MUSICA PITAGORICA
RELAZIONE TRA LUNGHEZZE DELLE CORDE E
SUONI
• Gli studi della scuola pitagorica sulla musica presero avvio a partire dai
suoni prodotti dall’unica corda di uno strumento monocorde, la quale
lunghezza veniva modificata in maniera non troppo diversa da come lo
facciamo oggi. Essi scoprirono che dalla lunghezza della corda dipendeva il
tono di una nota musicale; tanto più corta era la corda, tanto più alta o
acuta era la nota prodotta. Tali esperimenti permisero ai pitagorici di
mettere in relazione degli «INTERVALLI» con dei semplici rapporti
numerici, ad esempio divisero la corda a metà, la ridussero a un terzo, due
terzi e così via. Da questa relazione emerse un dato sorprendente: i suoni
emessi da corde con lunghezze corrispondenti a rapporti numerici piccoli
producevano suoni più gradevoli.
I RAPPORTI
• Il rapporto numerico più semplice si ottiene premendo la corda a metà della sua lunghezza e
numericamente corrisponde a 1:2 mentre in musica corrisponde all’intervallo di ottava (per esempio, la
distanza fra un do e il do successivo, tra re e re e così via). Un altro rapporto semplice è quello che si ottiene
premendo la corda in un punto corrispondente ad un terzo della lunghezza totale della corda e
numericamente si esprime con 2:3 che musicalmente corrisponde a un intervallo di quinta (distanza tra dosol). Continuando, abbiamo il rapporto che si ottiene quando si preme la corda ad un quarto della sua
lunghezza totale, che numericamente corrisponde al rapporto 3:4, mentre nell’ambito musicale all’intervallo
di quarta (distanza do-fa). Così emerge uno schema di base secondo il quale gli intervalli dei suoni espressi
dalla forma:
• (n+1)/n
• sono armonici e gradevoli
INTERVALLI IN SENSO MUSICALE
• Come abbiamo appena visto, ogni nota ha una frequenza che la identifica e
la separa dalle altre. Nonostante ciò, i pitagorici non le studiarono
separatamente, ma in base ai rapporti intercorrenti fra loro. Date due note
qualsiasi, esse sono separate da un <<intervallo>>, concetto che può essere
affrontato sotto due punti di vista. Il primo è pensare agli intervalli come
alla distanza musicale che intercorre tra due note. Ad ogni intervallo, viene
dato un nome in base alla quantità di note attraverso le quali bisogna
passare per giungere da una all’altra. Così per esempio per passare da do a
fa bisogna passare per quattro note: do-re-mi-fa. Per questo all’intervallo
do-fa viene dato il nome di intervallo di quarta. L’intervallo di ottava segue
lo stesso criterio di quello di quarta; per giungere da un do all’altro bisogna
passare per otto note: do-re-mi-fa-sol-la-si-do. Gli intervalli citati finora
sono tutti ascendenti; esistono anche intervalli discendenti, che si
ottengono a partire dalla nota più acuta contando in senso inverso
INTERVALLI NUMERICI
• L’altro modo di pensare agli intervalli è quello numerico, tramite il
confronto proporzionale della frequenza delle note. Due note
mantengono fra loro un accordo relativo, in modo che la cosa
importante non sia la frequenza assoluta delle note, ma la
proporzione numerica fra le frequenze di due note diverse. Ciò
permette di confrontare due note secondo l’intervallo che le separa
come il rapporto numerico tra le sue frequenze. Ciò significa che se
fra i due suoni vi è un intervallo di una quinta, la più acuta avrà una
frequenza uguale a 3/2 della frequenza più grave. Il rapporto tra la
lunghezza delle corde è esattamente il contrario di quello tra le
frequenze
SCALA PITAGORICA
• I pitagorici organizzarono le scale musicali basandosi su semplici rapporti
numerici fra i vari suoni. La scala pitagorica è quindi basata su tre intervalli
fondamentali: ottava (2/1); quarta (4/3); quinta (3/2).
• I pitagorici ottennero i diversi suoni della loro scala concatenando le quinte,
ricorrendo quindi al metodo di eliminazione delle ottave, ovvero ogni volta
che il risultato è maggiore di 2 allora lo si divide per 2; se il risultato è
minore di 1 allora lo si moltiplica per 2.
• Facendo i calcoli, si procede in modo che il valore delle loro frequenze
relative si trovi sempre tra 1 e 2. Per prima cosa, posto il do come nota di
riferimento e alla quale diamo il valore di 1, occorre stabilire che il sol si
trova ad una quinta dal do
• Sol=do*3/2Sol=1*3/2Sol=3/2
• Troviamo subito dopo il re, a una quinta dal sol, dopo aver eliminato
un’ottava:
• Re=sol*3/2*1/2re=3/2*3/2*1/2re=9/8
• La distanza tra re e do viene chiamata tono ed è equivalente a due
semitoni. Troviamo ora il la, ad una quinta dal re:
• La=re*3/2la=9/8*3/2la=27/16
Il mi, ad una quinta dal la, dopo aver eliminato
un’ottava:
Mi=la*3/2*1/2mi=27/16*3/2*1/2mi=81/64
La scala è completata dal si, ad una quinta dal mi, e
dal fa , una quinta sotto il do, salendo di un’ottava
si=mi*3/2si=81/64*3/2si=243/128
Fa=do*2/3*2fa=4/3
• Riassumendo e prendendo il do con valore normalizzato a 1:
NOTA
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do2
Rapporto
frequenze
1
9/8
81/64
4/3
3/2
27/16
243/128
2
ZARLINO
• Il veneziano Zarlino propose, nel 1558 di includere i rapporti 5/4
(terza maggiore) e 6/5 (terza minore) agli intervalli fondamentali nella
scala pitagorica. Proponeva quindi di usare anche i numeri 5 e 6,
improponibile per i pitagorici che si fermavano al 4.
• La soluzione di Zarlino consisteva in un temperamento della scala,
ossia un tentativo di semplificare alcuni rapporti apparentemente
complicati che apparivano nella scala pitagorica
LA SCALA NATURALE
• La scala che proponeva Zarlino, partendo dal do,
rispettava gli intervalli di quinta per calcolare quelle
che erano considerate le due note successive più
importanti della scala: fa e sol.
• Successivamente calcola mi , si e la come terze
pure di do , fa e sol rispettivamente. La scala è
completata da un re accordato come quinta
perfetta di sol.
Fa
<--
Do

Sol
|
|
|
La
Mi
Si

Re
I CALCOLI
• In questo modo si ottenevano intervalli più «puri» e acusticamente più gradevoli.
Ma come venivano calcolati? In maniera del tutto simile a quella della scala
pitagorica, eccetto per l’uso delle terze maggiori.
• Si parte calcolando il sol a una quinta pura dal do:
• Sol=do*3/2sol=3/2
• Poi calcolando il fa, in modo analogo a quello di prima:
• Fa=do*2/3*2fa=4/3
• Si trova il la come terza di fa:
• La=fa*5/4la=4/3*5/4la=5/3
• Si procede trovando il si come terza di sol:
• Si=sol*5/4si=3/2*5/4si=15/8
• Il re viene invece calcolato come quinta pura di sol, annullando un’ottava:
• Re=sol*3/2*1/2re=(3/2)2*1/2re=9/8
NOTA
Rapporto fra
frequenze
Do
1
Re
9/8
Mi
5/4
Fa
4/3
Sol
3/2
La
5/3
Si
15/8
Do2
2