Teorema di Cauchy
Tetraedro di Cauchy
ej
con j = x, y, z
z
ez
n = nj e j
 Az
k = tk j ej
con k e j = x, y, z
n
y
n = tn j ej
n
ty z
tx z
ty x
tx x
ty y
x
tx y
P
tz z
tz x
ex
x

Ax
tz y

Ay
z
ey
y
Dal teorema del trasporto e dal principio di conservazione della massa risulta:
D
Dt

f

Vd f 

c

DV

d c
Dt
Dal principio di bilancio della quantità di moto risulta:



DV
c  Dt d (c )  c fdc  c Φ d (c )
(1)
con l = x, y, z, n
L'equazione (1), omettendo il pedice c, può essere scritta anche nella forma seguente:

 DV

  ( f  Dt )d   Φ d ( )  0
(2)
Calcolo dei valori dei due integrali dell'equazione

 DV

  ( f  Dt )d   Φ d ( )  0
(2)
Il valore del primo integrale nell'equazione (2) è pari a:

 *
 DV
  DV 
  ( f  Dt )d    ( f  Dt ) V ()
dove con [()]* si intende il valore della funzione integranda calcolata in un punto X  ;
con v() il volume del dominio 
Sviluppando il secondo integrale dell’eq. (2) per
l = x, y, z, n si ottiene:







Φ d ( )   Φx d ( x )   Φy d ( y )   Φz d ( z )   Φn d (n )
 x
 y
 z
 n
Il valore della somma dei 4 integrali a secondo membro è pari a:
*
*
*
*
 n A( Ax Ay Az )   x A( Ay Az P)   y A( Ax Az P)   z A( Ax Ay P)
dove con l* si intende il valore del generico sforzo calcolato in un punto X  l
con A() l'area della generica faccia del tetraedro di giacitura l
Da semplici considerazioni di geometria proiettiva si può desumere
un relazione tra le aree delle 4 facce del tetraedro
A (Ay,Az,P) = -nx A (Ax,Ay,Az)
z

ez
n
A (Ax,Ay,P) = -nz A (Ax,Ay,Az)
-nx
-ny
ex
A (Ax,Az,P) = -ny A (Ax,Ay,Az)
Az
ey
-nz

P

Ay

x
Ax
A (Ax,Ay,Az)
y
Il valore della somma:
*
*
*
*
 n A( Ax Ay Az )   x A( Ay Az P)   y A( Ax Az P)   z A( Ax Ay P)
può essere calcolato nel modo seguente:


*
*
*
*
A( Ax Ay Az )  n  nx  x  n y  y  nz  z

In conclusione, la relazione integrale:

 DV

  ( f  Dt )d   Φ d ( )  0
è riconducibile a:
 *
*
*
*
*
  DV 
)  V ( )   n  nx  x  n y  y  nz  z
 ( f 
Dt 



 A( A A A )  0
x
y
z
(3)
Dividendo la (3) per la quantità non nulla A(AxAyAz), si ottiene:
 *

*
*
*
*

DV 
V ( )
)
  n  nx  x  n y  y  nz  z  0
 ( f 
Dt  A( Ax Ay Az )




(4)
Questo risultato è vero per ogni condizione di equilibrio dinamico del tetraedro,
nonché per qualunque dimensione del tetraedro stesso.
La relazione (4), quindi, sussiste anche considerando il tetraedro infinitesimo
che risulta dal far tendere i punti
Ax , Ay , Az  P
Per un tetraedro infinitesimo però risulta che:
V() è una quantità infinitesima del terzo ordine
A(AxAyAz) è una quantità infinitesima del secondo ordine
Quindi il rapporto V() / A(AxAyAz) è una quantità infinitesima
Nella relazione (4)
 *
*
*
*
*
  DV 
V ( )
)
  n  nx  x  n y  y  nz  z  0
 ( f 
Dt  A( Ax Ay Az )




quando il tetraedro si riduce ad un elemento materiale nel punto P
il primo termine essendo infinitesimo è trascurabile rispetto al secondo termine
Da quanto sino a qui determinato ne consegue che (Teorema di Cauchy)
In ogni punto di un sistema materiale continuo
e in qualsiasi condizione di equilibrio dinamico
risulta soddisfatta la seguente relazione




 n  nx  x  n y  y  n z  z
Si noti che nella relazione non compare il simbolo * poiché i valori degli sforzi sono
riferiti univocamente alla posizione geometrica del generico punto P
Il teorema afferma quindi che in un punto di un sistema materiale,
il valore dello sforzo relativo a una generica giacitura n è univocamente
determinato tramite una combinazione lineare del valore degli sforzi
relativi a tre giaciture linearmente indipendenti.