Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria
Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione…
Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2015-16
Cenni alla verifica
tensionale allo SLE di
sezioni parzialmente
precompresse
Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A 2015-16
Introduzione
• La verifica di travi allo SLE in termini di tensioni di travi
precompresse risulta particolarmente agevole in presenza di
precompressione totale o limitata a causa della presenza del cls
totalmente reagente.
• Nel caso di travi in c.a. parzialmente precompresse la sezione
risulta parzializzata (Stadio II) e la semplice applicazione della
formula di Navier per travi pressoinflesse non è più sufficiente.
• In particolare, occorre far riferimento alla teoria delle travi
pressoinflessa in presenza di calcestruzzo non reagente a
trazione.
• Un’ulteriore complicazione riguarda la dipendenza dello sforzo
normale nell’acciaio dal livello di fessurazione del cls che risulta
quindi variabile.
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Stato tensionale e deformativo in travi
pressoinflesse parzializzate
Stato deformativo e tensionale
in una trave in cap allo SLE
Parzializzata (Stadio II)
x
N
Deformazioni
u
Tensioni
c > cf
y
x
Momento
M
N=cost
MU
My
Md
Mf
c
Curvatura
sc > fctm
(Sezione parzializzata)
cy
cu
Stadio III
Centro
di pressione
z
cd
Stadio II
y
Stadio I
cf
c
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Stato tensionale e deformativo in travi
pressoinflesse parzializzate
Per la soluzione del problema occorre imporre le equazioni di
equilibrio alla traslazione e rotazione della sezione.
Più in particolare:
• Imponendo l’equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al
centro delle pressioni si giunge alla determinazione dell’asse
neutro
• Imponendo l’equilibrio alla traslazione si giunge infine alla
valutazione dello stato tensionale nella sezione.
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Stato tensionale e deformativo in travi
pressoinflesse parzializzate
Equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al centro delle pressioni
x
C
N
u
c > cf
y y
x
c
y
Centro
di pressione
Baricentro
n
z
sc > fctm
 C è il centro di pressione il quale
rappresenta anche l’origine del sistema
di assi x, y
 G è il baricentro, origine degli assi del
sistema di riferimento x, z
 Sia yc e yn la distanza dell’asse neutro
rispetto all’asse x e z
Data la linearità, la tensione nella generica
fibra ad altezza y può essere espressa
come segue
(Sezione parzializzata)
Costante da determinare
s = kz = k( y - yn )
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Stato tensionale e deformativo in travi
pressoinflesse parzializzate
Equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al centro delle pressioni
x
C
N
u
c > cf
 Data che l’origine degli assi è stato
posto in C occorre imporre l’equilibrio
alla rotazione rispetto ad esso
ò s y dA = k ò ( y - y
y y
A* c
x
y
n
z
A*
sc > fctm
p
) y dA
A*
k ò y dA - k ò y d dA = 0
A*
A*
J x* - y d S x* = 0
M. Inerzia e M. Statico sezione fessurata rispetto a x
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Stato tensionale e deformativo in travi
pressoinflesse parzializzate
Equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al centro delle pressioni
C
x
N
u
c > cf
x
y y
ysi
c
y
Centro
di pressione
n
z
sc > fctm
 L’equazione così determinata e nonlineare in yp. In particolare è una
equazione algebrica di 3° grado la cui
soluzione si può determinare
utilizzando soluzione numeriche
iterative, come ad esempio il metodo
della tangente o della secante
 Per la sezione rettangolare la soluzione
può espressa in forma semplice:
1
S x* = b( y 2p - u 2 )+ n å Asi y si
2
i
(
)
1
J = b y 3p - u 3 + n å Asi y si2
3
i
*
x
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Stato tensionale e deformativo in travi
pressoinflesse parzializzate
Equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al centro delle pressioni
C
x
N
u
é 6n
ù
é 6n
ù
2
2
3
y + ê å Asi z si - 3u ú y p - ê å Asi z si - 2u ú = 0
êë b i
úû
êë b i
úû
3
p
c > cf
x
y y
ysi
c
n
Dopo alcune manipolazioni algebriche…..
y
Centro
di pressione
z
é * 1
ù
1
3
3
2
2
2
b y p - u + n å Asi y si - y p êSx = b( y p - u )+ n å Asi y si ú = 0
3
2
ë
û
i
i
(
)
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Stato tensionale e deformativo in travi
pressoinflesse parzializzate
Equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al centro delle pressioni
C
x
N
u
c > cf
x
y 3p + py p - q = 0
y y
ysi
c
y
Centro
di pressione
n
z
é 6n
ù
2
p = ê å Asi z si - 3u ú
êë b i
úû
é 6n
ù
2
3
q = ê å Asi z si - 2u ú
êë b i
úû
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Stato tensionale e deformativo in travi
pressoinflesse parzializzate
Equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al centro delle pressioni
C
x
N
u
f ( y p ) = y 3p + py p - q = 0
c > cf
x
y y
ysi
c
y
Centro
di pressione
n
z
Per risolvere questa equazione è possibile utilizzare
agevolmente il metodo delle tangenti (metodo di
Newton).
Il metodo consiste
nell’utilizzare la formula
ricorsiva seguente
y p ,i+1 = y p,i -
f ( y p,i )
f '( y p,i )
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Stato tensionale e deformativo in travi
pressoinflesse parzializzate
Equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al centro delle pressioni
C
x
N
u
c > cf
x
y y
ysi
c
y
Centro
di pressione
n
z
Noto yp si può determinare la posizione
dell’asse neutro rispetto al sistema di
riferimento naturale x, z
yc = y p - u
Di conseguenza è possibile passare alla
valutazione dello stato tensionale nelle
fibre più critiche
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Stato tensionale e deformativo in travi
pressoinflesse parzializzate
Equilibrio alla traslazione per la determinazione delle tensioni
C
x
N
u
c > cf
x
y y
ysi
c
Noto yp si può imporre il soddisfacimento
dell’equilibrio alla traslazione
N = ò s dA = k ò z dA = kSx*
A*
n
A*
Dove Sx* è il momento statico dell’area tesa
rispetto all’asse x. Di conseguenza:
y
Centro
di pressione
z
N
k= *
Sx
sc =
N
z
*
Sx
(CLS)
N
(ACCIAIO)
s si = n * (d i - y c )
Sx
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Il calcolo delle tensioni in travi di cap parzializzate
Nelle travi parzialmente precompresse la parzializzazione si ha in genere in
fase di esercizio. Sicché si parte dalla fase (1) in cui c’è solo la
precompressione nella quale in genere la sezione è interamente reagente, poi
si passa alla fase (2) detta anche di precompressione, nella quale lo stato
tensionale si annulla e poi alla fase (3) in cui la sezione risulta parzializzata.
N.B: Nel passaggio tra fase 1 e 3 la forza di precompressione cambia.
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Il calcolo delle tensioni in travi di cap parzializzate
Fasi per il calcolo dello stato tensionale
Per il calcolo dello stato tensionale si procede come segue:
• Si calcolo la forza di compressione F che porta la sezione nello stato di decompressione
totale
• Determina lo stato tensionale della sezione parzializzata soggetta a F e al momento
esterno
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Il calcolo delle tensioni in travi di cap parzializzate
Fasi per il calcolo dello stato tensionale
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Esempio
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Esempio
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Esempio
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Esempio
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Esempio
N
x
u
y y
u= - 0.298
x
c
n
y
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Esempio
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Esempio
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Reference
Per maggiori approfondimenti si consiglia la lettura del seguente articolo scientifico
pubblicato dal Prestressed Concrete Institute (PCI – www.pci-org)
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