Lezione X -b
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Dinamica del moto rotatorio
Abbiamo visto che la relazione fondamentale di tutta la dinamica è la II Legge di Newton:
F = ma
Questa formulazione si è rivelata particolarmente utile per il trattamento della dinamica
delle particelle puntiformi e per il moto traslatorio di corpi, ma è chiaro che per il trattamento
del moto rotatorio dei corpi occorre riformulare questa legge usando variabili rotazionali.
Abbiamo già definito l’analogo rotazionale della accelerazione lineare a e cioè l’accelerazione
angolare
α = d ω /dt .
Dobbiamo adesso definire quali variabili rotazionali sono analoghe a F e
m
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Consideriamo una barra disposta sul piano x-y e libera di ruotare attorno all’origine O.
Supporremo che il piano è orizzontale, così che non ci sia forza gravitazionale, e che
y
il piano sia privo di attrito:
O
F1
F1
x
Se applichiamo una forza F1 in un punto come in figura, la barra acquisirà una
certa accelerazione angolare
α1
Se però applichiamo la stessa forza F1 in un punto più distante dall’asse di rotazione,
come in figura, la barra acquisirà una certa accelerazione angolare maggiore
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Questo è un fenomeno che ci è familiare in base alla nostra esperienza quotidiana:
Per aprire una porta facciamo meno fatica se spingiamo in un punto distante dall’asse
di rotazione: è per questo che la maniglia è li e non vicino l’asse !
Se dovessimo aprire una porta applicando la forza ad un punto vicino l’asse, dovremmo
applicare una forza molto elevata, e se applicassimo la stessa forza lontano dall’asse, la
porta acquista maggiore accelerazione angolare !
Evidentemente ciò che conta per imprimere una accelerazione angolare non è solo la
forza
E’ vero che se aumentiamo la forza aumenta l’accelerazione angolare, ma possiamo
aumentare l’accelerazione angolare anche spostando il punto di applicazione della forza
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Se invece applichiamo una forza F2 come in figura, cioè una forza la cui direzione passa
per l’asse di rotazione, non otterremo alcun moto rotatorio (e neanche traslatorio se la
barra è vincolata al suo asse)
y
O
F2
x
Evidentemente, oltre al punto di applicazione, anche la direzione della forza
è rilevante
nel determinare l’accelerazione angolare ?
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Se adesso applichiamo una forza F3 come in figura, e scomponiamo la forza nelle sue
componenti
xey
ci renderemo conto che l’unica componente che conta è quella lungo
y
F3
O
x
Questo fatto conferma che, oltre al punto di applicazione, anche la direzione della forza
è rilevante
nel determinare l’accelerazione angolare
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y
Occorre quindi identificare una grandezza fisica che rappresenti la causa della
accelerazione angolare, e che sia legata alla forza dalle proprietà che abbiamo
appena esaminato.
Questa grandezza sarà il cosiddetto momento della forza.
Ma prima di passare alla definizione del momento della forza, vediamo come
si comporta la massa, e vediamo se non sia necessario definire anche un’altra
grandezza analoga a ciò che è la massa nel caso lineare.
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Supponiamo che la nostra barra sia costituita di due materiali di massa differente,
per esempio legno e ferro, e applichiamo la nostra forza F come in figura.
y
O
x
F
Otterremo una certa accelerazione angolare a
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Se però capovolgiamo la barra e applichiamo la stessa forza
F
nel punto come in figura:
y
O
x
F
Otterremo una certa accelerazione angolare a maggiore !
E questo sebbene la massa della barra non sia cambiata!
E sebbene non sia cambiata la forza, né la sua distanza dall’asse di rotazione !!
Ciò che è cambiato è la distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione
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Quindi: La grandezza analoga, nel moto rotazionale, alla massa nel caso traslatorio,
non è la massa ma una grandezza che potrebbe essere chiamata inerzia rotazionale e
che dipende in qualche modo dalla distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione
Cominciamo quindi a sviluppare in modo più rigoroso questi due concetti:
Momento di una forza
Inerzia rotazionale in funzione della distribuzione della massa
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Momento di una forza
Definizione: Se una forza
F agisce su un punto P la cui posizione rispetto al riferimento
O è individuata da un vettore r,
il momento della forza rispetto a O è un vettore
definito dalla:
τ=rx F
dove il simbolo
x rappresenta il prodotto vettoriale fra r
e
F
Il modulo di τ è dato dalla relazione:
τ = r F sin θ
dove
θ
è l’angolo fra r e
F
La direzione è ortogonale al piano individuato da
la regola della mano destra
r e F, e il verso segue
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12
Avevamo accennato durante le prime lezioni all’esistenza del cosiddetto
prodotto vettoriale fra due vettori, ma ci eravamo riservati di definirlo non
appena avessimo trovato una applicazione fisica che lo rendesse comprensibile.
Eccola !
Le dimensioni del momento della forza sono quelle di forza x distanza
E cioè [ M L T−2 L ]  [ M L2 T−2 ]
L’unità di misura il nt-metro
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Energia di rotazione e momento di inerzia
Non c’è dubbio che ciascuna particella di cui si compone un corpo rigido in rotazione
possiede un certa energia cinetica:
Una particella di massa m di un corpo rigido situata ad una distanza r dall’asse di
rotazione del corpo rigido in questione avrà una velocità
v = ω r , dove ω è la velocità angolare del corpo rigido.
ω
r
Pertanto l’energia cinetica di questa particella sarà:
½ m v2 = ½ m ω2r2
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Se, come stiamo supponendo, il corpo è rigido allora la velocità angolare ω è la stessa
per tutte le particelle di cui si compone, e l’energia cinetica totale
K
sarà la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle :
K = ½ m1 ω2 r21 + ½ m2 ω2 r22 + ………….. ½ mN ω2 r2N
+ m2 r22 + ………….. mN r2N ) ω2
K = ½ ( m1 r21
K= ½
∑(m r
Il termine
∑(m r
i
i
2
2
i
i
) ω2
) che indichiamo col simbolo I è denominato Momento di Inerzia
del corpo rigido rispetto a quel particolare asse di rotazione
I =
∑(m r
i
2
i
)
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Va sottolineato che il Momento di Inerzia di un corpo rigido dipende quindi dall’asse,
oltre che dalla forma del corpo e dalla distribuzione delle masse.
Il Momento di Inerzia
I ha dimensioni:
[ M L2 ]
e si misura in:
kg m2
Introducendo il Momento di Inerzia, l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione
Krot
è espressa pertanto dalla:
Krot = ½ I ω2
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Una interessante analogia:
Moto traslatorio
Moto rotatorio
Energia cinetica
½ m v2
½ I ω2
velocità
v
ω
massa
m
I
Cosi come ω è nel moto rotatorio l’equivalente della velocità v nel moto traslatorio,
I è nel moto rotatorio l’equivalente della massa m nel moto traslatorio.
Occorre però ricordare che mentre m non dipende dalla posizione del corpo, I dipende
dal particolare asse attorno a cui avviene la rotazione
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Nota bene:
Questa non è una nuova forma di energia, ma è semplicemente la somma delle
energie cinetiche di tutte le particelle di cui si compone il corpo,
scritta semplicemente in una formulazione conveniente
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Nel caso in cui il corpo rigido non è costituito da un insieme finito di particelle distinte,
ma è costituito da una distribuzione continua di materia, l’operazione di somma che
compare nella formula:
I =
∑(m r
i
2
i
)
diventerà una integrazione: considereremo il corpo costituito da masse infinitesime
dm e considereremo la distanza r
fra tali masse e l’asse di rotazione:
I =
∫
r2dm
dove l’integrale è esteso sull’intero corpo
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Nel caso di corpi di forma complicata, il
calcolo di questo integrale può essere
difficile, ma nel caso di corpi con una
geometria regolare e l’asse di rotazione
coincidente con l’asse di simmetria, il
calcolo è abbastanza semplice. Ecco di
seguito alcuni esempi:
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Per la dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido si definiranno pertanto una
serie di grandezze perfettamente analoghe a quelle del moto rettilineo di una particella :
Moto rettilineo di una particella
Moto rotatorio di un corpo rigido
Spostamento
x
Spostamento angolare
θ
Velocita
v = dx/dt
Velocità angolare
ω = dθ/dt
Accelerazione
a = dv /dt
Accelerazione angolare
α = dω/dt
Massa
m
Momento di inerzia
I
Forza
F = ma
Momento della forza
τ=Iα
Lavoro
∫ F dx
Lavoro
∫ τ dθ
Energia cinetica
½ m v2
Energia cinetica
½ I ω2
Quantità di moto
mv
Momento angolare
Iω
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Momento angolare di una particella
Nella dinamica del moto rotatorio, il concetto di momento angolare (o momento
della quantità di moto) ha un ruolo simile a quello che ha la quantità di moto nella
dinamica del moto traslatorio. Vedremo che la definizione e l’applicazione di questo
concetto ci permetterà di ricavare un’altra importante Legge di conservazione.
Consideriamo una particella di massa m e quantità di moto p situata ad una distanza
r dall’origine O di un sistema di assi x-y-z.
Il momento angolare della particella
rispetto al punto O è definito dalla:
L = rxp
Cioè: il prodotto vettoriale di r per
p
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L
y
p
r
x
z
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In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, il modulo di L è dato da:
L = r p sin θ
La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori r e p
Il verso è stabilito dalla consueta regola della mano destra.
Dalla definizione, che è del tutto analoga al momento di una forza, si vede che il
momento angolare
L è il momento della quantità di moto.
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Adesso passeremo a dimostrare una importante relazione fra questi due momenti,
cioè il momento di una forza e il momento della quantità di moto.
Partiamo dalla II Legge di Newton, scritta nella sua forma più generale:
𝑑(𝑚𝒗)
F=
𝑑𝑡
e consideriamo il prodotto vettoriale di
r per entrambi i membri e cioè:
𝑑(𝑚𝒗)
rxF =rx
𝑑𝑡
che in base alla definizione di momento di una forza diventa:
𝑑(𝑚𝒗)
τ =rx
𝑑𝑡
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Conserviamo per un attimo questa relazione
definizione del momento angolare:
𝑑(𝑚𝒗)
τ =rx
𝑑𝑡
L = rxp
e torniamo alla
e deriviamo questa equazione rispetto al
tempo
𝑑𝐋
𝑑𝑡
=
𝑑
(r x p )
𝑑𝑡
La derivata di un prodotto vettoriale si esegue esattamente con le stesse regole di un
prodotto normale, fatto salvo il fatto che occorre fare attenzione a non invertire l’ordine dei
fattori.
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Quindi si ha:
𝑑𝐋
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝒓
𝑑𝒑
(r x p ) = (
x p ) + (rx
)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Notiamo che dr/dt altro non è che la velocità istantanea v della particella in questione.
Quindi potremo scrivere:
𝑑𝐋
𝑑
= (v x mv ) + ( r x
mv )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
ma poiché il prodotto vettoriale di due vettori paralleli risulta nullo, v
x mv = 0
Si ha quindi:
𝑑𝐋
𝑑
= (rx
mv )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
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Confrontando questa equazione
𝑑𝐋
𝑑
= (rx
mv )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
con quella che avevamo scritto per il momento della forza
𝑑
τ = (rx
mv )
𝑑𝑡
risulta:
𝑑𝐋
τ =
𝑑𝑡
Cioè: la derivata rispetto al tempo del momento angolare (o momento della quantità di
moto) di una particella è uguale al momento delle forze applicate alla particella stessa.
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Questa equazione:
𝑑𝐋
τ =
𝑑𝑡
è analoga alla equazione che avevamo scritto per il moto traslatorio:
𝑑𝐩
F=
𝑑𝑡
che stabiliva che la derivata rispetto al tempo della quantità di moto di una particella
è uguale alla forza che agisce su di essa, e che implicava che:
dp = F dt  Δp =
∫
F(t) dt
(relazione impulso – variazione quantità di moto)
Ci aspettiamo pertanto che risulti anche che:
dL = τ dt  ΔL =
∫
τ(t) dt
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Momento angolare di un sistema di particelle
Il caso trattato riguarda una particella. Nel caso di un sistema di più particelle,
dovremo tenere in conto la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ogni particella
rispetto allo stesso punto di riferimento O .
A variare del tempo, a secondo delle forze (o meglio dei loro momenti) agenti sul sistema,
potrà essere osservata una variazione
dL/dt.
In linea di principio, questa variazione
potrebbe essere imputabile a due cause:
a) Vi sono momenti di forze interne al sistema di particelle
b) Vi sono momenti di forze esterne al sistema di particelle
Tuttavia, in base alla III legge di Newton, le forze fra coppie di particelle, non solo sono
eguali e contrarie, ma sono dirette lungo la linea che unisce le particelle e pertanto il
momento risultante è nullo.
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Possiamo pertanto affermare che:
τest
𝑑𝐋
=
𝑑𝑡
E cioè: la rapidità con cui varia il momento angolare rispetto ad un dato punto è
uguale alla somma dei momenti delle forze esterne che agiscono sul sistema.
Poiché un corpo rigido è un particolare caso di un sistema di particelle (nel caso
specifico le distanze relative delle particelle sono fisse), la relazione dovrà valere
anche per il caso di un corpo rigido.
Avevamo già visto che in un corpo rigido risulta:
τest = I α
dove τ è il momento risultante delle forze esterne, I è il momento di inerzia del
corpo e α è la sua accelerazione angolare.
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Confrontando la
τest
con la
𝑑𝐋
=
𝑑𝑡
τest = I α
risulta:
𝑑𝐋
=Iα
𝑑𝑡
𝑑𝐋
𝑑𝝎
=I
𝑑𝑡
𝑑𝑡
nel caso in cui I
= costante questa può essere scritta:
𝑑𝐋
𝑑
=
Iω
𝑑𝑡 𝑑𝑡
e cioè:
L=Iω
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E cioè: il momento angolare di un corpo rigido è il prodotto del suo momento di inerzia
per la sua velocità angolare.
Si noti l’analogia della formula:
L= Iω
con la formula relativa al moto traslatorio:
p=mv
Risulta quindi
𝑑
τ=
Iω
𝑑𝑡
Se I = costante risulta
τ= Iα
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Quindi, come in dinamica traslatoria si ha
F=ma
In dinamica rotatoria si ha
τ= Iα
E così come la F
=ma
poteva essere formulata nel caso più generale caso di
una massa variabile con la formula:
𝑑
𝑑
F=
(m v) =
p
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Per il momento angolare avremo in generale:
𝑑
𝑑
τ=
(Iω) =
L
𝑑𝑡
𝑑𝑡
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Conservazione del momento angolare
Dalla relazione precedente risulta che se :
τest
𝑑
=0 
L=0
𝑑𝑡
Cioè: quando il momento risultate delle forze applicate ad un sistema è nullo, il
momento angolare è costante.
Cioè: il momento angolare di un sistema isolato è costante
QUINDI: in un sistema isolato
I ω = costante
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Se durante il moto rotatorio cambia la distribuzione delle masse (e quindi cambia I)
cambierà di conseguenza
ω, un fenomeno largamente usato da atleti
e ballerini !!!
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