Lezione IX seconda parte
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Riepilogo II
Forze conservative e non conservative
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Abbiamo visto che un corpo dotato di energia cinetica è in grado di effettuare lavoro
(a scapito della sua energia cinetica):
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Le forze per cui si osserva il fenomeno della «restituzione dell’energia cinetica»,
si chiamano forze conservative: lo è la forza esercitata da una molla,
come lo è la forza gravitazionale
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In un esperimento di questo tipo, l’energia cinetica viene ceduta e riacquisita periodicamente
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Le forze conservative, come la forza di una molla o come la forza gravitazionale,
sono in grado di restituire ad una massa m la sua energia cinetica.
Le forze non conservative come le forze di attrito, o di deformazione non elastica
Il blocco NON riacquista la sua energia cinetica !!!
NO!!!
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Quindi: se in parallelo ad una forza conservativa (per esempio la forza gravitazionale)
è presente anche una forza non conservativa, per esempio l’attrito dell’aria, non tutta
l’energia cinetica della massa m sarà restituita:
Se per esempio il pallone nel suo viaggio di andata e ritorno in verticale è soggetto
all’attrito dell’aria, il pallone tornerà al punto di partenza con meno energia cinetica
di quanto ne possedeva alla partenza.
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Abbiamo anche visto che ciò che risulta rilevante ai fini del computo del lavoro L
effettuato da una forza conservativa
sola componente del segmento
F nel muovere una massa da A a B
è la
A-B lungo la direzione della forza F, o le componenti
dei segmenti verticali infinitesimi Δh lungo la direzione della forza, la cui sommatoria
B
è sempre:
∑ Δh = h per il percorso in salita
∑ Δh = −h per il percorso in discesa
F = -mg
A
Cioè il lavoro fatto da una forza conservativa NON dipende dal percorso ma solo dalle
posizioni iniziale e finale
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Al contrario, nel caso di forze NON conservative, per esempio le forze d’attrito, il
lavoro fatto dalla forza in questione dipende dal percorso seguito per spostarsi fra il
punto iniziale e il punto finale e in generale il percorso lungo un ciclo chiuso NON è nullo.
Supponiamo per esempio un corpo che si muove su un tavolo, dotato di attrito, da un
punto A ad un punto
B seguendo di volta in volta percorsi differenti:
B
A
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Al contrario, nel caso di forze NON conservative, per esempio le forze d’attrito, il
lavoro fatto dalla forza in questione dipende dal percorso seguito per spostarsi fra il
punto iniziale e il punto finale e in generale il percorso lungo un ciclo chiuso NON è nullo.
Supponiamo per esempio un corpo che si muove su un tavolo, dotato di attrito, da un
punto A ad un punto
B seguendo di volta in volta percorsi differenti:
B
A
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Al contrario, nel caso di forze NON conservative, per esempio le forze d’attrito, il
lavoro fatto dalla forza in questione dipende dal percorso seguito per spostarsi fra il
punto iniziale e il punto finale e in generale il percorso lungo un ciclo chiuso NON è nullo.
Supponiamo per esempio un corpo che si muove su un tavolo, dotato di attrito, da un
punto A ad un punto
B seguendo di volta in volta percorsi differenti:
B
A
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In qualsiasi direzione si stia muovendo ad ogni istante il corpo in questione, la forza di
attrito si oppone sempre al suo moto, quindi effettua sempre un lavoro negativo a scapito
dell’energia cinetica del corpo.
B
A
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E quindi anche lungo un ciclo chiuso, il lavoro NON risulta nullo, ma negativo, con una
perdita netta di energia cinetica
B
A
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Possiamo adottare indifferentemente le due definizioni di forze conservative che
sono una la conseguenza dell’altra.
Una forza si dice conservativa se il lavoro da essa eseguito nello spostare un corpo
da un punto ad un altro dipende solo dalla posizione dei due punti e non dal percorso seguito.
Una forza si dice conservativa se il lavoro da essa eseguito nello spostare un corpo lungo
un percorso chiuso risulta nullo.
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Lavoro ed Energia
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Lavoro fatto da una forza costante
Consideriamo ancora il caso di una forza
F = costante, e di un moto rettilineo
lungo
la direzione di una forza. In questo caso, come sappiamo possiamo ridurre nuovamente
lo studio al caso unidimensionale (scalare) (moto lungo l’asse x) .
E sappiamo già che la particella di muoverà di moto accelerato con accelerazione costante
a = F/m
F
x
Definiamo Lavoro fatto dalla forza F sulla particella come il prodotto del modulo della forza
F per la distanza percorsa dalla particella
L=Fd
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Consideriamo adesso il caso in cui la forza (sempre costante) non agisce però lungo
la direzione di moto:
F
x
Fx
In questo caso definiremo il Lavoro fatto dalla forza F sulla particella come il prodotto
della componente
Fx della
forza lungo la direzione di moto, per la distanza percorsa
dalla particella
L = Fx d
L = F cos (θ) d
Se θ = 0, il Lavoro è semplicemente F
mentre se θ= 90°
d, come per il caso precedente ,
il lavoro fatto dalla forza F sulla particella è nullo.
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Il Lavoro è una quantità scalare ed altro non è che il prodotto scalare dei vettori
Fed
L=F•d
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Unità di misura del Lavoro
L’unità di misura del lavoro è il lavoro fatto dall’unità di forza nel muovere un
corpo dell’unità di lunghezza nella direzione della forza.
Quindi nel sistema SI l’unità di lavoro è 1 Newton-metro, detto joule.
Un’altra unità di misura in uso è il kilogrammetro, definita come
1kgm = 9,8 joule
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Lavoro fatto da una forza variabile
Consideriamo il caso di una forza che varia soltanto in modulo, che agisce lungo la
direzione x, e supponiamo di conoscere come varia il modulo
F in funzione di x.
Ci
poniamo il quesito di calcolare il lavoro fatto da questa forza variabile quando il punto
materiale si sposta da x1 a
x2 .
Supponiamo per esempio di sapere che la funzione
F(x) sia come in figura:
F(x)
0
x1
x2
x
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Dividiamo lo spostamento totale x1 
Il lavoro fatto falla forza
F
x2 in tanti piccoli intervalli consecutivi Δx.
nello spostare il punto materiale da xi a
xi + Δx,
assumendo che la forza sia costante nell’intervallo in questione , sarà dato da
ΔL = F(xi) Δx
F(x)
 ΔL = F(xi) Δx = area del rettangolo
0
x1
Δx
x2
x
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Il lavoro totale falla forza
F
nello spostare il punto materiale da
x1 a x2 ,
sarà dato approssimativamente dalla somma di un numero di termini come di seguito:
L12 ≈
∑ F(xi) Δx
F(x)
0
x1
Δx
x2
x
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Per migliorare la nostra approssimazione, possiamo suddividere in intervalli Δx
sempre più piccoli.
L12 ≈
∑ F(xi)Δx
F(x)
0
x1
Δx
x2
x
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Otterremo un risultato esatto per il lavoro fatto dalla forza F(x) nello spostare il punto
da x1 a x2, attraverso un processo al limite:
L12 = lim
Δx  0
∑ F(xi) Δx
∫
x2
=
F(x) dx
x1
Questa relazione definisce l’integrale di F rispetto a x da
x1 a x2 e
numericamente è esattamente uguale all’area indicata in figura
F(x)
0
x1
x2
x
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Supponiamo di avere una molla attaccata ad una parete, e supponiamo
che nel suo stato di equilibrio l’estremità della molla sia posizionata alla coordinata x0
x0
x
La forza esercitata dalla molla quando è stata allungata fino ad un certo valore x dalla
sua posizione di equilibrio x0, è data dalla cosiddetta Legge di Hooke:
F = − k (x−x0)
e il suo verso è sempre opposto allo spostamento da x0
k= costante elastica della molla
F
x0
x
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Quando la molla è allungata
x > x0 ;
quando la molla è compressa
x < x0
La forza F è sempre diretta verso x0, e quindi cambia segno quando il suo estremo
passa per la posizione di riposo x0
Possiamo assumere x0 =
0
x0
x
x0
x
e la formula diviene semplicemente
F=−kx
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Per deformare la molla senza che si generino accelerazioni, è sufficiente applicare alla
molla una forza F’ esattamente eguale e contraria alla forza F esercitata dalla molla
su di noi. La forza che applicheremo sarà quindi:
F’ = kx.
Il lavoro fatto da questa forza F’ per allungare la molla da
∫
0 a x è:
x
L12 = F’(x)dx = kxdx = ½ kx2 ?
0
Come calcolare un integrale così semplice, in modo grafico: (l’integrale è l’area….)
F’(x)
kx
Area =
½ kx2
x
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Energia cinetica
Supponiamo il caso in cui la risultante F delle forze applicate ad una massa m sia costante
(in termini vettoriali cioè sia in modulo che in direzione e verso). Come sappiamo, una
forze costante costante imprime alla massa in questione una accelerazione costante
a,
data dalla II Legge di Newton:
a=F/m
Scegliamo come sistema di riferimento l’asse delle x coincidente con la direzione comune della
forza F e dell’accelerazione a, e calcoliamo il lavoro fatto dalla forza F nello sposare la massa
m di una quantità x.
F
a
0x
d=x
x
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Il lavoro
L=Fx
applicando la II Legge di Newton risulta essere:
= ½ mv2 − ½ mv02
Abbiamo definito questa quantità l’Energia Cinetica (energia di movimento) della massa m
e la indichiamo col simbolo K
K= ½ mv2
In base a questa formulazione quindi:
Il lavoro fatto da una forza su una particella è uguale alla sua
variazione di Energia Cinetica
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Per quanto abbiamo ricavato questa formulazione nel semplice caso di una forza costante,
si dimostra che la formulazione è del tutto generale e vale anche nel caso di una forza
variabile. Nella slide successiva, affronteremo per esempio il caso di una forza F che
varia in modulo, in funzione della posizione, ma non in direzione.
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L=
∫
x
F(x) dx = ½ mv2 − ½ mv02
x0
Si dimostra che anche nel caso in cui la forza non solo varia in modulo, ma varia anche
in direzione, in ogni caso risulta sempre che il lavoro fatto dalla risultante delle forze su
una particella è eguale alla sua variazione di energia cinetica :
L (lavoro della forza risultante) = K –K0 = ΔK
(Teorema Lavoro-Energia)
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Sul significato di lavoro negativo
Supponiamo che l’energia cinetica K di una particella diminuisca. Allora
il lavoro L fatto su di essa dalla risultante F delle forze applicate risulta negativo
L = K − K0 < 0
se K < K0
• Questa equazione può essere interpretata affermando che l’energia cinetica di una
particella diminuisce di una quantità eguale al lavoro da essa prodotto per contrastare
Una forza (così come aumenta di una quantità uguale al lavoro ricevuto da una forza)
• In sostanza: una particella in moto possiede una certa quantità di energia, sotto forma
di energia cinetica (energia di movimento). Non appena produce lavoro, perde
energia cinetica (cioè velocità).
• Quindi: l’energia cinetica di un corpo in movimento è pari è eguale al lavoro che produce
nel fermarsi.
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