Lezione VII
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Energia potenziale
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Abbiamo visto che il lavoro fatto da una forza conservativa su di una particella dipende
soltanto dal punto di partenza e da punto di arrivo.
Ne consegue che una tale forza può dipendere solo dalla posizione della particella, e non
per esempio dal tempo, o dalla velocità della particella.
Per esempio se la forza dipendesse dal tempo, adottando fra i due punti A e B un percorso
che ci fa impiegare più tempo, il lavoro risulterebbe differente rispetto a quello risultante
per un percorso che ci fa impiegare meno tempo. Il che abbiamo visto che non è il caso.
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Consideriamo il caso di un percorso rettilineo di una massa m. Il lavoro fatto dalla
risultante F delle forze applicate alla massa in questione è uguale alla variazione di
energia cinetica della massa m
x
L = Fdx = ½ mv2 − ½ mv02
x0
∫
Nel caso di un moto unidimensionale, tutte le forze che dipendono dalla posizione
sono conservative. Se F dipende solo da x, l’energia cinetica del corpo dipende anche
essa solo da x. Può essere diversa in posizioni differenti dell’asse x ma è sempre la
stessa in un dato punto. L’esempio della palla lanciata verticalmente in alto o di una
massa che incide su una molla illustrano questo caso.
In queste condizioni stabiliremo che ogni variazione dell’energia di movimento,
l’energia cinetica, lungo il percorso, è associata ad una variazione di segno opposto
dell’energia di posizione, l’energia potenziale.
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Rappresentando con U l’energia potenziale, questo enunciato risulta espresso dalla formula
ΔK = −ΔU
In base al teorema lavoro-energia che abbiamo appena riscritto, la variazione di energia
cinetica vale:
x
ΔK = F(x)dx
x0
∫
da cui ne segue che:
x
ΔU = − F(x)dx
x0
∫
Questa quantità è funzione soltanto della posizione
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Notiamo che in generale :
x
ΔU = − F(x)dx =
x0
x0
F(x)dx
x
∫
∫
(abbiamo invertito gli estremi di
integrazione)
Quindi possiamo scrivere:
ΔU = U(x) –U(x0) =
x0
F(x) dx
x
∫
Cioè: la variazione dell’energia potenziale che si osserva posizionandosi in un punto x,
rispetto al valore in un punto di riferimento x0 è il lavoro fatto dalla forza quando la
particella si muove dal punto
x al punto x0
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Confrontando la formula appena enunciata:
U(x) –U(x0) =
x0
F(x) dx
x
∫
con la formula del teorema lavoro-energia:
x
Fdx = ½ mv2 − ½ mv02
x0
∫
ci rendiamo conto che possiamo riscrivere quest’ultima come segue, semplicemente
invertendo di segno ambo i membri dell’equazione
x
− Fdx = ½ mv02 − ½ mv2
x0
∫
Dove il primo membro è uguale a U(x)
–U(x0)
(cambiando il segno e invertendo i limiti)
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Risulta quindi:
U(x) –U(x0) = ½ mv02 − ½ mv2
cioè:
U(x) + ½ mv2 = U(x0) + ½ mv02
Si noti che in questa equazione compaiono soltanto posizione e velocità
Il membro di destra di questa equazione dipende soltanto dalla posizione
e dalla velocità iniziali v0 e x0 e la quantità
U+K
a sinistra si mantiene pertanto
costante ed uguale al valore iniziale in qualsiasi punto x durante il moto unidimensionale.
Definiremo l’energia meccanica totale la quantità
E=U+K
Questa quantità si conserva durante il moto quando la forza in gioco è conservativa
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In sostanza, abbiamo ricavato la Legge di Conservazione dell’Energia Meccanica
(cinetica + potenziale):
E=U+K
di cui avevamo intuito fin dalla prima lezione l’esistenza.
Energia potenziale U
Energia cinetica K
Energia Meccanica
E
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In molti casi, quando le forze in gioco sono conservative, e quando gli effetti di altre
forze non conservative sono trascurabili, l’applicazione diretta di questa Legge ci
consente di risolvere rapidamente un problema senza necessariamente trattare
quantitativamente le forze in questione e senza quindi dovere applicare le Leggi di Newton.
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Riscriviamo una delle formule precedenti:
x
ΔU = − F(x)dx
x0
∫
La relazione fra forza ed energia potenziale può essere anche scritta come segue:
F(x) = − dU(x) / dx
Infatti sostituendo questa formulazione nella formula precedente si ottiene una identità:
x
ΔU = dU
x0
∫
Quindi l’energia potenziale U è una funzione della posizione la cui derivata (cambiata di
segno) dà la forza. Cioè a sua volta la forza (cambiata di segno) rappresenta la rapidità
«spaziale» con cui cambia l’energia potenziale. Cioè il tasso di variazione di energia
potenziale lungo x è rappresentato dalla forza.
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I due esempi classici di sistemi conservativi unidimensionali
Due esempi classici di forze conservative sono la forza di gravità e
la forza di richiamo di una molla
Il caso della forza di gravità
Nel caso della forza di gravità, il moto unidimensionale è verticale. Assumendo l’asse
y diretto verso l’alto, la forza di gravità risulta diretta secondo il verso
negativo delle y. Si ha quindi: F = −mg = costante (che rappresenta un caso particolare
positivo delle
di una forza dipendente dalla posizione).
Per l’energia potenziale potremo scrivere pertanto:
U(y) – U(0) =
∫
0
Fdy
y
=
∫
0
y
Adottando una energia potenziale nulla per
(−mg) dy = mgy
y = 0, si ha semplicemente:
U (y) = m g y
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Il fatto che l’energia potenziale di una massa m ad una certa altezza dal suolo
cresca con l’altezza è certamente coerente con la nostra esperienza quotidiana:
Maggiore è l’altezza h dalla quale lasciamo cadere una massa m, maggiore è la
velocità (e quindi l’energia cinetica) con cui arriva al suolo.
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Il caso della forza di una molla
Consideriamo la forza esercitata da una molla elastica su di una massa m che
si muove su di una superficie orizzontale (priva di attrito), e consideriamo il
punto x0 = 0 come posizione di equilibrio della molla. La forza
F esercitata sulla massa m
quando la deformazione è x vale
F = −k x
dove
k è la costante elastica della molla
L’energia potenziale è data dalla formula:
U(x) − U(0) =
∫
0
(−kx) dx
x
Se scegliamo U(0)
= 0 , l’energia potenziale, come pure la forza,
è nulla nella posizione
di riposo della molla e risulta:
U(x) − U(0) =
∫
0
x
(−kx) dx = ½ kx2
(metodo grafico delle aree)
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Sistemi conservativi a 2 e 3 dimensioni
Tutto quanto abbiamo discusso fino adesso per il caso unidimensionale, in cui
la forza era orientata lungo la direzione del moto si può facilmente generalizzare
al caso di un moto in più dimensioni.
L’ipotesi che stiamo considerando è comunque quella in cui il lavoro fatto da una
data forza F dipende soltanto dai punti estremi del moto del percorso.
In questo caso la forza in questione è una forza conservativa.
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In questo caso, l’energia potenziale U sarà una funzione delle coordinate x,y,
z
dello
spazio in cui avviene il moto , e cioè
U = U(x,y,z)
E di nuovo troveremo che l’energia meccanica è conservata:
K + U = E = costante
Cioè:
½ mvx2 + ½ mvy2 + ½ mvz2 + U(x,y,z) = E
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Forze non conservative
Ricapitoliamo:
Partendo dal teorema lavoro-energia:
L = ΔK
abbiamo trovato che quando la risultante
F delle forze è conservativa,
il lavoro fatto
può essere espresso come diminuzione dell’energia potenziale:
−ΔU = ΔK
Questo ci ha condotto all’idea della conservazione dell’energia cinetica + energia
potenziale, cioè:
ΔK + ΔU = 0
Δ(K + U) = 0
K+U =
costante
Abbiamo chiamato questa costante E, energia meccanica totale del sistema
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Supponiamo adesso che fra le forze agenti sulla massa in questione ve ne siano alcune
non conservative. Il lavoro fatto dalla risultante delle forze sarà uguale alla somma
del lavoro fatto dalle forze conservative e da quelle non conservative:
In base al teorema lavoro-energia, potremo quindi scrivere sempre:
Lconserv + Lnon-conserv = ΔK
D’altra parte, il lavoro fatto dalle forze conservative può essere scritto come diminuzione
dell’energia potenziale:
Lconserv = −ΔU
Da cui:
Lnon-conserv = ΔK + ΔU
E cioè:
Lnon-conserv = Δ(K + U) = ΔE
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Lnon-conserv = Δ(K + U) = ΔE
Quindi: in presenza di forze non conservative, l’energia meccanica totale
E di un
sistema non è costante, ma cambia di un ammontare pari al lavoro effettuato dalle
forze non conservative.
Nel caso della forza dissipativa come la forza d’attrito, cosa ne è stato dell’energia
meccanica totale ? In questo caso, l’energia meccanica si è trasformata in calore,
e risulta che l’energia termica sviluppata è esattamente eguale alla energia meccanica
dissipata
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La conservazione dell’energia
Abbiamo visto che nel caso di forze non conservative risulta che il teorema lavoro
energia può essere scritto come segue:
Lnon-conserv = ΔK + ΔU
In generale la formulazione più corretta sarà:
Lnon-conserv = ΔK + ∑ ΔU
dove il simbolo di sommatoria si riferisce ai contributi di energia potenziale di tutte le
forze conservative presenti.
Allo stesso tempo, possono essere presenti diverse forze non conservative, di cui la
forza di attrito che abbiamo visto che sviluppa energia termica è solo un esempio.
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Una importante affermazione, che fino adesso non è stata mai contraddetta dai
risultati sperimentali è la seguente:
L’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma
dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica
e di altre forme di energia, non cambia
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Alcune considerazioni:
Abbiamo iniziato l’approccio alla conservazione dell’energia parlando della
conservazione dell’energia meccanica K+U.
Poi abbiamo scoperto che l’energia meccanica si conserva solo nel caso di
forze conservative.
Per esempio nel caso di forze d’attrito, l’energia meccanica non si conserva
ma viene dissipata in energia termica
Adesso abbiamo affermato che l’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma
dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica e di altre
forme di energia, non cambia
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Sembra quasi che si voglia rincorrere assolutamente un teorema (la conservazione
dell’energia, appunto) invocando eventuali altre forme di energia, laddove
apparentemente l’energia non si sarebbe conservata.
Di fatto è l’esperienza che ci conferma la veridicità del teorema.
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Esempio 1
Un blocco di massa m scivola lungo una superficie curva priva di attrito come in figura.
In ogni istante, la forza normale N risulta perpendicolare alla superficie e quindi alla
direzione del moto e pertanto NON esegue lavoro.
Soltanto la forza gravitazionale compie lavoro e questa forza è
conservativa. Pertanto l’energia meccanica si conserva e scriveremo:
mgy1 + ½ mv12 = mgy2 + ½ mv22
Da cui si ricava:
v22 = v12 + 2 g (y2 – y1)
Se il blocco inizialmente è a
riposo ad una quota y
si ha quindi:
v2 = (2 g h)½
= h,
Esempio 2
Supponiamo di disporre di una molla con costante elastica k = 800 nt/m, posizionata
come in figura.
Supponiamo di comprimere la molla di 0,05 m rispetto alla posizione di equilibrio e di porre
davanti la molla un biglia di 0,02 kg.
Facendo l’ipotesi che la superfice orizzontale sia priva di attrito, con quale velocità la
palla si distaccherà dalla molla ?
Trattandosi di una forza conservativa (la forza esercitata dalla molla), l’energia
meccanica si conserva.
L’energia meccanica iniziale è l’energia potenziale della molla:
L’energia meccanica finale è l’energia cinetica della biglia:
Pertanto scriveremo :
Da cui risulta:
½ k x2
½ mv2
½ k x2 = ½ mv2
v = x (k/m)1/2 = 0,05m x ((800 nt/m)/0,02 kg)1/2
v = 10 m/s
Esempio 3
Consideriamo un pendolo semplice. Il moto si svolge nel piano x-y, si tratta cioè di un moto
bidimensionale. La tensione del filo è sempre perpendicolare alla traiettoria della massa m
per cui tale forza non compie lavoro. Se il pendolo viene spostato di un angolo θ dalla
sua posizione di equilibrio e poi lasciato libero, soltanto la forza gravitazionale compie
lavoro sulla massa m. Poiché si tratta di una forza
conservativa, possiamo applicare la legge di
y
conservazione dell’energia in due dimensioni e
scrivere:
½ mvx2 + ½ mvy2 + U(x,y) = E
x
½ mvx2 + ½ mvy2 + U(x,y) = E
Possiamo porre:
Inoltre
Quindi:
vx2 + vy2 = v2
U=mgy
dove
v
è la velocità lungo l’arco
dove l’origine dell’asse y coincide col punto più basso
½ mv2 + m g y = E
Quando posizioniamo la massa ad un angolo θ ed un’altezza h, la sua energia cinetica è
nulla, quindi:
In ogni punto sarà quindi:
E=mgh
½ mv2 + m g y = m g h  ½ mv2 = m g (h –y)
Quindi la velocità massima si ha per y
La velocità minima risulta in
y=h
= 0 ed è v = (2 g h)1/2
dove
v=0
Esempio 4
Un blocco di 10 kg viene lanciato in salita lungo un piano inclinato di 30° con una velocità
inziale di 5 m/s. Il blocco percorre 2 m, si ferma e poi ritorna alla base.
Quesito: Calcolare la velocità con cui il blocco ritorna alla base, e la forza d’attrito f.
Quando siamo alla sommità del moto, l’energia
cinetica è zero, mentre l’energia potenziale è data
dal lavoro esercitato contro la forza di gravità, a scapito
appunto dell’energia cinetica.
30°
U=mgh =
= (10kg) (9,8 m/s2) (2m) (cos 60°) = 98 joule
Alla base, dove il moto è iniziato è U
= 0 mentre l’energia cinetica era
K = ½ m v2 = ½ (10kg) (5 m/s)2 = = 125 joule
Risulta una differenza netta di energia di
98 joule − 125 joule = −f x 2 m
da cui risulta:
f = 27 joule / 2 m = 13,5 nt
Consideriamo adesso la discesa. Alla sommità avevamo:
U = 98 joule
La perdita di energia cinetica dovuta all’attrito durante la discesa sarà sempre 27
joule, per cui l’energia cinetica all’arrivo sarà 98 – 27 = 71 joule
Da cui
½ m v2= 71 joule  v = (71 x 2 / 10kg)1/2 = 3,7 m/s
Riassumendo:
• La massa parte con una velocità in salita di 5 m/s
• Ritorna al punto di partenza con una velocità di 3,7 m/s
• Questo è dovuto alla perdita netta di energia, che si è trasformata in calore
a causa dell’attrito sia in andata che in ritorno.
Pertanto se quando la massa torna al punto di partenza trova una molla che
semplicemente le inverte il moto, risalirebbe ma percorrendo una distanza
minore, e arriverebbe al punto di partenza con una velocità sempre più bassa, fino
a fermarsi.