue: x= 4 m (una cifra significativa) stiamo in sostanza affermando che la lunghezza in questione è compresa fra 3 e 5 metri, in quanto NON stiamo fornendo alcune informazioni sui decimetri o su centimetri. E anche se scrivessimo x = 0,004 km il numero di cifre significative non cambierebbe (anche se ne abbiamo usato di più) Se invece scriviamo x = 4, 0 m stiamo affermando che la lunghezza in questione è di 4 m e 0 decimetri, e di conseguenza l’incertezza è al livello dei centimetri. Nichi D'Amico 2 o in modo equivalente se scriviamo x = 0,0040 km stiamo affermando che la lunghezza in questione è di 4 metri e 0 decimetri, e di conseguenza l’incertezza è al livello dei centimetri. Quindi: Prima regola: il numero di cifre significative è il numero di cifre che contando da sinistra risultano successive agli zeri, troncando quelle di valore incerto oltre alla prima diversa da zero. Nichi D'Amico 3 Seconda regola: Moltiplicando o dividendo più fattori, il numero di cifre significative con cui va rappresentato il risultato NON deve contenere più cifre significative del fattore meno preciso: 2,6 x 3, 12345 = 8,1 Terza regola: Nelle addizioni e sottrazioni, dando significato per ciascun addendo alla sua ultima cifra significativa, nel risultato sono da considerare incerte tutte le cifre che occupano una posizione di incertezza in uno qualsiasi degli addendi: 10,9 250,31 2,315 263, 525 263,5 Nichi D'Amico 4 ANALISI DIMENSIONALE Indicheremo le dimensioni di una grandezza fisica racchiudendola tra parentesi quadre. Per esempio: [x] = L [t ] = T (simbolo della dimensione della lunghezza x) (simbolo della dimensione del tempo t) Allora risulta per esempio che la dimensione della grandezza fisica velocità v, che come vedremo si misura in metri al secondo (m/s) sarà [v]= L/T ovvero LT-1 Vedremo durante il corso l’utilità di fare un’analisi dimensionale delle equazioni, cioè verificare la coerenza dimensionale dei due termini Nichi D'Amico 5 GRANDEZZE SCALARI E GRANDEZZE VETTORIALI Ripensando agli esperimenti che abbiamo immaginato a proposito della quantità di moto, ci rendiamo conto che in Fisica esistono sia: grandezze scalari o più semplicemente uno scalare che grandezze vettoriali o più semplicemente un vettore Per grandezza scalare intendiamo una grandezza fisica identificata semplicemente da un valore numerico: per esempio fra quelle che abbiamo già trattato nei nostri esperimenti, la massa. Diremo quindi la massa è uno scalare. Per grandezza vettoriale intendiamo invece una grandezza fisica che oltre ad un valore numerico, necessita anche della individuazione di una direzione e un verso, per esempio fra quelle che abbiamo già trattato nei nostri esperimenti, la velocità. Diremo quindi che la velocità è un vettore Nichi D'Amico 6 Proprietà dei vettori Le proprietà dei vettori possono essere facilmente descritte ricorrendo alla loro rappresentazione grafica. Prendiamo in considerazione il vettore «spostamento» Supponiamo di muoverci verso Est per 3km a partire da una posizione iniziale «0». Possiamo indicare questo spostamento nel grafico di seguito come segue: N W O E 1 km S Nichi D'Amico 7 Immaginiamo quindi di svoltare di 30 gradi a sinistra e di spostarci lungo questa nuova direzione di altri 5 km. Siamo in contatto radio coi nostri corrispondenti fermi al punto «0». Per farci raggiungere dobbiamo necessariamente descrivere il percorso che abbiamo fatto, o possiamo piuttosto indicare un percorso diretto ? N W 30° O E 1 km S Nichi D'Amico 8 Immaginiamo quindi di svoltare di 30 gradi a sinistra e di spostarci lungo questa nuova direzione di altri 5 km. Siamo in contatto radio coi nostri corrispondenti fermi al punto «0». Per farci raggiungere dobbiamo necessariamente descrivere il percorso che abbiamo fatto, o possiamo piuttosto indicare un percorso diretto ? Ok, graficamente è semplice ma come ricavare la lunghezza (modulo) e l’angolo del vettore risultante ? (che sono poi le grandezze da comunicare ai nostri corrispondenti!) N W 30° O E 1 km S Nichi D'Amico 9 Componenti dei vettori Possiamo individuare un vettore indicandone il modulo (la lunghezza), la direzione e il verso: y φ O Nichi D'Amico x 10 Possiamo individuare un vettore indicandone il modulo (la lunghezza), la direzione e il verso: y ay O φ ax x Le componenti lungo l’asse x e l’asse y saranno rispettivamente: ax = a cos ( φ ) ay = a sin ( φ ) Nichi D'Amico 11 Quindi, conoscendo a e φ possiamo determinare ax e ay ax = a cos ( φ ) ay = a sin ( φ ) 12 Viceversa, conoscendo ax e ay possiamo determinare a = tan ax 2 + ae ay2 = ay / ax Nichi D'Amico 12 Vettori unitari (versori) I versori sono vettori unitari (modulo = 1 ) che hanno direzione e verso di ciascuno degli assi cartesiani e vengono indicati con i simboli i e j rispettivamente: y j O x i Adottando questo formalismo, possiamo scrivere il vettore a = ax i + Nichi D'Amico a come: ay j 13 E torniamo adesso al quesito da cui eravamo partiti: la somma vettoriale Vogliamo definire il vettore s = a + b E’ intuitivo rendersi conto che, posto Risulta: N W s = sx i + sy j sx = ax + bx sy = ay + by 30° O E 1 km S Nichi D'Amico 14 Ecco i dati da comunicare ai nostri corrispondenti fermi al punto «0» s = tan sx 2 + sy2 = sy / sx Nichi D'Amico 15 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare y y φ O x φ x O Moltiplicare un vettore per uno scalare, significa semplicemente variarne il modulo Nichi D'Amico 16 Prodotto scalare di due vettori Dati due vettori A e B: A θ B Definito θ l’angolo fra i due vettori, si definisce prodotto scalare di A e B A • B = A x B cos (θ) Cioè il prodotto del modulo di A per il modulo di B per il coseno dell’angolo. Nichi D'Amico 17 Prodotto vettoriale di due vettori Lo vedremo più avanti quando ne troveremo un’applicazione in Fisica Nichi D'Amico 18