Università degli studi di Genova
Facoltà di scienze matematiche, fisiche e naturali
METODI DI INTERPOLAZIONE ED ESTRAPOLAZIONE PER
IMAGING A RAGGI X NELL’AMBITO DELLA MISSIONE
NASA RHESSI
Candidato: Silvia Allavena
Relatori: Prof. Michele Piana
Prof. Anna Maria Massone
Flares solari
 I flares o brillamenti sono
delle forti ed improvvise
esplosioni che avvengono
sulla superficie del Sole e
coinvolgono enormi quantità
di energie: ( 10 30  10 32erg).
 Alla base dei flares c’è
un’accelerazione di particelle,
la cui causa è al momento
sconosciuta.
RHESSI
(Reuven Ramaty High Energy Solar Spectroscopic Imager)
Obiettivo scientifico della missione: studio dell’accelerazione di
elettroni nei flares solari attraverso le radiazioni di raggi X e raggi
gamma emesse durante lo sviluppo dei brillamenti.
RHESSI fornisce spettri nella banda dei raggi X e dei raggi gamma ad
alta risoluzione di energia .
Struttura di RHESSI
 9 coppie di Collimatori rotanti, ognuno è fornito di un set di griglie:
 le griglie sono formate da barre di metallo , gli slats, separate da
aperture, gli slits;
 la somma delle larghezze di uno slat ed uno slit è diversa in ogni set
di griglie.
 9 rivelatori al germanio
Modulazione del
flusso luminoso
 Rotazione completa del
satellite intorno al proprio
asse: durata 4 s.
 Mentre lo spacecraft
ruota vengono ricevute
le informazioni necessarie
per l’imaging come rapide
variazioni del flusso
luminoso recepito.
Visibilities
Effetto combinato di:
 9 diversi set di griglie
 9 collimatori
 Rotazione del satellite intorno al proprio asse.
Le
Lemisure
misurefornite
forniteda
daRHESSI,
RHESSI,attraverso
attraversoun
un
complicato
complicatoprocesso
processodidi“data
“datastacking”,
stacking”,sono
sono
numeri
numericomplessi
complessicorrispondenti
corrispondentialla
allatrasformata
trasformatadidi
Fourier
Fourierspaziale
spazialedel
delflusso
flussodidiradiazione,
radiazione,dette
dette
visibilities.
visibilities.
Scopo della mia tesi
Lo scopo della mia tesi è quello di formulare ed
implementare metodi per la ricostruzione di
immagini relative a flares solari a partire da
dati nello spazio delle frequenze, le visibilities.
Gli strumenti computazionali utilizzati sono:
 interpolazione;
 trasformata di Fourier inversa;
 estrapolazione.
Campionamento dei dati
Ad ogni punto corrisponde una visibility.
Ad ogni collimatore corrisponde un
campionamento su una circonferenza.
Pochi dati e sparsi dello spazio delle frequenze.
INTERPOLAZIONE
Tecniche di interpolazione
Interpolazione polinomiale lineare.
Interpolazione polinomiale con polinomi di
quinto grado, conosciuti come polinomi di
Akima.
Interpolazione con funzioni spline:
Thin Plate Spline, generalizzazione in due
variabili delle spline cubiche.
Interpolazione e IFT
Metodo rapido di imaging:
• Interpolazione cartesiana sul piano delle
frequenze delle visibilities .
• Trasformata di Fourier inversa applicata ai dati
interpolati, calcolata utilizzando un algoritmo
basato sulla FFT.
Interpolazioni
Dati
Interpolazione spline
Interpolazioni
Polinomiale lineare
Polinomi di quinto grado
Ricostruzione della mappa utilizzando la FFT
Mappa originale
Mappa ricostruita
Effetti indesiderati
Il metodo di imaging interpolazione + IFT ha mostrato
due svantaggi:
1. Effetti di ringing: le ricostruzioni presentano
oscillazioni indesiderate.
2. Banda limitata: abbiamo
dati relativi alla trasformata
di Fourier del flusso
luminoso soltanto
all’interno di un disco.
Inversione della trasformata di Fourier
da dati limitati
Determinare la funzione f (x) a supporto limitato D data l’equazione
gˆ ( )   B ( ) fˆ ( )
che applicando il teorema di convoluzione diventa
g ( x)  ( H B  f )( x)   H B ( x  y) f ( y)dy  ( Af )( x)
D
 H B trasformata di Fourier inversa della funzione caratteristica
sul disco B;
 A : L2 ( D)  L2 ( R 2 )
operatore integrale di Hilbert-Schmidt
compatto
Af  g mal posto
Metodo di Landweber
Utilizziamo questo metodo poiché:
è un metodo regolarizzante che permette di
risolvere problemi mal posti;
esiste una sua variante che permette di risolvere il
problema di estrapolazione fuori banda.
E’ un metodo iterativo il cui passo è il seguente
f n 1  f n   (A g  A A f n )
dove : - A è l’operatore aggiunto di A
-  è detto parametro di rilassamento
Metodo di Landweber proiettato
Permette di esprimere informazioni a priori sulla
soluzione cercata tramite dei vincoli che si traducono in
una proiezione della soluzione su un sottospazio chiuso
e convesso C:
PC f  f C
Il passo iterativo in questo caso è

f nC1  P C f nC   ( A g  A A f nC )

Proiezioni utilizzate
 Proiezione sui positivi: la soluzione che stiamo cercando
rappresenta un flusso luminoso, perciò sappiamo che deve
essere positiva.
Tale proiezione si applica nel modo seguente:
 f ( x) se f ( x)  0
( P f )( x )  
se f ( x)  0
0

 Proiezione sul sottospazio delle funzioni a supporto limitato: tale
metodo, conosciuto come metodo di Gerchberg-Papoulis, ha la
proprietà di estrapolazione fuori banda. Essa si esprime come
proiezione su uno spazio limitato D:
 f ( x) se x  D
( PD f )( x)  
se x  D
0
 Entrambe le proiezioni.
Dati simulati
Mappa originale
Landweber senza vincoli
Dati simulati
Mappa originale
Landweber con vincolo di positività
Costruzione del supporto a partire dalla
mappa originale
Dati simulati
Mappa originale
Landweber con vincolo sul supporto
Dati simulati
Mappa originale
Landweber con entrambi i vincoli
Taglio lungo la congiungente dei centri dei foots della
mappa simulata
Taglio Landweber
Taglio Landweber con positività
Taglio Landweber con supporto
Taglio Landweber con pos. e supp.
Taglio della
trasformata di
Fourier originale
sovrapposto alla
trasformate delle
ricostruzioni
Landweber
Landweber
con supporto
Caso reale: flare 23 Agosto 2005
Dati
Interpolazione
Caso reale: flare 23 Agosto 2005
Trasformata di Fourier
inversa
Landweber con
positività
CONCLUSIONI
 Interpolazione/estrapolazione: metodo
rapido ed affidabile.
 Il vincolo di positività permette l’eliminazione
degli effetti di ringing.
 I vincoli di positività e di supporto
permettono un (moderato) effetto di
estrapolazione fuori-banda.
PROBLEMI APERTI
Validazione sistematica su dati sintetici e
misure reali fornite da RHESSI.
Confronto con altri metodi di ricostruzione di
immagini (MEM, CLEAN...).
Utilizzo di altre tecniche di interpolazione.
Applicazione di tecniche che utilizzino
conoscenze a priori sulle proprietà statistiche
del rumore sul dato.
In ogni secolo gli esseri umani hanno pensato
di aver capito definitivamente l'Universo e, in
ogni secolo, si è capito che avevano sbagliato.
Da ciò segue che l'unica cosa certa che
possiamo dire oggi sulle nostre attuali
conoscenze è che sono sbagliate.
Isaac Asimov
(da Grande come l'universo,
Saggi sulla scienza)
GRAZIE PER L’ATTENZIONE