Esperimento Curve di Landau
Laboratorio delle particelle
elementari a.a. 2015-16
Lino Miramonti
Università degli Studi di Milano
Facoltà di scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Interazione delle particelle e della radiazione em con la materia
•
Particelle cariche pesanti (α, p, d, μ, , ioni pesanti...) {>105 MeV}
•
Particelle cariche leggere (β±, e±) {0.511 MeV}
•
Particelle neutre (n,ν)
•
Radiazione elettromagnetica (γ, X)
In queste lezioni siamo interessati alla perdita di energia
da parte di particelle cariche.
Particelle cariche pesanti
Tralasciamo pertanto l’interazione, con la materia, delle
particelle neutre e della radiazione elettromagnetica.
Particelle cariche leggere
Tratterremo dapprima l’interazione della particelle
pesanti ed estenderemo poi la trattazione agli elettroni.
Particelle neutre & Rad em
Interazione delle particelle cariche pesanti
Quando una particella carica attraversa un mezzo subisce:
a) Una perdita di energia
Per le particelle pesanti
b) Una deviazione dalla direzione incidente dovuti principalmente
Questi effetti sono dovuti a due processi:
1) Collisioni inelastiche con gli elettroni atomici
2) Scattering elastico sui nuclei atomici
Vi sono inoltre altri processi in gioco:
3) Emissione di radiazione Cherenkov
4) Bremsstrahlung
5) Reazioni nucleari
L’interazione
avviene
principalmente
con gli elettroni
del mezzo!
gli effetti sono
alle collisioni
inelastiche con gli elettroni atomici
(Sezione d’urto = 10-17-10-16 cm2)
Le particelle interagenti sono poco
deviate dalla loro traiettoria iniziale.
In prima approssimazione la traiettoria
può essere considerata rettilinea.
ECCITAZIONE
Se gli elettroni sono condotti a livelli superiori
IONIZZAZIONE
Se gli elettroni sono strappati all’atomo (o alla molecola)
Le collisioni inelastiche hanno una natura statistica. Nell’attraversate uno spessore
macroscopico le particelle interagiscono molte volte, pertanto le fluttuazioni sulla
perdita di energia totale sono piccole.
A senso pertanto introdurre la perdita media di energia per unità di lunghezza.
Indichiamo con dE/dx la quantità di energia persa per unità di percorso.
La perdita di energia per unita di percorso fu introdotta per la prima volta da Bohr
utilizzando argomenti classici e venne poi estesa utilizzando la meccanica quantistica
da Bethe e Bloch. Noi utilizzeremo quest’ultima.
dE
Z z 2 é æ 2 mec 2 b 2g 2 ö 2 d (g ) ù
2
2
= 4p N A re mec r
ln
ú
÷- b 2 ê ç
dx
A b ë è
I
2
ø
û
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
La dipendenza dal materiale attraversato
compare in A,Z,ρ,I (e indirettamente in
δ)
z,β,γ
A,Z,ρ,I
La dipendenza dalla particella incidente
compare in z ed M (all’interno dei
parametri cinematici β,γ)
Bethe-Bloch
2 é æ
2 2 2ö
d (g ) ù
dE
Z
z
2
m
c
bg
2
2
2
e
= 4p N A re mec r
ln
ú
÷- b 2 ê ç
dx
A b ë è
I
2 û
ø
1)
2)
3)
1)
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
A basse energie domina il termine 1/β2
Minimo di Ionizzazione: 2-3 m0c2
Risalita relativistica
3)
2)
Correzioni alla Bethe-Bloch ad alte e basse energie:
a. Il termine δ rappresenta una correzione alle alte
energie detta effetto densità.
b. Esiste un’altra correzione a basse energie detta
“shell correction”
Curva di Bragg per particelle alfa
Il numero di coppie create
per unità di lunghezza di
percorso è proporzionale alla
frazione dE/dx d’energia
persa dalla particella.
Quest’ultima aumenta man
mano che l’energia della
particella
diminuisce
passando per un massimo
alla fine del percorso.
Molte volte la dE/dx viene graficata
in funzione di βγ anziché in funzione
dell’energia.
Esempio da: Review of Particle Physics
Il minimo di dE/dx lo si ha per β≈0.96
ossia βγ≈3.43(*) bg = b = 0.96 = 3.43
1- b 2
1- 0.96 2
Le particelle con questa energia
vengono dette “particelle al minimo
di ionizzazione” o più semplicemente
MIP (Minimum-Ionizing Particles)
Molte volte la densità ρ del materiale
attraversato viene inglobato nella
dE/dx come mostrato in figura.
In questo caso la perdita di energia
specifica avrà le dimensioni.
é
ù
ê MeV ú
×ú
êg
êë cm 2 úû
(*)
é MeV ù
anziché ê
ë cm úû
Il valore esatto dipende come vedremo più avanti dal materiale attraversato
dE
Z z 2 é æ 2 mec 2 b 2g 2 ö 2 d (g ) ù
2
2
= 4p N A re mec r
ln
ú
÷- b 2 ê ç
dx
A b ë è
I
2 û
ø
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
Il termine I rappresenta l’energia media di eccitazione degli atomi del materiale
attraversato e vale:
0.9
I =16 × Z
eV
Il termine δ è il più difficile da valutare (è dovuto all’appiattimento e all’allargamento del
campo elettrico generato dalla particella ad alte energie).
Questo termine porta la dE/dx a diventare pressoché costante a partire da βγ≈1000
(plateau di Fermi). Noi utilizzeremo elettroni da qualche MeV e pertanto possiamo
trascurare il termine δ.
Stopping-Power and Range Tables for Electrons, Protons,
and Helium Ions
http://www.nist.gov/pml/data/star/
Bethe-Bloch in funzione dell’energia cinetica per
differenti particelle.
La perdita di energia segue una legge di scala ed è una
funzione della velocità β.
Nota la funzione per una data particella, ad esempio
protoni, è nota anche per le altre particelle, a β fissato.
bg =
Infatti essendo:
Si ha:
pparticella a
m particella a
=
p
» 3.43
m
p particella b
m particella b
Þ pparticella b = pparticella a
m particella b
m particella a
Ad esempio:
il valore di –dE/dx è lo stesso per protoni di
momento pp e per pioni di momento pπ=pp mπ/mp
pp = pp
mp
140
= 6.7 GeV / c ×
=1GeV / c
mp
938
pπ= 1 GeV/c
pp= 6.7 GeV/c
Determinazione del minimo di ionizzazione:
dE
Z z 2 é æ 2 mec 2 b 2g 2 ö 2 ù
2
2
= 4p N A re mec r
ln
÷- b ú
2 ê ç
dx
A b ë è
I
ø
û
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
ù
dE
Z z 2 é æ 2 mec 2 ö
2
2
2
= 4p N A re mec r
ln
÷ + 2 ln bg - b ú
2 ê ç
dx
A b ë è I ø
û
a = 4p N A re2 mec 2 r
dE
1
=a 2
dx
b
Z 2
z
A
é
æ b2 ö 2ù
-b ú
êb + ln ç
2÷
è 1- b ø
ë
û
æ 2 mec 2 ö
b = ln ç
÷
è I ø
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
I =16 × Z 0.9 eV
Funzione parametrica in a,b
dipendente da solo β
y = fa,b (b )
Derivando rispetto a b e ugugliando a zero:
æ dE ö
¶ç- ÷
è dx ø
=0
¶b
Otteniamo:
Il valore di β dipende quindi solo da b e non da a ossia
le caratteristiche del materiale attraversato entrano in
gioco solo attraverso il potenziale di ionizzazione I che
dipende da Z
æ 2 mec 2 ö
b = ln ç
÷
I
è
ø
a=f(dE/dx))
æ b 2 ö 2 1- b 2 + b 4
b + ln ç
-b =
2÷
1- b 2
è 1- b ø
Il valore del minimo di –dE/dx dipendo invece
soprattutto da a
a = 4p N A re2 mec 2 r
Z 2
z
A
b=f(β)
Esercizio: Trovare il minimo di ionizzazione per particelle cariche in
alluminio
2 é æ
2 2 2ö
ù
dE
Z
z
2
m
c
bg
2
2
2
e
= 4p N A re mec r
ln
÷- b ú
2 ê ç
dx
A b ë è
I
ø
û
2 é æ
2
dE
Z
z
2
m
c
e
= 4p N A re2 mec 2 r
ln
ê
ç
dx
A b2 ë è I
cm 2
4p N r mec = 0.307 MeV
mole
2
A e
2
ù
ö
2
÷ + 2 ln bg - b ú
ø
û
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
Z = 13
A = 27
g
r = 2.7 3
cm
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
I =16 × Z 0.9 eV =16 ×130.9 eV =160.9 eV
ù
dE
13 1 é æ 2 ×511000eV ö
2
= 0.307× 2.7
ln
÷ + 2 ln bg - b ú
2ê ç
dx
27 b ë è 160.9 eV ø
û
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
dE
1
= 0.4 2
dx
b
é
æ b2 ö 2ù
-b ú
ê8.756 + ln ç
2÷
è 1- b ø
ë
û
Derivando rispetto a β e ponendo
uguale a zero la derivata si ottiene:
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
æ dE ö
¶ç- ÷
è dx ø
= 0 Þ b = 0.954
¶b
( bg = 3.18)
Introducendo il valore di β = 0.954 (o βγ = 3.18) nella –dE/dx otteniamo:
ù
æ 0.9542 ö
æ dE ö
æ MeV ö
1 é
2
8.756 + ln ç
- 0.954 ú = 4.46 ç
ç - ÷ = 0.4
÷
2 ê
2÷
è dx ømin
è cm ø
0.954 ë
è 1- 0.954 ø
û
æ MeV ö
æ 1 dE ö
ç÷ =1.65 ç
2÷
è d dx ømin
è g / cm ø
Altri materiali
ì Z = 14
ï
Silicio í A = 28
ï r = 2.33
î
æ dE ö
æ MeV ö
ç - ÷ = 3.97 ç
÷
è dx ømin
è cm ø
æ MeV ö
æ 1 dE ö
=
1.70
ç
÷
ç
2÷
è d dx ømin
è g / cm ø
ì Z =1
ï
H 2liquido í A = 1
ï r = 0.07
î
æ dE ö
æ MeV ö
b = 0.962 bg = 3.52 ç - ÷ = 0.294 ç
÷
è dx ømin
è cm ø
æ MeV ö
æ 1 dE ö
ç÷ = 4.2 ç
2÷
è d dx ømin
è g / cm ø
ì Z = 82
ï
Piombo í A = 207
ï r = 11.34
î
b = 0.944 bg = 2.86 ç -
b = 0.953 bg = 3.15
æ MeV ö
æ dE ö
æ MeV ö æ 1 dE ö
÷ = 11.86 ç
÷ ç÷ = 1.13 ç
2÷
è dx ømin
è cm ø è d dx ømin
è g / cm ø
Come si può vedere:
• Il valore di βγ non cambia
molto.
• Il valore di dE/dx cambia
notevolmente. Ma solo di un
fattore 4 se si considera la
densità
Range e Straggling
R=
Einiziale
ò
dx =
0
Definiamo percorso della particella la distanza che
questa percorre all’interno del mezzo prima d’aver
perso tutta la propria energia:
I
I0
Einiziale
ò
0
-1
æ dE ö
ç ÷
è dx ø
dE
Ogni particella possiede una
traiettoria propria e tutte le
particelle aventi la stessa energia
iniziale hanno un percorso che le
differenzia statisticamente le une
dalle altre.
Dispersione nel percorso
.
Rm Re
Percorso medio Rm
t
Re
percorso estrapolato
La fluttuazione sul valore medio
del percorso è detto
range
straggling
Il percorso medio Rm è definito come lo spessore del mezzo assorbente necessario a ridurre a metà il
numero di particelle iniziali I0
Esercizio: Quanto spessore di alluminio occorre per portare un
fascio di protoni di momento pari a 3000 MeV a 2990 MeV?
-1
æ 1 dE ö
Dx = - ò ç
÷ dE
3000 r dx
è
ø
2990
bg = 3.18
pp = mpc2 bg = 938.27×3.18 = 2983.70 MeV
Sapendo che il minimo di ionizzazione in Al è
significa che protoni di momento pari a 3000 MeV sono particelle al minimo di
ionizzazione; il suo valore in Al è stato calcolato nell’esercizio precedente e vale 1.65
æ MeV ö
æ 1 dE ö
ç÷ =1.65 ç
2÷
è d dx ømin
è g / cm ø
Supponiamo che nell’intervallo 2990-3000 MeV la perdita di energia specifica sia costante
(possiamo pertanto portare fuori la perdita di energia specifica dall’integrale).
-1
æ 1 dE ö
Dx = ç
÷ DE
è r dx ø
1
g
g
×10
MeV
=
6.06
1.65 cm 2 MeV
cm2
g
2.24 cm
6.06 2
cm = 2.24 cm
Dividendo per la densità dell’alluminio:
p =3000 MeV A p =2990 MeV
g
l
2.7 3
cm
Dx =
p
p
Interazione delle particelle cariche leggere:
(i.e. elettroni e positroni)
• Gli elettroni sono in generale ultrarelativistici: γ = 4 a 2 MeV.
• Nell’urto con gli elettroni atomici non si possono trascurare le deflessioni
• Differenze tra elettroni e positroni (indistinguibilità)
ù
dE
Z z 2 é me c 2 b g g -1
2
2
= 4p N A re me c r
- f (g )ú
êln
2
dx
A b êë
úû
2I
1
2g -1
1 æ g -1 ö
2
f (g ) elettroni = (1- b ) ln 2 + ç
÷
2
2
2g
16 è g ø
æ MeV ö
ç
÷
è cm ø
2
b 2 æç
14
10
4 ö÷
f (g ) positroni = ç 23+
+
+
2
24 è
g +1 (g +1) (g +1)3 ÷ø
I valori di dE/dx ottenuti non si discostano molto da quelli ottenuti per le particelle pesanti
perdita di energia per irraggiamento
Le particelle cariche leggere sono soggette non solo alla
collisione con gli elettroni atomici del mezzo in cui
interagiscono, ma subiscono anche un secondo tipo di
meccanismo di perdita di energia dovuto alla interazione coi
nuclei atomici. Questo secondo tipo di interazione,
importante per energie elevate dell’elettrone incidente, è
detta perdita di energia per irraggiamento
Tale processo è direttamente proporzionale all'energia ed inversamente
proporzionale al quadrato della massa delle particelle.
Ad energie di pochi MeV risulta ininfluente ma al crescere dell'energia esso può
diventare il maggiore responsabile della perdita di energia per elettroni e positroni.
L'energia persa per unità di percorso per elettroni e positroni è dato dalla
somma di due termini, quello di radiazione e quello di collisione:
æ dE ö
æ dE ö
æ dE ö
=ç ÷
+ç ÷
ç ÷
è dx øtotale è dx øradiazione è dx øcollisione
L'energia persa per radiazione dipende fortemente dal materiale su cui
incide l'elettrone (o il positrone) ed è quindi interessante conoscere per
ciascun materiale l'energia critica, Ec alla quale l'energia persa per collisione
eguaglia quella persa per radiazione nel processo di bremsstrahlung. Questo
avviene quando:
æ dE ö
æ dE ö
ç ÷ =ç ÷
è dx ørad è dx øcoll
per E = Ecritica
Formula appross. per eEcritica
700 MeV
»
z +1.2
Esercizio:
Quale è l’energia rilasciata da un fascio di
elettroni relativistici di 4 MeV di energia
cinetica in 200 micron di silicio?
• Cerchiamo il valore della perdita
specifica di energia nelle tabelle (ad
esempio quelle del NIST)
4 MeV
http://physics.nist.gov/cgi-bin/Star/e_table.pl
dSilicio = 2.33
oppure
• Calcolandolo
come
fatto
precedentemente troveremo
un valore di:
æ MeV ö
æ 1 dE ö
=1.699 ç
ç÷
2÷
è d dx øEcinetica (e- )=4MeV
è g / cm ø
-1
æ 1 dE ö
Dx = ç
÷ DE
è r dx ø
Questo valore si riferisce alla
perdita specifica di energia totale
somma
di quella persa per
collisione pari a 1.591 e quella
radiativa (trascurabile) pari a 0.108
æ 1 dE ö
DE = ç
÷ Dx
è r dx ø
MeV
g
MeV
eV
1.699
× 2.33 3 = 3.961
= 396
2
g / cm
cm
cm
mm
DE = 396
g
cm3
eV
× 200 m m ¾¾
® » 80 keV
mm
Inoltre considerando che nel
silicio sono necessari ≈3.6 eV
per generare una coppia
elettrone-lacuna, ne consegue
che al passaggio di una MIP
sono prodotte in media 110
coppie elettrone-lacuna per
µm
Fluttuazioni (straggling)
Equivalente a:
• 1 cm di H20
• 0.44 cm di Silicio
La perdita di energia è un fenomeno statistico.
Per grandi spessori (≥ 1 g/cm2), sotto l’ipotesi che le perdite di
energia siano piccole rispetto all’energia totale, si ottiene una
di larghezza:
s 0 = 4p N r ( mec
2
A e
)
2 2
z2r
Z
x
A
MeV
particelle pesanti
non relativistiche
dove x (cm) è lo spessore di materiale attraversato
CASO RELATIVISTICO. La precedente è valida per particelle pesanti non relativistiche.
Nel caso di particelle relativistiche si ha:
1
1- b 2
2 s2
s =
0
1- b 2
MeV
Particelle
relativistiche
Esempio: Consideriamo 1 cm di alluminio:
s 0 = 4p N r ( mec
)
z2r
s 0 = 0.307× mec 2 z 2 r
Z
x
A
2
A e
2 2
Z
x
A
MeV
MeV
cm 2
g 13
s 0 = 0.307 MeV
× 0.511 MeV × 2.7 3 × ×1 cm = 0.452 MeV
mole
cm 27
Avevamo visto che
Quindi per x=1 cm
A
l
æ dE ö
æ MeV ö
ç - ÷ = 4.46 ç
÷
è dx ømin
è cm ø
DE ± s 0 = 4.46 ± 0.452 MeV = 4.5 ± 0.5 MeV
(dispersione » 10 %) al minimo di ionizzazione
Per piccoli spessori le fluttuazioni dell’energia diventano più importanti
Le fluttuazioni statistiche sono dovute a:
1) Numero di collisioni
2) Energia trasferita per ogni collisione
Si hanno grandi code ad alti trasferimenti di energia; ne consegue una distribuzione asimmetrica in
cui il valore più probabile (picco) < del valore medio
Queste distribuzioni sono dette
.
•
Gli elettroni che ricevono una
grande energia (δ electrons)
possono sfuggire dal rivelatore
•
Energia
rivelata
dell’energia
persa
particella
•
Fluttuazioni rivelate minori
della fluttuazione di energia
persa
minore
dalla
ìï E = 1000 MeV
í
ïî m = 140 MeV
p
b = = 0.9901515
E
p = E 2 - m2 = 990.1515
g=
p 990.1515
=
= 7.0725 = bg
m
140
1
1- b 2
= 7.1428
g=
bg = 7.0725
E
= 7.1428
m