La formula dei trapezi nasce come formula per il calcolo
approssimato di aree, ed è pertanto utile anche per il calcolo
dell'integrale definito di una funzione in un intervallo.
In alcuni casi risulta difficile, a volte impossibile, trovare il valore esatto di
un’area o comunque di un integrale definito.
Ad esempio, con i mezzi a nostra disposizione non riusciamo a determinare
2
l’integrale di 𝑒 −𝑥 o della distribuzione normale.
E’ però possibile trovare il suo valore approssimato integrando una funzione che
approssima quella data e di cui si sa calcolare una primitiva.
•Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali.
•Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati.
•Integreremo tale funzione nel proprio intervallo
•Sommeremo le aree così trovate
La somma ottenuta rappresenterà un valore approssimato dell’area cercata.
•Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali.
•Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati.
•Integreremo tale funzione nel proprio intervallo
•Sommeremo le aree così trovate
Nel nostro caso useremo come approssimazione un polinomio di primo grado,
che in ciascun intervallo ha per grafico una retta e che darà luogo ad una spezzata.
•Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali.
•Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati.
•Integreremo tale funzione nel proprio intervallo
•Sommeremo le aree così trovate
Prendiamo i intervalli di egual dimensione.
i=3
•Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali.
•Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati.
•Integreremo tale funzione nel proprio intervallo
•Sommeremo le aree così trovate
Prendiamo quindi come funzione approssimante in ogni intervallo [Xi, Xi+1],
la retta che passa per i suoi punti estremi, cioè i punti:
(Xi, f(Xi)) e (Xi+1, f(Xi+1))
•Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali.
•Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati.
•Integreremo tale funzione nel proprio intervallo
•Sommeremo le aree così trovate
Prendiamo quindi come funzione approssimante in ogni intervallo [Xi, Xi+1],
la retta che passa per i suoi punti estremi, cioè i punti:
(Xi, f(Xi)) e (Xi+1, f(Xi+1))
L’approssimazione:
•Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali.
•Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati.
•Integreremo tale funzione nel proprio intervallo
•Sommeremo le aree così trovate
Si osserva che si vengono a formare dei trapezi, la cui area coincide con il valore
del integrale definito della funzione approssimante in un dato intervallo
•Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali.
•Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati.
•Integreremo tale funzione nel proprio intervallo
•Sommeremo le aree così trovate
Questo equivale a considerare come valore approssimato dell’integrale S la
somma delle aree dei trapezi così individuati.
•Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali.
•Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati.
•Integreremo tale funzione nel proprio intervallo
•Sommeremo le aree così trovate
La misura delle basi dell’i-esimo trapezio sono i valori
f(Xi+1) e f(Xi), la misura dell’altezza è il passo h.
B
A(Xi, f(Xi))
B(Xi+1, f(Xi+1))
A
f(Xi+1)
f(Xi)
Xi
Xi+1
h
𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑖𝑛 + 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑔 ∗ 𝐴𝑙𝑡
𝐴=
2
ℎ ∙ [𝑓 𝑥𝑖+1 + 𝑓(𝑥𝑖 )]
𝐴=
2
•Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali.
•Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati.
•Integreremo tale funzione nel proprio intervallo
•Sommeremo le aree così trovate
Un valore approssimato dell’area sarà dato da:
𝑛−1
𝐼=
𝑖=0
ℎ ∙ [𝑓 𝑥𝑖+1 + 𝑓(𝑥𝑖 )]
2
Cioè:
ℎ
𝐼= ∙
2
𝑛−1
[𝑓 𝑥𝑖+1 + 𝑓(𝑥𝑖 )]
𝑖=0
•Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali.
•Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati.
•Integreremo tale funzione nel proprio intervallo
•Sommeremo le aree così trovate
Se si sviluppa la formula:
𝐼=
ℎ
∙ [𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 ) + 𝑓(𝑥𝑛−1 )]
2
Raccogliendo:
ℎ
𝐼 = ∙ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥𝑛 + 2𝑓 𝑥1 + 2𝑓(𝑥2 + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1 )]
2
Ed infine:
𝐼=ℎ ∙
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥𝑛
+ 𝑓 𝑥1 + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )
2
Vedi progetto GeoGebra allegato
public double f(double x)
La funzione
{
double y=0;
y=Math.pow(x,2);
In questo caso: 𝑦 = 𝑥 2
return y;
}
public double trapArea(double b1, double b2, double h)
{
Calcolo area trapezio
return (b1+b2)*h/2;
}
public double trapRule(double x0, double x1, int div)
{
double area = 0;
double h = (x1 - x0) / div;
Calcolo altezza trapezi
for (int i=0; i<div-1; i++)
{
area += trapArea(f(x0), f(x0+h), h);
Sommatoria aree trapezi
x0 += h;
}
area += trapArea(f(x0), f(x1), x1-x0);
return area;
}
Main:
System.out.println(trapRule(1,2,5));
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