MOTO DI UN PROIETTILE Progetto a cura di Davide Iacuitto e Leonardo Nardis GALILEO GALILEI E LO STUDIO DELLA COMPOSIZIONE DEI MOTI • Galileo Galilei fu il primo che studiò il moto dei corpi, con particolare riguardo al moto parabolico • Si dedicò in particolar modo al moto di un corpo lanciato con direzione (e velocità) orizzontale • Intuì empiricamente che il moto parabolico (incluso quello di un proiettile) derivava dalla composizione di due moti: il moto orizzontale rettilineo uniforme e il moto verticale uniformemente accelerato, di caduta libera MOTO DI UN PROIETTILE LANCIATO CON DIREZIONE ORIZZONTALE y Moto rettilineo uniforme Vo Moto rettilineo uniformemente accelerato h x Galileo scoprì che il moto parabolico è causato dalla composizione di due moti diversi: -Moto orizzontale, che ha velocità costante uguale alla velocità iniziale, ed è un moto rettilineo uniforme -Moto verticale, di caduta libera. Il suo moto è rettilineo uniformemente accelerato I due moti agiscono contemporaneamente, ma non si influenzano l’uno con l’altro. Tale fenomeno è definito principio d’indipendenza dei moti X = Vo t 1 Y = - 2 gt 2 + h DIMOSTRAZIONE CHE LA TRAIETTORIA PERCORRE UN RAMO DI PARABOLA Dalle equazioni precedenti si ottiene: x Vo 1 x Y = - g( )2 + h 2 Vo x t= Vo 1 g Y=x2+ h 2 2 Vo t= Y = - ax 2 + h Abbiamo, pertanto, ottenuto l’equazione di una parabola con concavità rivolta verso il basso (poiché la costante a è negativa) e vertice sull’asse delle ordinate MOTO DI UN PROIETTILE LANCIATO CON DIREZIONE NON ORIZZONTALE (1/2) Y Vo y α Vo x X = Vox t 1 Y = - gt 2 + Voy t 2 Vox = Vo cos α Voy = Vo sen α X Passiamo allo studio del moto di un proiettile lanciato da terra verso l’alto, con direzione (e velocità Vo) non orizzontale. Dobbiamo risolvere un problema di tipo balistico Vfx = Vox Vfy = - gt + Voy MOTO DI UN PROIETTILE LANCIATO CON DIREZIONE NON ORIZZONTALE (2/2) dalle equazioni precedenti otteniamo: x t = Vox 1 x Y = - 2 g(Vox)2 + Voy( x ) Vox Y=- 1 X2 g 2 Vo2 cos α2 x + Vo sen α Vo cos α Tenendo conto delle costanti si giunge a: Y = -aX 2+ bX Anche in questo caso abbiamo ottenuto l’equazione di una parabola, con asse parallelo all’asse y, rivolta verso il basso, il cui vertice, tuttavia, non è più sull’asse delle ordinate GITTATA (1/2) X t= Vox 1 2 0 = - gt + 2 X = Vox t Y= 1 2 gt 2 + Voy t Voy t da cui si ottiene: 1 X2 g 2 Vox2 Voy 1 X Voy 0=+ x 0=x − g 2 + Vox 2 Vox Vox Siamo giunti adesso ad un equazione spuria, dalla quale otteniamo due valori di x di cui uno uguale a 0 (che è il punto di origine del lancio) e l’altro che individua il punto di caduta: • X= 0 • − 1 2 X g 2 Vox + Voy Vox =0 GITTATA (2/2) Per trovare la gittata (x), che ci consente di determinare il punto di caduta, prendiamo in considerazione la seconda equazione: − 1 2 X g Vox2 =- Voy Vox X= 2 Vox Voy g Poiché è: Vox = Vo cos α Voy = Vo sen α X= 2Vo2 cos α sen α g La gittata massima si ottiene a 45° X = Vo2 g La gittata di due oggetti lanciati con angoli diversi, ma la cui somma sia pari a 90° è sempre uguale (es. 30° e 60°; 15° e 75°) ALTEZZA MASSIMA 1 2 Y = gt 2 +Voy t Vfy = Voy – gt VfY è uguale a 0 poiché nel punto più alto della traiettoria la componente verticale della velocità è nulla E quindi si ottiene: Voy g Voy Voy g 0 = Voy – gt t = Y= Y= 1 Voy2 - g 2 2 g Voy2 2g + e sostituendo: Y=- 1 Voy2 2 g + Voy2 g