Equazioni e disequazioni
Le equazioni
Una uguaglianza tra espressioni letterali che
risulta vera per ogni valore delle lettere che
vi compaiono prende il nome di identità.
2a=2a
(a+b)(a-b)=a2-b2
Una uguaglianza tra espressioni letterali che
risulta vera o meno, a seconda dei valori
attribuiti alle variabili che vi compaiono
prende il nome di equazione.
x=1
x2=4
Le equazioni
Se in una equazione è presente una sola
lettera essa assume il ruolo di incognita e
l’obbiettivo è determinarne i valori che
rendono vera l’uguaglianza.
Se in una equazione sono presenti più lettere
sarà necessario precisare quale assume il
ruolo di incognita. Le altre lettere si
chiameranno parametri.
Le equazioni
• Intere  se sono uguaglianze tra polinomi
• Fratte  se l’incognita figura al denominatore
• Numeriche  se compare una sola variabile.
• Letterali  se compaiono più lettere.
Le equazioni
Si dice soluzione di una equazione ogni
numero che sostituito al posto dell’incognita
trasforma l’equazione in una identità.
Una equazione può avere:
• Nessuna soluzione  si dice impossibile
• Soluzioni finite
 si dice determinata
• Infinite soluzioni  si dice indeterminata
Principi di equivalenza
Per risolvere una equazione, cioè determinarne
le soluzioni, si applicano due principi di
equivalenza:
1. Addizionando o sottraendo a entrambe i
membri dell’equazione uno stesso temine
(numero o espressione contenente
l’incognita che risulti definita per ogni
valore dell’incognita) si ottiene una
equazione equivalente a quella data.
Principi di equivalenza
2. Moltiplicando o dividendo entrambe i
membri dell’equazione per uno stesso
temine (numero diverso da zero o
espressione contenente l’incognita che
risulti definita e non nulla per ogni valore
dell’incognita) si ottiene una equazione
equivalente a quella data.
Principi di equivalenza
Come conseguenza si ha che:
• si può spostare un addendo da un membro
all’altro cambiandogli il segno,
• se uno stesso addendo compare in entrambe
i membri esso può essere semplificato,
• è possibile cambiare il segno ad entrambe i
membri,
• se i due membri sono costituiti da prodotti
aventi un fattore comune esso può essere
semplificato,
ottenendo equazioni equivalenti
Equazioni lineari
Sono equazioni numeriche intere in cui
l’incognita ha grado 1.
La forma normale è ax=b.
Se a=0 e b≠0 l’equazione è impossibile
Se a=0 e b=0 l’equazione è indeterminata.
Se a ≠0 e b≠0 l’equazione ha una sola soluzione
x=b/a
Equazioni lineari
Per risolvere un’equazione lineari è necessario:
1. Eseguire tutte le operazioni presenti nei
due membri ed eventuali semplificazioni
2. Applicare i principi di equivalenza in modo
da trasportare tutti i termini contenenti
l’incognita al primo membro e gli altri al
secondo membro
3. Semplificare in modo da ricondurre
l’equazione in forma normale
4. Se a≠0 dividere ambo i membri per a.
Equazioni lineari
x(x-1)-2(x+3)-4=x(x-4)
-5(1-a)=3(a-2)+2a
2(y-2)-3y=-y-4
Equazioni lineari letterali
Sono equazioni in cui l’incognita ha grado 1 e
compaiono altre lettere oltre l’incognita.
ax-2a=x+3
Si risolvono come quelle numeriche ma devo
verificare che il coefficiente dell’incognita sia
≠0, altrimenti l’equazione è indeterminata o
impossibile.
Equazioni lineari letterali
ax+2x-2a=4
𝑥
+𝑥 =1
3−𝑏
Risolvere
rispetto a x e
rispetto ad a
Equazioni riconducibili al
primo grado
Equazioni fratte
• Discutere i denominatori individuando i valori
dell’incognita per cui l’espressione perde
significato
• Eseguire le operazioni nei due membri
• Applicare i principi di equivalenza in modo da
trasformare l’equazione fratta in una intera
• Risolvere l’equazione intera
• Verificare che la soluzione trovata non
appartenga all’insieme di valori non accettabili
Equazioni riconducibili al
primo grado
Equazioni fratte
5
8−𝑥
1+
=
𝑥−3 𝑥−3
𝑎
1
=
𝑥−1 𝑎
Equazioni riconducibili al
primo grado
Se l’equazione è di grado superiore al primo
ma è polinomiale è possibile scomporre in
fattori il polinomio e applicare la legge di
annullamento del prodotto.
b2-3b=0
z3+z2-4z-4=0
Le disequazioni
Una disuguaglianza tra espressioni letterali
che risulta vera o meno, a seconda dei valori
attribuiti alle variabili che vi compaiono
prende il nome di disequazione.
2a ≤ 3a
(a+b)(a-b) > a2
Le disequazioni
Si dice soluzione di una disequazione ogni
numero che sostituito al posto dell’incognita
rende vera la disuguaglianza.
Una disequazione può avere:
• Nessuna soluzione
• Soluzioni finite (espresse in termini di
intervalli della retta reale)
• Infinite soluzioni
Principi di equivalenza
Per risolvere una disequazione, cioè
determinarne le soluzioni, si applicano due
principi di equivalenza:
1. Addizionando o sottraendo a entrambe i
membri dell’equazione uno stesso temine
(numero o espressione contenente
l’incognita che risulti definita per ogni
valore dell’incognita) si ottiene una
equazione equivalente a quella data.
Principi di equivalenza
2. Moltiplicando o dividendo entrambe i
membri dell’equazione per uno stesso
numero maggiore di zero si ottiene una
disequazione equivalente a quella data.
3. Moltiplicando o dividendo entrambe i
membri dell’equazione per uno stesso
numero minore di zero e cambiando il verso
della disequazione si ottiene una
disequazione equivalente a quella data.
Disequazioni lineari
Per risolvere una disequazione lineare è
necessario:
1. Eseguire tutte le operazioni presenti nei
due membri ed eventuali semplificazioni
2. Applicare opportunamente i principi di
equivalenza in modo che l’incognita
compaia solo al primo membro e abbia
coefficiente 1
Disequazioni lineari
Rappresentazione grafica delle soluzioni
x>8
8
R
Disequazioni lineari
2(1-3x)-2<x+6 (x-2)
5 − 4𝑥 𝑥
4−𝑥
− >2−
3
6
2
Disequazioni lineari letterali
Sono disequazioni in cui l’incognita ha grado 1 e
compaiono altre lettere oltre l’incognita.
ax>1
Si risolvono come quelle numeriche ma quando
divido per una espressione letterale devo
verificare che sia non nulla e devo discuterne
il segno.
Disequazioni lineari letterali
(a-1)x≤3(a-1)
𝑦
𝑏
>
𝑏+2 𝑏+2
Risolvere
rispetto a x e
rispetto ad a
Disequazioni riconducibili al
primo grado
Se la disequazione è di grado superiore al
primo ma è riconducibile alla forma
A(x) B(x) ≥< 0
allora è possibile determinarne le soluzioni
studiando i segni dei singoli fattori da cui
ricavare il segno complessivo.
Disequazioni riconducibili al
primo grado
(x-7)(x+8) > 0
Devo trovare i valori di x che rendono
positiva l’espressione.
x-7>0  x>7
x+8>0  x>-8
x<-8 o x >7
+
-
+
-8
7
R
Disequazioni riconducibili al
primo grado
Disequazioni fratte
Per poter risolvere le disequazioni fratte bisogna
applicare opportunamente i principi di equivalenza
in modo da trasformare la disequazione nella
forma
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
≥0
<
e poi si studiano i segni del
numeratore e del denominatore per ricavare il
segno complessivo.
Disequazioni riconducibili al
primo grado
Disequazioni fratte
𝑎−2
≤0
𝑎+3
Devo trovare i valori di a che rendono
negativa o nulla l’espressione.
a-2≥0  x ≥ 2
a+3>0  x>-3
-3<x≤2
+
-
+
-3
2
R
Disequazioni riconducibili al
primo grado
1 − 3𝑥
≥1
𝑥−2
𝑎2 − 𝑎 < 0
Equazioni di secondo grado
Sono equazioni numeriche intere in cui
l’incognita compare con grado 2.
La forma normale è ax2+bx+c=0.
Se c=0
Se b=0
ax2+bx=0  x(ax+b)=0.
c=0
ax2=0
c≠0
ax2+c=0
Equazioni di secondo grado
Per risolvere un’equazione di secondo grado è
necessario applicare i principi di equivalenza
delle equazioni e ricondurre l’equazione alla
forma normale (meglio se con a positivo).
Poi applicare la formula
𝑥1,2
−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
=
2𝑎
Equazioni di secondo grado
𝑥1,2
−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
=
2𝑎
Se dentro la radice c’è:
• una quantità positiva l’equazione ammette
due soluzioni distinte.
• zero l’equazione ammette due soluzioni
coincidenti
• una quantità negativa, l’equazione non ha
soluzione nell’insieme dei reali.
Equazioni di secondo grado
(3x-4)2+2=1-(2x-1) 2
3𝑎 − 2 3𝑎 + 2 + 9𝑎2 + 4
5
= 3𝑎 −
10
4
𝑦−2
3𝑦 + 6
𝑦∙
+4=
3
3
Equazioni di secondo grado
letterali
E’ necessario studiare per quali valori dei
parametri l’equazione si abbassa di grado e per
quali valori ammette soluzioni reali.
ax2-(a+1)x+1=0
Equazioni riconducibili al
secondo grado
3
𝑏−
=0
𝑏+2
𝑥
𝑎𝑥
𝑥 2 − 𝑎𝑥
+
= 2
𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑎2
(z+1)(z2-2z+5)=0
Fattorizzazione di polinomi
di secondo grado
Un polinomio di secondo grado P(x) può essere
scomposto in fattori determinando le soluzioni
dell’equazione P(x)=0.
Il polinomio può essere scritto come (x-x1)(x-x2).
x2-4x+4
x2-6x+5
Disequazioni di secondo
grado
La forma normale è ax2+bx+c≥0.
<
Per risolvere una disequazione di secondo grado
è necessario applicare i principi di equivalenza
delle disequazioni e ricondurre l’equazione alla
forma normale (meglio se con a positivo).
Risolvere l’equazione associata.
Disequazioni di secondo
grado
Se l’equazione ha due soluzioni fattorizzare il
polinomio e applicare i metodi delle disequazioni
di primo grado.
Se l’equazione ha una soluzione osservare che si
scrive come quadrato di un binomio.
Se l’equazione non ha soluzione significa che il
polinomio è sempre positivo.
Disequazioni di secondo
grado
x2-4x-5<0
(x-5)(x+1)<0
+
-
+
-1
5
-1<x<5
R
Disequazioni di secondo
grado
x2-4x+4<0
(x-2)2<0
IMPOSSIBILE
Disequazioni di secondo
grado
x2-4x+4>0
(x-2)2>0
2
R
R-{2}
Disequazioni di secondo
grado
x2-4x+10>0
R
x2-4x+10<0
IMPOSSIBILE
Disequazioni riconducibili al
secondo grado
1 − 3𝑥 + 𝑥 2
≥0
𝑥−2
(𝑎2 −𝑎 + 1)(𝑎 + 3) < 0
I sistemi
In matematica sono insiemi di relazioni
(equazioni o disequazioni) che devono essere
soddisfatte contemporaneamente.
Risolvere un sistema significa trovare l’insieme
dei valori delle incognite che vi compaiono tale
che le relazioni componenti il sistema siano
contemporaneamente soddisfatte.
Sistemi lineari
Sono sistemi di due o più equazioni di primo
grado in due o più incognite.
Si dice soluzione di un sistema con 2 (3,4, … n)
incognite ogni coppia (terna, quaterna, … n-upla)
che soddisfi ciascuna delle equazioni che lo
costituiscono.
Può accadere che il sistema non abbia
soluzioni o può averne infinite.
Sistemi lineari
Principi di equivalenza
Due sistemi si dicono equivalenti quando hanno
le medesime soluzioni.
E’ possibile trasformare un sistema lineare in
uno equivalente usando i seguenti principi di
equivalenza:
Sistemi lineari
Principi di equivalenza
1. Sostituendo un’equazione del sistema con
una equivalente si ottiene un sistema
equivalente.
2. Esplicitando un’equazione del sistema
rispetto ad una variabile e sostituendo il
risultato in un’altra equazione si ottiene un
sistema equivalente.
Sistemi lineari
Principi di equivalenza
3. Sostituendo un’equazione del sistema con la
somma o sottrazione dell’equazione con
un’altra del sistema stesso si ottiene un
sistema equivalente.
Sistemi lineari in due incognite
Metodo del confronto
Si risolvono le due equazioni rispetto alla stessa
incognita e si uguagliano le espressioni ottenute.
𝑥 + 2𝑦 = 0
3𝑥 + 4𝑦 = −1
Sistemi lineari in due incognite
Metodo di riduzione
Si usa il primo principio per fare in modo che i
coefficienti della prima incognita siano opposti.
Si usa il terzo principio sostituendo la seconda
equazione con la somma delle due
𝑥 + 2𝑦 = 0
3𝑥 + 4𝑦 = −1
Sistemi lineari in due incognite
Se applicando i metodi risolutivi una delle
equazioni si trasforma in una identità il sistema
è indeterminato.
2𝑦 − 2𝑥 = −4
𝑦 =𝑥−2
Se applicando i metodi risolutivi una delle
equazioni risulta impossibile allora l’intero
sistema è impossibile.
3𝑥 − 3𝑦 = 2
6𝑦 − 6𝑥 = 0
Sistemi lineari in tre incognite
Si possono applicare gli stessi metodi di
risoluzione visti finora.
2𝑦 − 2𝑥 + 𝑧 = −4
𝑦 =𝑥−2
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −3
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑦+𝑥−𝑧 =1
2𝑦 − 2𝑥 − 3𝑧 = 0
Sistemi di disequazioni
Si risolvono le singole disequazioni in
un’incognita che lo compongono e si cercano le
soluzioni comuni.
𝑥+3>0
𝑥−2<0
x > -3
x<2
-3
2
-3<x<2
R
Sistemi di disequazioni
𝑥+3>0
𝑥−2<0
2
𝑥 + 2𝑥 − 3 ≥ 0
𝑥+1>0
𝑥+3>0
𝑥−2>0
𝑥−7<0
1
𝑥
≥1
𝑥+1>0
Equazioni irrazionali
Sono equazioni in cui l’incognita compare sotto
radice.
𝑥 + 1 = 3 − 2𝑥
3
3+ 𝑥 = 2𝑥 − 5
𝑥+1=
3
3 − 2𝑥
3- 2 + 4𝑥 = 2𝑥
Equazioni irrazionali
E’ bene disporre le radici nei due membri in
modo che siano precedute dal segno +.
La radice si intende positiva a meno che non
sia preceduta da –.
Equazioni irrazionali
Radici di indice pari
• La radice deve esistere (argomento ≥0).
• Ricordare che la radice si intende positiva a
meno che non sia preceduta da –.
• Elevare a potenza per eleminare le radici.
• Eseguire i calcoli o reiterare il processo.
Equazioni irrazionali
Esercizi
𝑥2 + 𝑥 = 3 − 𝑥
𝑥 − 2 = 5𝑥 − 5
𝑥 = −𝑥 2 − 1
3 − 𝑥2 = 1
Equazioni irrazionali
Esercizi
3 − 2𝑥 = − 𝑥 2 + 3
3 𝑥 − 𝑥2 = 2 𝑥
1
4 − 𝑥 = 4 − 𝑥 − 1 − 2𝑥
2
Equazioni irrazionali
Radici di indice dispari
• Elevare a potenza per eleminare le radici.
• Eseguire i calcoli o reiterare il processo.
Equazioni irrazionali
Esercizi
3
3
𝑥3 + 2 − 𝑥 = 1
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) =
3
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
Equazioni irrazionali fratte
L’incognita si trova sotto radice e al
denominatore di una frazione algebrica.
2
=𝑥
𝑥
E’ necessario discutere le radici pari ed i
denominatori.
Equazioni irrazionali fratte
Esercizi
𝑥−1+
1
𝑥−1
𝑥+2
3
𝑥3 + 2
=
=1
𝑥
𝑥−1
Disequazioni irrazionali
Sono disequazioni in cui l’incognita compare
sotto radice.
Consideriamo solo il caso in cui compare un solo
radicale.
Disequazioni irrazionali
Caso 1
𝑓 𝑥 >
𝑛
𝑔(𝑥)
n dispari  si eleva a potenza n
n pari 
𝑔(𝑥) ≥ 0
𝑓 𝑥 >0
[𝑓(𝑥)]𝑛 > 𝑔(𝑥)
Disequazioni irrazionali
Caso 2
𝑓 𝑥 <
𝑛
𝑔(𝑥)
n dispari  si eleva a potenza n
n pari 
𝑔(𝑥) ≥ 0
𝑔(𝑥) ≥ 0
𝑓 𝑥 > 0 oppure
𝑓 𝑥 <0
𝑛
[𝑓(𝑥)] < 𝑔(𝑥)
Disequazioni irrazionali
Esercizi
𝑥−2
<1
𝑥+1
𝑥 2 + 7𝑥 < 𝑥 − 2
3
𝑥+3+1≥0
Disequazioni irrazionali
Esercizi
2+ 4−𝑥 >𝑥
3
1 + 𝑥3 < 𝑥 + 1
3
𝑥−3
>4
Equazioni con valori assoluti
Sono equazioni in cui l’incognita compare
dentro il simbolo di valore assoluto.
𝑥 + 2 = 3 − 6𝑥
−𝑥 + 3 = 2 − 5𝑥 + 2
Equazioni con valori assoluti
Ricordiamo che
𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
|x|=
−𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0
E’ necessario discutere gli argomenti dei valori
assoluti e risolvere le equazioni nei vari casi
che si presentano.
Equazioni con valori assoluti
L’equazione contiene un valore assoluto
|f(x)|=g(x)
Si presentano i due casi f(x)≥0 e f(x)<0.
Le soluzioni dell’equazione saranno le soluzioni di:
𝑓(𝑥) ≥ 0
oppure
𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 <0
−𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
Equazioni con valori assoluti
L’equazione contiene due valori assoluti.
|f(x)|=|g(x)|
Si presentano 4 casi:
f(x) e g(x) ≥0
f(x) e g(x) <0
f(x) ≥0 e g(x)<0
f(x)<0 e g(x) ≥0
Equazioni con valori assoluti
Esercizi
2𝑥 − 3 = 𝑥 + 4
𝑥 − 2 = −5
𝑥2 + 𝑥 = 0
4 + 𝑥 = |5 − 2𝑥| + 7𝑥
Disequazioni con valori
assoluti
Sono disequazioni in cui l’incognita compare
dento il simbolo di valore assoluto.
Si esaminano i vari casi e si risolvono le
disequazioni che ne derivano.
La soluzione sarà data dall’unione degli insiemi di
soluzioni di tutti i casi considerati.
Disequazioni con valori
assoluti
Esempio
|𝑓 𝑥 | > 𝑘
𝑓 𝑥 ≥0
𝑓 𝑥 <0
oppure
𝑓 𝑥 >𝑘
−𝑓 𝑥 > 𝑘
Disequazioni con valori
assoluti
Esercizi
𝑥 2 − 4 > −3
𝑥 2 + 1 < −1
𝑥2 + 1 < 1
3 + 2𝑥 < 4
Disequazioni con valori
assoluti
Esercizi
𝑥2 − 4 < 5
3 + −𝑥 + 1 + 𝑥 2 − 6 > 0
𝑥−1 + 𝑥−6 <0
Disequazioni con valori
assoluti
Esercizi
3 + 2𝑥
<1
2
𝑥 +2
2 − 3𝑥
>0
2 + |3𝑥|
4 − 3𝑥
>0
2 − |3𝑥|