-Modello di Solow
-Crescita popolazione
-Progresso tecnologico
L’offerta di beni
La funzione di produzione
Funzione di produzione (neoclassica):
Y = F(K,L)
Rendimenti di scala costanti (RSC):
zY = F(zK, zL)
Capitolo 7: La crescita
economica, I
L’offerta di beni
La funzione di produzione pro capite
Tutte le variabili possono essere espresse in termini
pro capite (denotate con lettere minuscole)
k = K/L
y = Y/L
c = C/L
i = I/L
Capitolo 7: La crescita
economica, I
L’offerta di beni
La funzione di produzione pro capite
Il reddito e il capitale pro capite rappresentano i
valori medi nella popolazione.
Utilizzando variabili pro capite possiamo
confrontare economie di dimensioni diverse.
Una nazione piccola ma molto produttiva può
avere un reddito per abitante (pro capite)
superiore a quello di un paese più grande
anche se la produzione totale è inferiore.
Capitolo 7: La crescita
economica, I
L’offerta di beni
La funzione di produzione pro capite
Poiché F(K,L) è a RSC abbiamo (… z = 1/L):
y = Y/L = F(K, L)/L
= F(K/L, L/L)
y = F(k, 1) = f(k)
La produttività marginale del capitale pro capite:
PMK = f(k + 1) – f(k)
è decrescente
Capitolo 7: La crescita
economica, I
L’offerta di beni
La funzione di produzione pro capite
Prodotto per
lavoratore, y
La PMK è
decrescente e la
pendenza della
funzione di
produzione cala
con l’aumento di
capitale utilizzato
PMK
1
PMK
1
Capitale per lavoratore, k
Capitolo 7: La crescita
economica, I
La domanda di beni
Le funzione di consumo e investimenti
Il prodotto per lavoratore è diviso tra consumo c
e investimento i:
y=c+i
Il modello di Solow suppone che venga
risparmiata una frazione fissa del reddito:
s = tasso di risparmio
Quindi il consumo è (la rimanente) frazione di
reddito. La funzione di consumo è data da:
c = (1 – s)y
Capitolo 7: La crescita
economica, I
La domanda di beni
Le funzione di consumo e investimenti
Come nel modello statico l’equilibrio
macroeconomico implica che:
Investimenti = Risparmio
i = sy
Utilizzando la funzione di produzione pro capite
abbiamo:
i = sf(k)
Il cui grafico è uguale a quello della funzione di
produzione “riscalato” di un coefficiente tra zero e
uno (il tasso di risparmio).
Capitolo 7: La crescita
economica, I
La funzione di produzione pro capite
Consumi e investimenti
Prodotto, f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
Il reddito y è diviso
tra consumi e
investimenti
Nota: Variazioni di s
spostano la funzione sf(k)
in alto e in basso.
c
Risparmio, sf(k)
= Investimenti
y
i=sy
Se s = 1 tutta la
produzione è risparmiata
ec=0
Capitolo 7: La crescita
economica, I
Capitale per lavoratore, k
Lo stato stazionario
Investimenti e ammortamento sono uguali
Quando gli investimenti sono uguali all’ammortamento lo stock
di capitale pro capite non cambia. I nuovi investimenti
compensano esattamente l’ammortamento.
Nel lungo periodo l’economia è caratterizzata da un
equilibrio di stato stazionario
in cui la variabile endogena k* non varia.
Questo implica che anche il reddito e il consumo di stato
stazionario non variano:
y* = f(k*)
c* = (1-s)f(k*)
Capitolo 7: La crescita
economica, I
Dinamica del modello
Lo stato stazionario
y
f(k)
y=
In stato
f(k*)
stazionario gli
investimenti
(risparmi) sono
uguali
i* = dk*
all’ammortamento
dk
sf(k)
Il capitale pro
capite smette di
crescere
k*
Capitolo 7: La crescita
economica, I
k
Lo stato stazionario
La matematica
Lo stato stazionario è caratterizzato da Dk = 0
Poiché la funzione di accumulazione del capitale è
data da:
Dk = sf(k) – dk
Avremo:
0 = sf(k*) – dk*
Riordinando i termini si ottiene:
k*/f(k*) = s/d
Capitolo 7: La crescita
economica, I
La massimizzazione dei consumi
La golden rule
f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
Graficamente nello stato
stazionario di golden rule la
pendenza della funzione di
produzione è uguale a
quella della retta di
ammortamento:
sgold f(k)
PMK = d
k*gold
Capitolo 7: La crescita
economica, I
k
La regola aurea: Matematicamente
Il consumo di stato stazionario è dato da:
c* = y*  i* ovvero c* = f(k*)  i*
quindi è una funzione di k* data da:
c*(k*) = f(k*)  dk*
Il massimo della funzione c(k*) si ottiene calcolando la derivata
rispetto a k* e uguagliandola a zero. Otteniamo:
f ‘(k*) = d
ovvero
PMK = d
Capitolo 7: La crescita
economica, I
La regola aurea
L’economia non tende al capitale di regola aurea
automaticamente. Solo se il tasso di risparmio
è quello compatibile con l’ottenimento di k*gold il
consumo viene massimizzato.
Se così non è allora l’ottenimento della
produzione di regola aurea richiede un
cambiamento del tasso di risparmio.
Cosa succede in seguito alla variazione del tasso
di risparmio durante la transizione al nuovo
stato stazionario?
Capitolo 7: La crescita
economica, I
Se il capitale iniziale è troppo elevato: k* > k*gold
Un aumento di c* è
ottenibile con una
riduzione di s.
Il consumo è
superiore a quello
iniziale durante tutta
la transizione
all’equilibrio
Idea: il troppo
capitale installato
viene consumato
Capitolo 7: La crescita
economica, I
y
c
i
t0
Tempo
Se il capitale iniziale è troppo basso: k* < k*gold
Un aumento di c* è
ottenibile con un
aumento di s.
Il consumo è superiore a
quello iniziale nel lungo
periodo (per definizione
di regola aurea)
Ma nel breve periodo
diminuisce per
permettere
l’accumulazione di
capitale.
y
c
i
t0
Capitolo 7: La crescita
economica, I
Tempo
Esercizio 1
Modello di Solow. Realizzate il grafico del modello
di Solow.
a)
Identificate l’equilibrio di stato stazionario.
b)
Studiate graficamente come cambia l’equilibrio a
seguito di una diminuzione del tasso di
deprezzamento del capitale. Commentate.
c)
Studiate graficamente come cambia l’equilibrio di stato
stazionario in seguito ad un aumento del tasso di
crescita della popolazione.
d)
Commentate se la predizione teorica è conferme
all’evidenza empirica.
III ESERCITAZIONE
18
Es.1: Stato Stazionario, il grafico
Investimento e
ammortamento
Ammortamento, (d+n)k
i* = dk*
k = K/L, y = Y/L
y = f(k)
i = I/L = sy = sf(k)
s = saggio di risparmio
d = tasso di ammortamento
n = tasso di crescita della
popolazione
III ESERCITAZIONE
Investimento,
sf(k)
k*
Capitale per lavoratore, k
19
Es.1: Stato Stazionario, la
definizione

Lo stato stazionario identifica la condizione di lungo
periodo dell’economia, in cui lo stock di capitale e il
livello del prodotto aggregato sono stabili nel tempo (le
loro variazioni sono nulle).
Dk = i - dk – nk,
sf(k) = i
y=f(k)=kα
Dk = s kα - dk – nk=0
III ESERCITAZIONE
20
Es. 1: Stato Stazionario, la soluzione
Perché la variazione del capitale sia nulla deve essere
Dk = 0  sf(k) = (d+n)k
Perché i due effetti opposti sul capitale si compensino
è necessario che gli investimenti rimpiazzino la parte
di capitale che si deteriora (dk ) e forniscano capitale
aggiuntivo ai nuovi lavoratori (nk).
III ESERCITAZIONE
21
Es. 1, punto 2: diminuzione del
tasso di deprezzamento
Se d diminuisce?
d2 < d1
k2* > k1*
(d1 + n)k
(d2 + n)k
i
In corrispondenza di k1*,il capitale
che si logora per effetto del
deprezzamento è meno di quello che
si crea con i nuovi investimenti.
Quindi k aumenta, fino a
raggiungere il nuovo valore
di S.S. k2* > k1*. Anche il nuovo valore
di equilibrio del reddito procapite y
sarà maggiore: y2* >y 1*
III ESERCITAZIONE
sf(k)
k1*
k2*
k
22
Es. 1, punto 3: aumento del tasso di
crescita della popolazione



Se n aumenta, lo stock di capitale per lavoratore tenderà
a diminuire nel tempo.
Dk = sf(k) – (d + n2)k ; n2>n1
La variazione di k sarà nulla se la spesa per investimenti
compensa sia la quantità di capitale che si è logorato, sia
la quantità di capitale necessaria per dotare ogni nuovo
lavoratore dello stesso ammontare di capitale del periodo
precedente.
III ESERCITAZIONE
23
Es.1: aumento di n, il grafico
(d + n2)k
i
(d + n1)k
Se n aumenta?
n2 > n1
sf(k)
k2*< k1*
k2*
III ESERCITAZIONE
k1*
k
24
Es. 1: evidenza empirica

Se il tasso di crescita della popolazione aumenta, il livello
dello stock di capitale di stato stazionario diminuisce.

Osservando la relazione tra i dati sul reddito pro capite e quelli sul
tasso di crescita della popolazione per i paesi del mondo, vediamo
che effettivamente i paesi con una crescita maggiore della
popolazione tendono ad avere livelli di reddito pro capite inferiori.

La predizione teorica del modello di Solow sembra quindi
confermata dall’analisi empirica. Nell’interpretare i dati bisogna
però fare attenzione: possono esistere molteplici spiegazioni alla
base dell’osservazione dello stesso fenomeno.
III ESERCITAZIONE
25
Esercizio 2: La Regola Aurea
 Modello di Solow. Realizzate il grafico del modello di
Solow (per semplicità, n=0).
 Identificate l’equilibrio di stato stazionario (versione
semplificata es.A).
 Definite ed identificate il livello di capitale di regola
aurea.
 Studiate graficamente come si converge all’equilibrio di
stato stazionario aureo quando si parte con troppo poco
capitale rispetto a quello di Stato Stazionario della
regola aurea.
III ESERCITAZIONE
26
Es. 2: grafico
Ammortamento, dk
Investimento e
ammortamento
i* = dk*





k = K/L, y = Y/L
y = f(k)
i = I/L = sy = sf(k)
s = saggio di risparmio
d = tasso di
ammortamento
III ESERCITAZIONE
Investimento,
sf(k)
k*
Capitale per lavorato
k
27
Es. 2: Stato Stazionario
 Lo stato stazionario identifica la condizione di lungo
periodo dell’economia, in cui lo stock di capitale e il livello
del prodotto pro capite sono stabili nel tempo (le loro
variazioni sono nulle).
Dk = i - dk,
 la variazione dello stock di capitale è data dalla differenza tra
la spesa per nuovi impianti,ecc. (Investimenti) e la quantità
di capitale che si logora ogni anno (stock di capitale
esistente x tasso d’ammortamento).
III ESERCITAZIONE
28
Es. 2: Stato Stazionario (continua)
Dall’identità contabile del reddito nazionale sappiamo che
i = sy = sf(k),
quindi possiamo scrivere Dk = sf(k) - dk.
Perché la variazione del capitale sia nulla deve essere
Dk = 0  sf(k) = dk
Quando la spesa per investimenti (che fa aumentare k) e la quantità di
capitale che si usura ( k diminuisce) sono uguali, i due effetti opposti sul
capitale si compensano esattamente ed il livello dello stock di
capitale presente nell’economia rimane costante.
III ESERCITAZIONE
29
Es. 2: regola aurea

La Regola Aurea si riferisce all’individuazione del livello
di capitale di stato stazionario che massimizza il
consumo e, di conseguenza, il benessere della società.
c=y–i
(Ipotesi: g=0)
c = f(k) – sf(k)  sf(k) = f(k) – c
S.S. : sf(k*) = dk*  c* = f(k*) - dk*
III ESERCITAZIONE
30
Es. 2: regola aurea, il grafico
max c = max [f(k) - dk]
PMK - d = 0
PMK = d
dk
c
Risparmio, sf(k)
= Investimento
y
s=i
S.S.: k*golden
equivale PMK = d
k*
III ESERCITAZIONE
Prodotto, f(k)
PMK
Prodotto per
lavoratore, y
k
31
Es. 2: convergenza all’equilibrio
Prodotto, f(k)
Prodotto per
lavoratore, y
dk
sgf(k)
k< kg
sf(k)
s deve aumentare per
arrivare al livello
sgolden
k
III ESERCITAZIONE
kg
k
32
Es. 2: convergenza all’equilibrio
(continua)
s aumenta:
 c diminuisce
 i aumenta, sf(k) > dk.
I maggiori investimenti fanno aumentare k.
 L’accumulazione di k fa aumentare progressivamente il prodotto
aggregato y e quindi i consumi, fino a quando si raggiunge il livello di k
del nuovo Stato Stazionario, corrispondente al valore di s di Regola
aurea.
 Siccome ci troviamo nello S.S. di regola aurea, il nuovo valore di
equilibrio del consumo sarà maggiore di quello iniziale.
III ESERCITAZIONE
33
Es.2: convergenza all’equilibrio
(continua)
In t0, s aumenta
y
c
i
t0
III ESERCITAZIONE
34
Il progresso tecnologico nel modello di Solow
L’efficienza del lavoro
La funzione di produzione del modello
di Solow:
F(K , L)
Può essere generalizzata per tenere
conto della variazione dell’efficienza
produttiva:
F(K , L x E)
E = efficienza del lavoro
Capitolo 8: La crescita
economica, II
Il progresso tecnologico nel modello di Solow
L’efficienza del lavoro
In cui L  E è il numero di lavoratori “effettivi”
Il progresso tecnologico equivale a un aumento
della forza lavoro.
L’efficienza del lavoro E aumenta al tasso g:
DE
g 
E
Esempio: g = 0,02, l’efficienza di L cresce al 2%
all’anno
Progresso tecnologico: “Labor-augmenting”
Capitolo 8: La crescita
economica, II
Il progresso tecnologico nel modello di Solow
L’efficienza del lavoro
Possiamo esprimere tutte le variabili per
di lavoro effettivo:
Reddito:
y = Y/LE = f(Y/LE,1)
Capitale:
k = K/LE
Risparmio, investimenti: s y = s f(k)
Capitolo 8: La crescita
economica, II
unità
Il progresso tecnologico nel modello di Solow
L’efficienza del lavoro
La variazione del capitale per
unità di lavoro effettivo: (d + n + g)k
d k ammortamento
n k crescita della popolazione
g k progresso tecnologico (maggiore
efficienza dei lavoratori)
Capitolo 8: La crescita
economica, II
Lo stato stazionario
In presenza di progresso tecnologico
Come nel modello base di Solow, in stato
stazionario il capitale per unità di lavoro effettivo
non varia:
Dk = s f(k) – (d + n + g)k = 0
Nota: in questo caso quello che smette di crescere
è il capitale per unità di lavoro effettivo
Capitolo 8: La crescita
economica, II
Lo stato stazionario
In presenza di progresso tecnologico
Investimenti di sviluppo
uniforme, (d + n + g)k
Investimenti, investimenti di
sviluppo uniforme
In stato stazionario:
Investimenti, sf(k)
Dk = sf(k) – (d + n + g)k = 0
k
Capitolo 8: La crescita
economica, II
Capitale per lavoratore
effettivo, k
Gli effetti del progresso tecnologico
Quali sono i tassi di crescita delle
variabili di stato stazionario?
Variabile
Simbolo
Tasso di
crescita di
stato
stazionari
o
Capitale per lavoratore effettivo
k = K /(E x L)
0
Prodotto per lavoratore effettivo
y = Y /(E x L)= f(k)
0
Prodotto per lavoratore
Y/L = y x E
g
Prodotto totale
Y = y x (E x L)
Solo il progresso tecnologico spiega una crescita
persistente del tenore di vita.
Capitolo 8: La crescita
economica, II
n+g
La regola aurea
Progresso tecnologico e crescita della popolazione
Il consumo di stato stazionario è dato da:
c* = y*

i*
= f (k* )  (d + n + g) k*
c* è massimo quando:
PMK = d + n + g
ovvero
PMK  d = n + g
Capitolo 8: La crescita
economica, II
La regola aurea
Progresso tecnologico e crescita della popolazione
f (k)
Prodotto per unità di
lavoro effettivo, y
(d + n + g)k
Graficamente nello stato
stazionario della regola
aurea la pendenza della
funzione di produzione è
uguale a quella della
retta di ammortamento:
PMK = d + n + g
Capitolo 8: La crescita
economica, II
sgold f(k)
k*gold
Capitale per unità di
lavoro effettivo k
Esercizio 5

Partendo da s<sgold: ”Un aumento della quota di
Y destinata agli investimenti (s) contribuirà a
ripristinare una crescita più rapida e migliore tenore di
vita” .


Commentare e motivare usando il modello di
Solow con capitale Effettivo (Labour Augmenting)
III ESERCITAZIONE
44
Soluzione es. 5: lavoro effettivo
(LxE), cosa cambia?
 Y = F(K,LxE) ; E = efficienza del lavoro
 g = ΔE/E = tasso di progresso tecnologico
labour-augmenting.
 Tasso di crescita della forza lavoro effettiva (LxE):
Δ(LxE)/(LxE)= Δ(L)/(L)+Δ(E)/E=n+g
 k = K/(LxE) = capitale per lavoratore effettivo.
 y = Y/(LxE) = prodotto aggregato per lavoratore effettivo.
 S.S. : Δk = sf(k) – (δ + n + g )k = 0
 Regola aurea : PMK = (δ + n + g )
III ESERCITAZIONE
45
Es.5: Stato stazionario con progresso
tecnologico
(d+n+g) k*
f(k *)
y, i
c*Gold
Investimento, sGoldf(k Gold*)
i*Gold
k*
k*
IV ESERCITAZIONE
Gold
Capitale
per lavoratore effettivo, k*
46
Soluzione es. 5 - continua
Supponiamo di partire da uno stock di capitale di stato
stazionario inferiore a quello aureo:
 In t1 il tasso di risparmio aumenta:
(D+s)  D+I e D-c (gli investimenti aumentano e i
consumi si riducono)
 In t0 I=dk  in t1 I>dk cosicché k 
 k   y, c e I  sino a raggiungere lo stato stazionario aureo.
 Consumi: subito si contraggono (D-c) poi aumentano (c) ed alla fine
saranno superiori rispetto al livello di partenza.
III ESERCITAZIONE
47
Soluzione es. 5: chi ci guadagna e chi ci
perde?



Nell’immediato il tenore di vita misurato mediante i
consumi diminuisce.
… tuttavia, il maggiore investimento (maggiore s)
implica che lo stock di capitale cresce più
velocemente e quindi il tasso di crescita di Y e di y
(=Y/L) aumentano; cioè la crescita della produttività
aumenta. Nota: siamo nel BP.
Nel nuovo stato stazionario Y cresce al tasso n+g
mentre y al tasso g (quindi indipendenti da s). Nello
stato stazionario aureo il consumo è maggiore e
quindi il tenore di vita è aumentato (per le
generazioni future).
III ESERCITAZIONE
48
Soluzione: y,c,i nel tempo
In t0 s aumenta
y
c
i
t0
III ESERCITAZIONE
49