L’ipotesi di Newton e la
sua verifica con la Luna
Le conoscenze di Newton
• Le tre leggi di Keplero
– L’orbita dei pianeti è un ellisse…..
– Il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali
– I quadrati dei periodi sono proporzionali ai cubi dei
semiassi orbitali…
• Le tre leggi della dinamica
– Per accellerare un corpo ci vuole una forza…
– L’accellerazione è proporzional alla forza applicata
– Ad ogni azione corrisponde una reazione ….
Se l’orbita di un pianeta non è
rettilinea, allora deve esserci una forza
ad accelerarlo e nel caso sia circolare…
𝟐
𝑭 = 𝒎𝝎 R
dove
• 𝒎 è la massa del pianeta
• 𝝎 è la velocità angolare
• R la distanza tra i centri Solepianeta
Utilizzando la terza legge di Keplero…
𝟐
𝟑
𝑷 ∝𝑹
𝟐𝝅
𝝎=
𝑷
F∝
𝒎𝟒𝝅𝟐
𝐑
𝟑
𝑹
𝑮𝒎𝑴
𝑭=
𝟐
𝑹
Pare plausibile, ma come verificare
tutto ciò?
• Newton non conosce né la massa della Terra,
né la massa del Sole
• Non conosce nemmeno il valore della costante
di proporzionalità G
• G viene misurata per la prima volta nel 1798
da Cavendish
• La massa della Terra viene calcolata subito
dopo, utilizzando G
Newton suppone che la forza peso
abbia la stessa natura di quella
attrattiva tra il Sole e un pianeta
𝑮𝒎𝑴
𝑚𝑔 =
𝑹𝟐
𝑮𝑴
𝑔= 𝟐
𝑹
L’accellerazione che un corpo sperimenta in
prossimità di un altro è inversamente proporzionale
al quadrato della distanza
Newton conosceva alcune cose…
• Il raggio della Terra r pari a 3960 miglia
• La distanza Terra-Luna, pari a 60 volte il raggio
terrestre R=60r
• Il periodo siderale della Luna T=27,322 g.s.m.
• L’accellerazione di gravità alla superficie della
Terra. Sa che un corpo cade di 16 piedi nel
primo secondo di caduta. Poiché
1 2
g𝑡
2
2𝑠
𝑡2
𝑠=
da cui g= =
32 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑖 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜
Con questi dati la sua legge può essere
verificata….
Se in E l’accellerazione di gravità è g, in D
𝑔𝑇
32
2
essa vale 𝑔𝐿 =
=
piedi/sec
2
(60)
3600
Rispetto al suo percorso inerziale, la
Luna deve cadere verso la Terra del
tratto CD….
𝐶𝐷 =
1
gL𝑡 2
2
Dopo un secondo
1 32 2
𝐶𝐷 =
1
2 3600
𝐶𝐷 =0.0533 pollici
Essendo 1 piede = 12 pollici
Devo trovare lo stesso risultato con un
ragionamento puramente geometrico
𝐵𝐸∅2
𝐶𝐷 ≅
2
2𝜋
2𝜋
∅=
=
𝑃𝐿 27,322 ∗ 24 ∗ 60 ∗ 60
= 0,0000026617 𝑅𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐
𝐵𝐸 = 3960 ∗ 60 ∗ 5280 ∗ 12 = 1,505 ∗ 1010 “
𝐶𝐷 ≅ 0.053 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑖𝑐𝑖
Essendo 1 miglio =5280 pollici
Verificata la sua ipotesi, Newton passa
a ritrovare la leggi di Keplero
utilizzando le tre leggi della dinamica e
la sua legge universale di gravità……