Valutazione riserva sinistri:
metodo della catena
Cinquilli Noemi
Garcia Viviana
Leonardi Simone
Sperandeo Valerio
Perché si genera la riserva sinistri?
• Sinistri denunciati e registrati dall’impresa
nell’esercizio stesso (o precedenti) non ancora
pagati alla sua chiusura
• Sinistri accaduti nell’esercizio stesso (o in
precedenti), ma non registrati alla chiusura:
I.B.N.R. (Incurred But Not Reported)
Metodo della catena
Parametri del modello
t: prevedibile durata massima del differimento del
risarcimento (definitivo) dei sinistri
𝑃𝑖𝑗 : importi dei risarcimenti di sinistri della generazione i
(i=0,….,t), effettuati con j anni di differimento (j=0,….,t-i)
𝑗
ℎ=0 𝑃𝑖ℎ :
𝐶𝑖𝑗 =
risarcimenti di sinistri cumulati della
generazione i effettuati nei primi j anni di differimento
𝐶0∞ = somma dei pagamenti già effettuati e di quelli
previsti relativi a risarcimenti di sinistri della generazione
0 e precedenti
Il link ratio
𝐶𝑖𝑗
𝐶𝑖𝑗−1
è ipotizzato costante rispetto alle varie
generazioni (ipotesi fondamentale del modello)
Triangolo Run Off dei risarcimenti cumulati
Generazione
0
1
…
…
i
…
t-1
t
0
1
C(0,0) C(0,1)
C(1,0) C(1,1)
…
…
…
…
C(i,0)
…
…
…
C(t-1,0) C(t-1,1)
C(t,0)
…
…
…
…
…
…
…
Durata (in anni) del differimento del risarcimento
j
…
…
…
t-1
C(0,j)
…
…
…
…
…
…
…
…
C(1,t-1)
…
…
…
…
…
…
…
…
C(i,t-i)
t
C(0,t)
>t
C(0,∞)
I valori nella tabella sono i risarcimenti cumulati relativi ai sinistri registrati
nell’anno (generazione) i pagati con j anni di differimento.
Poiché oggi ci troviamo nell’anno t i valori nel triangolo superiore della tabella
si riferiscono al passato mentre quelli nel triangolo inferiore sono futuri e
devono essere stimati. Lo faremo ipotizzando, sulla base dell’ipotesi
fondamentale, che la progressione dei risarcimenti futuri cumulati sia la stessa
dei risarcimenti passati
Passi computazionali
• Calcolo dei fattori di sviluppo:
𝑚𝑗 =
𝑡−𝑗
𝑖=0 𝐶𝑖𝑗
𝑡−𝑗
𝑖=𝑜 𝐶𝑖𝑗−1
; j=1,…,t
• Stima dei pagamenti futuri cumulati:
Ĉ ℎ𝑘 =𝐶ℎ,𝑡−ℎ 𝑘𝑗=𝑡−ℎ+1 𝑚𝑗 ; h=1,…,t; k=t-h+1,…,t
• Importi cumulati stimati finali:
• Calcolo
𝐶0∞
Ĉ𝑖∞ =Ĉ𝑖𝑡 𝑚∞ con 𝑚∞ =
𝐶𝑜𝑡
riserva globale: 𝑅 = 𝑡𝑖=0( Ĉ𝑖∞ -𝐶𝑖,𝑡−𝑖 )
Esempio pratico
Tabella dei risarcimenti cumulati dal 2009 al 2013.
Vogliamo stimare la riserva sinistri alla fine
dell’ultimo anno.
Generazione
0
1
2
3
4
Durata (in anni) del differimento del risarcimento
0
1
2
3
4
>4
789
1156
1245
1294
1326
1348
960
1418
1538
1615
1170
1703
1853
1407
2062
1798
Calcolo dei fattori di sviluppo
Generazione
0
1
2
3
4
•
•
Durata (in anni) del differimento del risarcimento
0
1
2
3
4
>4
789
1156
1245
1294
1326
1348
960
1418
1538
1615
1170
1703
1853
1407
2062
1798
1156+1418+1703+2062
𝑚1 =
=1,465
789+960+1170+1407
1245+1538+1853
𝑚2 =
=1,084
1156+1418+1703
• 𝑚3 =1,045
• 𝑚4 =1,025
• 𝑚∞ =1,017
𝑚𝑗 =
𝑡−𝑗
𝑖=0 𝐶𝑖𝑗
𝑡−𝑗
𝑖=𝑜 𝐶𝑖𝑗−1
Stima dei pagamenti futuri cumulati
Ĉ ℎ𝑘 =𝐶ℎ,𝑡−ℎ
𝑘
𝑗=𝑡−ℎ+1 𝑚𝑗
Ĉ3,4 =𝐶3,1 ∗ 𝑚2 ∗ 𝑚3 ∗ 𝑚4 =
2062*1,084*1,045*1,025=2394
Generazione
0
1
2
3
4
Durata (in anni) del differimento del risarcimento
0
1
2
3
4
>4
1326
1348
1615
1655
1683
1853
1936
1985
2018
2062
2235
2336
2394
2435
1798
2634
2855
2984
3058
3110
Calcolo riserva globale
Generazione
0
1
2
3
4
Durata (in anni) del differimento del risarcimento
0
1
2
3
4
>4
1326
1348
1615
1655
1683
1853
1936
1985
2018
2062
2235
2336
2394
2435
1798
2634
2855
2984
3058
3110
𝑅=
𝑡
𝑖=0( Ĉ𝑖∞ -𝐶𝑖,𝑡−𝑖 )
𝑅4 = Ĉ4∞ − 𝐶4,0 =3110-1798=1312
𝑅3 = Ĉ3∞ − 𝐶3,1 =2435-2062=373
𝑅2 = 165
𝑅1 = 68
𝑅0 = 22
𝑅𝑇𝑂𝑇 = 1312 + 373 + 165 + 68 + 22 = 1940
• Grazie alla sua semplicità e all’esiguità delle
informazioni richieste, il metodo della catena
è molto diffuso per portafogli di grandi
dimensioni ed è utilizzato come termine di
paragone per i risultati ottenuti con altre
tecniche;
• Possono, però, verificarsi delle distorsioni
relative alle ipotesi del processo:
1. Cambiamenti nella politica di gestione dei sinistri
tra le diverse generazioni;
2. Effetti inflazionistici;
Esempio con inflazione.
Fattori inflattivi
• Passaggio da 2009 a 2010: 11%;
• Passaggio da 2010 a 2011: 10,5%;
• Passaggio da 2011 a 2012: 12%;
• Passaggio da 2012 a 2013: 15%;
• Tasso ipotizzato per gli anni futuri: 12%.
Si procede ad un aggiustamento dei dati e ad una
nuova sequenza di stime inflazionando i singoli importi
𝑃𝑖𝑗 , cioè i risarcimenti non cumulati
Tabella
𝑃1,0 (𝑖𝑛𝑓𝑙) = 𝑃1,0 x 1,15 x 1,12 x 1,105 =
960 x 1,423 = 1366,31
Generazione
0
1
2
3
4
0
1246
1366
1507
1618
1798
Durata (in anni) del differimento del risarcimento
1
2
3
4
>4
522
115
56
32
22
590
138
77
613
150
655
Riportiamo i nuovi valori dei fattori di sviluppo:
𝑚1 (infl)=1,415; 𝑚2 (infl)=1,069; 𝑚3 (infl)=1,034;
𝑚4 (infl)=1,016 𝑚∞ (infl)=1,011.
Sulla base di questi costruiamo la tabella degli importi
inflazionati cumulati noti e stimati :
Generazione
0
1
2
3
4
0
1246
1366
1507
1618
1798
Durata (in anni) del differimento del risarcimento
1
2
3
4
>4
1769
1883
1940
1972
1994
1956
2094
2171
2206
2231
2120
2270
2346
2385
2411
2273
2430
2512
2553
2581
2544
2719
2811
2857
2888
Tabella dei pagamenti annuali previsti in futuro
𝑃𝑖𝑗 =𝐶𝑖𝑗 𝑖𝑛𝑓𝑙 − 𝐶𝑖𝑗−1 (𝑖𝑛𝑓𝑙)
Generazione
0
0
1
2
3
4
Durata (in anni) del differimento del risarcimento
1
2
3
4
>4
22
36
24
77
39
26
157
82
41
28
746
175
92
46
31
Importi inflazionati secondo l’ipotesi di tasso
costante pari al 12%.
Generazione
0
0
1
2
3
4
Durata (in anni) del differimento del risarcimento
1
2
3
4
>4
25
40
30
86
49
37
176
103
58
44
836
220
129
72
55
Calcolo riserva globale
•
•
•
•
•
•
𝑅0 = 25
𝑅1 = 40 + 30 = 70
𝑅2 = 86 + 49 + 37 = 172
𝑅3 = 176 + 103 + 58 + 44 = 381
𝑅4 = 836 + 220 + 129 + 72 + 55 = 1312
𝑅𝑇𝑂𝑇 = 25 + 70 + 172 + 381 + 1312 = 1960
Luciano Daboni, Lezioni di tecnica attuariale delle assicurazioni
contro i danni