Renè Descartes (1596-1650)
Geometrie (1637)
L’obiettivo di Cartesio era
quello di trovare un
linguaggio matematico
per descrivere il mondo
fisico
Perché Cartesio
matematizza la visione
del mondo?
L’aritmetica e l’algebra
possono essere applicate
anche alla geometria
Nelle “Geometrie (1637)”
Cartesio affermava che
tutti i problemi della
geometria si possono
ricondurre ad
un’espressione
Tentava di ricostruire la
matematica su premesse
algebriche e non
geometriche
“Dovendosi ora risolvere un
qualunque problema si introducono
delle denominazioni per tutte le
linee che appaiono necessarie alla
costruzione. Successivamente dalla
reciproca dipendenza di queste linee
si ha un’equazione. Occorre trovare
tante equazioni quante sono le linee
incognite”
Data una ellisse, la sua conica focale è una iperbole (e viceversa)
giacente in un piano perpendicolare a quello della conica data, e
avente vertici e fuochi rispettivamente coincidenti con i fuochi e i
vertici di questa.
Sull’argomento delle coniche focali è incentrato un teorema di
Apollonio, che, nel libro I della sua opera, afferma: il luogo
geometrico dei vertici dei coni rotondi che hanno una medesima
ellisse come sezione, è l’iperbole focale dell’ellisse.
Inoltre, se su uno dei rami o su rami diversi dell’iperbole focale
si prendono due punti fissi e distinti A e B, e sulla ellisse un
punto variabile P, è facilmente dimostrabile come le distanze
PA e PB abbiano sempre differenza o somma costante.
Problema delle
costruzioni indeterminate
I luoghi geometrici
Date tre rette in un piano trovare la posizione di tutti i punti da
cui si possono tracciare rette che intersecano le rette date n
modo tale che il rettangolo contenuto da due delle due rette
costruite abbia un rapporto dato con il quadrato della terza
retta costruita. Se le rette fissate sono quattro allora il
rettangolo contenuto da due delle due rette costruite ha un
rapporto dato con il rettangolo costruito dalle altre due.
SE LE RETTE SONO TRE O QUATTRO IL
LUOGO GEOMETRICO GENERATO E`
UNA SEZIONE DI CONO
CR
.
CQ = k CP2
Fissate tre rette due
parallele L1 ,L2 ed una
perpendicolare L3
Il luogo geometrico è
determinato da tutti i
punti P
d1d2 = ad3
EQUAZIONE CARTESIANA
ay = x2 – 2ax
Dati:
H appartiene a L2
K appartiene a L1 (x=2a)
M appartiene a y=o
L2=y; L3=x ; L1:x=4
PH=d1;PK=d2 PM=d3
Dimostrazione:
d1=d(P;H)=IxI
d2=d(P;K)=Ix-4I
d3=d(P;M)=IyI
d1*d2=2d3
IxI*Ix-4I=2IyI
Richiesta:
d1d2=ad3
a) y=1\2x*x-2x
b) y=-1\2x*x+2x
Dato un piano cartesiano x;y si fissino tre rette chiamate L1, L2 e L3 in modo
che:
L1 : y=0;
L2 // L1;
L3 : X=0.
Il luogo geometrico e’
determinato da tutti i
punti P che verificano:
d1 * d3=a * d2

DIMOSTRAZIONE
d1 =
d2 =
d3 =
_____
d P L1 = x di P
_____
d P L2 = x di L2 – x di P
_____
d P L3 = y di P
-----------------------------------------------------------------
d1 * d3 = a * d2
| x | * | y | = a * | 2a-x |
x * y = a * (2a – x)
Da questa equazione si ottiene la funzione omografica di un’ iperbole con
asintoti
X = 0 e y = a:
y = ax - 2 a2
x
Costruzione di una curva di secondo grado
I punti della curva sono
ottenuti:
• intersezione tra GL e KN
• Rotazione antioraria di GL
• GA= a; KL= b; NL= c
costanti
L’equazione cartesiana della curva si ottiene ponendo:
AB= x, CB=y
GA= a; KL= b; NL= c
Dai triangoli simili NKL, CBK si ha:
NL:KL = CB:BK → BK= b·y /c → BL= BK- KL → BL= b·y /c -b
AL= AB +BL → AL= x + b·y /c -b
Dai triangoli simili AGL, CBL si ha:
BC:BL = AG:AL → BC·AL = BL·AG
Dall’ultima uguaglianza, sostituendo:
y(x + b·y /c -b) = (b·y /c -b )a
INVILUPPI
Gli inviluppi
PARABOLA
Metodo della PODARIA
Il vertice H di una squadra FHt è vincolato a percorrere una retta r; il lato HF
della squadra è costretto a passare per il punto fisso F (esterno ad r).
Quando H si muove, l'altro lato t della squadra inviluppa una parabola avente
F come fuoco ed r come tangente nel proprio vertice.
Sia r una retta assegnata ed F un
punto esterno ad essa. H sia un
punto della retta r ed h la
perpendicolare ad FH in H.
Dimostriamo che h inviluppa una
parabola. Sia G il simmetrico di F
rispetto ad H e sia GP
perpendicolare a r. Si ha PF=PG. Ma
LG=VF (per la congruenza dei
triangoli FVH e HLG) e quindi in ogni
posizione la distanza di G da r è
costante e G giace sulla retta d
parallela a r a distanza uguale a
quella di F da r. Allora P è
equidistante da F e dalla retta d e
quindi appartiene alla parabola di
fuoco F e direttrice d. Inoltre,
essendo uguali gli angoli FPH e HPG,
h è tangente alla parabola in P.
Data la funzione y = - x, rappresentiamo il suo dominio su un asse r
(origine O) e il codominio su un asse r'(origine O'; r ed r'
complanari); ogni punto del dominio viene congiunto con il
corrispondente nel codominio. Le rette congiungenti formano un
inviluppo. Quando r ed r' sono parallele, i segmenti XY si incontrano
in un punto (degenerazione della curva inviluppo), altrimenti
inviluppano una parabola. Cambiando la posizione della retta r' è
possibile osservare come varia la forma dell'inviluppo.
Siano x ed y’ due rette incidenti , O ed O’ due punti fissati ad ugual distanza da
A (origini dei sistemi di riferimento sulla rette x e y) ed OX e O’Y due segmenti
di ugual lunghezza (X e Y punti corrispondenti nella y = - x) .
Sia h l’asse del segmento XY (il punto
medio H di XY giace sempre su OO’: per la
dimostrazione condurre da X e Y le
parallele a OO’ e applicare il teorema di
Talete) e k l’asse del segmento OO’ e sia F
il loro punto di intersezione. Sia X’ il
simmetrico di X rispetto ad O.
Si ha : FY=FX=FX’, i triangoli FOX e FOX’ sono
uguali ed FO è perpendicolare ad AO in O. La
posizione di F quindi non varia e la retta
passante per X e Y inviluppa una parabola
(parabola inviluppo: metodo della podaria).
Cambiando il sistema di riferimento sulla
retta y', (nuova origine O"), osserviamo che la
trasformazione che fa corrispondere al
triangolo OAO’ il triangolo OAO" è
una omologia affine di asse x, pertanto i
segmenti XY inviluppano ancora una parabola
OA e OB sono due aste di ugual lunghezza nei cui estremi A e B sono incernierati i
punti medi delle aste PC e PD (di ugual lunghezza) . Il punto P mediante l'asta PM
è vincolato a percorrere la circonferenza di centro M passante per O. L'asta CD che
rappresenta la polare di P rispetto alla circonferenza di centro O e raggio ,
inviluppa una parabola.
Quando P percorre la circonferenza ,
il suo corrispondente Q nell'inversione
circolare rispetto alla
circonferenza (centro O e
raggio percorre la retta r,
perpendicolare ad OM (proprietà
della inversione circolare). Per ogni
posizione di P, i punti P e Q sono
allineati con O . La retta CD, essendo
in ogni posizione perpendicolare a QO,
è tangente ad una parabola (avente
asse di simmetria coincidente con OM,
vertice sulla retta r e fuoco nel punto
O) di cui r è la podaria.
DIMOSTRAZIONE:
Sia H un punto di una circonferenza di
centro O ed F1 un punto interno alla
circonferenza. HG sia la corda passante per
F1 e t la sua perpendicolare in H.
Dimostriamo che t inviluppa una ellisse. Sia
F2 il simmetrico di F1 rispetto ad O e sia K
l'ulteriore punto di intersezione della retta t
con la circonferenza. K e G sono estremi di
un diametro e KF2 è parallelo a GH (per
simmetria rispetto ad O). Sia LF1 parallela a
GK.
Sia P il punto di intersezione fra LF1 e
HK. Si ha: LK=KF2 e PL=PF2 (simmetria
rispetto a PK) .
F1P+PF2=F1P+PL=F1L=GK=2r Quindi P
appartiene all'ellisse di centro O, fuochi
F1 ed F2 ed asse maggiore uguale a 2r.
Inoltre poichè gli angoli HPF1 e KPF2 sono
uguali, t è tangente alla ellisse in P.
DIMOSTRAZIONE
Quando P percorre la circonferenza
gamma1, il punto Q, corrispondente di P
nell'inversione circolare, percorre una
circonferenza gamma2, omotetica di
gamma rispetto ad O.
Se O è interno a gamma2, è
anche interno a gamma1. Per
ogni posizione di Q su
gamma1 , la retta CD è
perpendicolare a OQ quindi è
tangente ad una ellisse, di cui
la circonferenza percorsa da
Q è la podaria rispetto ad un
fuoco (O).
Data la funzione y=1/x
rappresentiamo il suo
dominio su un asse r
(origine O) e il suo
codominio su un asse
r' (origine O') parallelo
ad r. Congiungiamo
ogni punto del
dominio con il suo
corrispondente nel
codominio. Le
congiungenti
inviluppano una
ellisse. È possibile
variare la distanza fra
le rette r ed r' e la
posizione di O' su r'
per osservare come si
trasforma l'ellisse
inviluppo.
Siano r ed r' due rette parallele ed O e O', origini
dei sistemi di riferimento, su una
perpendicolare alle due rette. Sia X l'estremo di
un segmento di lunghezza x e OA e AB siano
due segmenti di lunghezza unitaria posti sulla
OO'. Sia AZ perpendicolare ad AX e BZ parallelo
ad OX. Allora BZ ha lunghezza 1/x. Il triangolo
rettangolo XAZ ha altezza costante e uguale ad
1 e i segmenti ZX inviluppano la circonferenza
di centro A e raggio 1. L'omologia affine di asse
r, direzione dei raggi perpendicolare ad r e
rapporto O'O/BO fa corrispondere al punto Z il
punto Y (corrispondente di X nella y=1/x) e
trasforma la circonferenza inviluppo dei
segmenti XZ in una ellisse E inviluppo dei
segmenti XY.
Applicando ad r' una qualsiasi traslazione la
curva E' inviluppata è ancora una ellisse. Infatti
E ed E' si corrispondono in una omologia affine
di asse r.
Il vertice H di una squadra LHM (LHM angolo retto) è vincolato a percorrere una
circonferenza, un lato della squadra è costretto a passare per un punto fissato nel
piano ed esterno alla circonferenza. Quando H descrive la circonferenza l'altro lato
HM della squadra inviluppa una iperbole avente come fuoco e asse reale uguale al
diametro della circonferenza.
Metodo per la costruzione
dell'inviluppo.
Sia H un punto di una
circonferenza di centro O
ed un punto esterno alla
circonferenza. HG sia la corda
passante per e t la sua
perpendicolare in H.
Dimostriamo che t inviluppa
una iperbole.
Sia il simmetrico di rispetto ad O e sia K l'ulteriore punto di intersezione
della retta t con la circonferenza. K e G sono estremi di un diametro e è
parallelo a GH (per simmetria rispetto ad O). Sia parallela a GK. Sia P il
punto di intersezione fra e HK. Si ha:LK= PL= (simmetria rispetto
a PK) . Quindi P appartiene all'iperbole di centro O, fuochi ed ed asse
maggiore uguale a 2r. Inoltre poichè gli angoli e sono uguali, t è
tangente alla iperbole in P.
OA QBP è un inversore di Peaucellier, i punti A e B sono i punti medi delle
aste PCe PD.Il punto P mediante l'asta PM è vincolato a percorrere la
circonferenza g di centro M e di raggio r<OM. L'asta CD che rappresenta
la polare di P rispetto alla ciconferenza di centro O e raggio inviluppa
una iperbole.
Quando P percorre la circonferenza ,
il punto Q, corrispondente
di P nell'inversione circolare, percorre
una circonferenza , omotetica di
rispetto ad O (proprietà della
inversione circolare). Se O è esterno
a , è anche esterno a . Per ogni
posizione di Q su , la retta CD è
perpendicolare a OQ quindi è
tangente ad una iperbole, di cui la
circonferenza percorsa da Q è
la podaria rispetto ad un fuoco (O).