Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria
Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione…
Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2015-16
Richiami di geometria
delle Aree
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PREMESSA
L’analisi dello stato tensionale passa necessariamente
attraverso la valutazione delle caratteristiche
geometriche della sezione analizzata. Per tale motivo,
nel seguito sono brevemente richiamati alcuni concetti
legati alla geometria delle aree, utili per il calcolo delle
tensioni e per il progetto di travi in c.a.p.
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Momento statico e sue proprietà
Definizione
Data la superficie A e detta dA
l’area
di
un
elementino
appartenente all’area stessa, le cui
coordinate rispetto ad un sistema
di riferimento (0 x y) siano x e y, si
definiscono
momenti
statici
dell’area rispetto ai due assi x e y i
seguenti integrali:
y’
y
dA
xg
0
0’
x’
yg
x
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Momento statico e sue proprietà
Baricentro
Si consideri ora un nuovo sistema
di riferimento (0’ x’ y’) la cui
origine 0’ ha coordinate xg e yg. e
gli assi sono paralleli al sistema di
riferimento originario. Il momento
statico rispetto a questi due nuovi
assi può essere così calcolato:
Sxg =
A
y-yg dA
Syg =
A
y’
y
dA
xg
0
0’
x’
yg
x
x-xg dA
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Momento statico e sue proprietà
Baricentro
Gli assi rispetto ai quali il momento
statico risulta nullo sono detti
assi baricentrici e la loro origine è
detto baricentro dell’area A, le
cui coordinate si possono ricavare
dagli integrali precedenti
annullandone il valore:
y’
y
dA
xg
0’
0
x’
yg
x
Coordinate del Baricentro dell’area
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Definizione
Il momento d’inerzia rispetto agli assi x e y della superficie A è così
definito:
Ix =
A
y2dA
Iy =
A
x2dA
mentre il momento polare è definito come l’integrale dell’area per
la distanza rispetto al polo considerato. Nel caso che il polo
coincida con l’origine degli assi, il momento polare si può
esprimere come segue:
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Teorema di Huygens
Si consideri ora un nuovo sistema di assi (0’ x’ y’) e si calcoli il
momento d’inerzia rispetto ai nuovi assi x’ e y’
Ix' =
A
y-yg
2
dA
Iy' =
2
A
x-xg dA
Ricordando la definizione di coordinate del baricentro xg e yg gli
integrali precedenti, dopo brevi passaggi, possono riscriversi nella
maniera seguente:
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Teorema di Huygens
Qualora l’origine del sistema di riferimento originario coincida con
il baricentro della sezione, poiché Sx=Sy=0, le equazioni precedenti
assumono la forma seguente, che rappresenta il risultato del ben
noto teorema di Huygens:
y’
y
Ix' =Ixg +y2g A
Iy' =Iyg +x2g A
dA
xg
0
0’
x’
yg
x
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Assi principali d’inerzia
Ir =
Is =
A
s2 dA=
2
A
r2 dA=
A
A
ycos-xsinα dA= I cos2 α+Iy sin2 α-Ixy sin2α
Ixy =
x
xydA
A
ysenα+xcosα 2 dA= I sin2 α+Iy cos2 α+Ixy sin2α
x
Si consideri ora il sistema (0 x y)
passante per il baricentro dell’area
e si calcolino i momenti d’inerzia
assiali, rispetto ad un nuovo
sistema (0 r s) con origine nel
baricentro ma ruotato rispetto al
primo dell’angolo α.
y’
s
r
y
dA
xg
0
0’
x’
yg
x
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Assi principali d’inerzia
Irs =
rsdA=
A
A
Ix-Iy
ysenα+xcosα ycosα-xsinα dA =
sin2α+Ixy cos2α
2
E’ di particolare interesse ricercare i
così detti assi principali d’inerzia
rispetto ai quali si ha che il
momento d’inerzia misto è nullo.
2Ixy
tan2α=
Iy -Ix
y’
s
r
y
dA
xg
0
0’
x’
yg
x
Assi principali d’inerzia
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Ellisse centrale d’inerzia
Si definisce ellisse centrale d’inerzia di un’area, l’ellisse con centro
nel baricentro dell’area stessa e i cui assi minore e maggiore sono
rispettivamente i raggi giratori d’inerzia massimo e minimo della
sezione. Essa fornisce un’indicazione rapida sul comportamento
flessionale della sezione.
Ellisse centrale
d’inerzia
Y
y
X
Asse neutro
x
Retta antipolare rispetto
all’ellisse centrale d’inerzia
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Ellisse centrale d’inerzia
Nel problema della pressoflessione esiste una relazione di natura
geometrica tra asse neutro e centro di pressione: L’asse neutro è
l’antipolare del centro di pressione rispetto all’ellisse centrale
d’inerzia. Infatti se scriviamo la formula di Navier annullando la
tensione si ottiene l’equazione dell’asse neutro:
(a)
x0
y0
y0
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Ellisse centrale d’inerzia
Nel problema della pressoflessione esiste una relazione di natura
geometrica tra asse neutro e centro di pressione: L’asse neutro è
l’antipolare del centro di pressione rispetto all’ellisse centrale
d’inerzia. Infatti se scriviamo la formula di Navier annullando la
tensione si ottiene l’equazione dell’asse neutro:
(a)
x0
y0
y0
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia
Il nocciolo centrale d’inerzia è il luogo dei centri di pressione tali per cui
l’asse neutro non taglia mai la sezione e quindi la sezione risulta
interamente compressa. Detta An l’area del nocciolo centrale d’inerzia, la
condizione per cui la sezione rimanga interamente compressa si esprime
come segue:
cs
Nel caso di pressoflessione retta si è in genere interessati
ai punti di frontiera del nocciolo per il quale l’asse neutro
è ortogonale all’asse di sollecitazione ed è tangente alla
sezione rispettivamente al lembo inferiore e superiore.
Tali punti sono detti punti di nocciolo inferiore e superiore
ci e cs.
yCs
yCi
ci
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia
Nel caso ad esempio della figura, per individuare la loro posizione basta
far riferimento all’equazione della retta antipolare con la condizione che
essa passi per i punti x=0 e y=yi per individuare cs e y=ys per individuare ci
:
b
b/3
yCs y i
r x2
yCi y s
r x2
b
+1=
h
0s
® yCs
x
h
+ 1 = 0 ® yCi
r x2
Wxi
= -ce
= - yG
yi
Ac
r x2
Wxs
=c =i
ys
A
b0 y
n
cs
x
ycs
ys
yci
yi
ci
y
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
ESEMPIO: Determinare le caratteristiche geometriche (baricentro,
momenti d’inerzia, punti di nocciolo) della sezione indicata in figura :
a
1
a
Baricentro
a
a
y=y'
5a
7a
2
G
a
Punti di nocciolo
x
yci=1.55a
Momenti d’inerzia
ycs=2.06a
Area
A=13 a2
4
3
2a
a
5a
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2a
x'
Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
Riepilogo caratteristiche geometriche delle sezione senza armatura (Gross Section)
BARICENTRO
Yg =
46,6666176
MOMENTO D'INERZIA RISPETTO A X'
Ix'= 10245819,43
MOMENTO D'INERZIA RISPETTO A X
Ix=
ORDINATA FIBRA SUPERIORE
ORDINATA FIBRA INFERIORE
990283,34
ys = 13,3333824
yi = -46,6666176
MODULI DI RESISTENZA A FLESSIONE
Wxs = 74270,97714
Wxi = -21220,3796
ORDINATA PUNTO DI NOCCIOLO SUP
ORDINATA PUNTO DI NOCCIOLO INF
YCs = 4,993030492
YCi = -17,475524
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
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Momento d’Inerzia e sue proprietà
Nocciolo centrale d’inerzia: esempio
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