Ing. Francesco Scarcella
Cos’è la logica?
La logica è semplicemente la scienza del
ragionamento.
LOGICA
Scienza del ragionamento
LOGICA
MATEMATICA
Scienza del ragionamento
matematico
Scienza e ragionamento
Ragionamento significa
studiare come l’uomo
ragiona.
Scienza significa adottare
un metodo scientifico:
«metodo matematico».
Come si arriva a studiare la logica?
La Dialettica
• È stata iniziata in Occidente dalla Scuola greca dei
Sofisti (Protagora e Gorgia).
• I Sofisti erano interessati all’arte della parola, all’arte
del discorso; pertanto, iniziarono a studiare le regole che
soggiacevano al discorso per cercare di usarle ai propri
fini.
La Via dei Paradossi
• Cos’è un paradosso?
 In termini filosofici, un paradosso consiste in una vera e
propria contraddizione logica.
 In termini matematici, un paradosso consiste in una
proposizione eventualmente dimostrata e logicamente
coerente, ma lontana dall’intuizione.
Paradossi della storia
Il mentitore
Achille e la tartaruga
Quale è il paradosso del mentitore?
Il paradosso del mentitore è il paradosso di qualcuno che dice:
"Io sto mentendo"
Come mai è paradossale?
Se si suppone che chi dice: "Io sto mentendo" dica il vero, allora
si deduce che ha detto il falso;
se, invece, si suppone che chi dice :"Io sto mentendo" dica il
falso, allora si deduce che ha detto il vero.
Quindi si tratta di una contraddizione,
di un paradosso.
Paradosso di Achille e la tartaruga
Gara tra Achille e la tartaruga
Achille : simbolo della velocità
Tartaruga : simbolo della lentezza
Achille corre dieci volte più veloce della
tartaruga e le concede 10 m di vantaggio.
Achille percorre quei 10 m e la tartaruga
avanza di un 1 m;
Achille percorre quel metro e la tartaruga
avanza di un 1 dm;
Achille percorre quel decimetro e la
tartaruga avanza di 1 cm;
Achille percorre quel centimetro e la
tartaruga avanza di 1 mm,
e così via all’infinito.
Dunque, Achille non potrà mai
raggiungere la tartaruga.
Sappiamo tutti che correndo dietro una tartaruga, prima o poi
si riesce a raggiungerla.
Dove sta l’errore? Qual’ è il problema?
L’assunzione implicita che sta fisicamente dietro questo
paradosso è che lo spazio sia divisibile all’infinito, cioè che
sia possibile dire che tra questi due punti ce ne stanno una
infinità.
Da un punto di vista matematico, questo è vero;
da un punto di vista fisico questo non è assolutamente detto
che sia vero;
da punto di vista logico, il problema è il regresso all’infinito,
ossia tutti questi paradossi si basano sul "e così via", sulla
possibilità di ripetere lo stesso argomento decine e decine di
volte, anzi una infinità di volte.
Soluzioni del paradosso
• Rifiuto dell’infinito fisico , cioè lo spazio non si può
dividere all’infinito.
• Rifiuto dell’infinito logico , cioè non è possibile fare
regressi all’infinito.
La terza Via : la Via delle Dimostrazioni
Agli inizi la matematica è nata senza dimostrazioni.
Prima del 600 a.C
Dal 600 a.C
I risultati venivano trascritti
in maniera intuitiva, senza
alcuna dimostrazione.
I greci capirono che i risultati
della matematica necessitavano
di dimostrazioni, anche perché
non c’era modo di sapere se un
risultato fosse giusto o meno.
Come si fa a decidere di fronte ad un’intuizione se questa è
effettivamente vera o meno?
BISOGNA DIMOSTRARLA!
• I Greci furono stimolati allo studio delle
dimostrazioni da due famosi risultati, collegati fra
loro ed associati a Pitagora.
1. Il Teorema di Pitagora
2. L’irrazionalità della diagonale
del quadrato
Teorema di Pitagora
«In ogni triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito
sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati
costruiti sui due cateti»
Definizione:
Il triangolo rettangolo è un triangolo in cui
l’angolo formato dai due lati, detti cateti, è
retto, ovvero di 90° . Il lato opposto all’angolo
retto è detto ipotenusa.
𝐴𝐵 = 4 cm,
𝐴𝐶 = 3 cm ,
𝐵𝐶= 5 cm.
u = 1 cm.
Costruendo un quadrato su ogni lato del triangolo rettangolo si constata
che:
1.
L’area del quadrato costruito sul
cateto maggiore, ossia il cateto
𝐴𝐵, misura 16 cm2, corrisponde
cioè al quadrato della misura del
lato. [42 = 16 cm2 ]
2.
L’area del quadrato costruito sul
cateto minore, ossia il cateto 𝐴𝐶,
misura 9 cm2, corrisponde cioè
al quadrato della misura del lato.
[32 = 9 cm2 ]
3.
L’area del quadrato costruito
sull’ipotenusa, ossia 𝐵𝐶, misura
25 cm2, corrisponde cioè al
quadrato della misura del lato.
[52 = 25 cm2 ]
16+9 = 25
Somma aree quadrati
costruiti sui cateti
Area
quadrato
costruito
sull’ipotenusa
Quale è l’utilità di questo teorema?
È quella di poter conoscere la misura di ogni lato di un
triangolo rettangolo, essendo note le misure degli altri due
lati
i2= C2 + c2  i= 𝐶 2 + 𝑐 2
C2= i2 – c2  C = 𝑖 2 − 𝑐 2
c2= i2 – C2  c = 𝑖 2 − 𝐶 2
Esempio
i= 𝐶 2 + 𝑐 2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 13 cm
Irrazionalità della diagonale del quadrato
La scoperta veramente geniale e traumatica dei pitagorici ,
fu che la diagonale del quadrato è un numero irrazionale. Se
il lato del quadrato ha lunghezza pari ad 1, la diagonale
risulta pari a 2. Oggi noi diremo che la radice di 2 è
irrazionale.
Dimostriamo che la 𝟐 è un numero irrazionale
La 𝟐 è un numero irrazionale, ossia un numero che non si
può esprimere in forma di frazione m/n con n ed m numeri
interi.
Questa proposizione può essere dimostrata utilizzando il
metodo della dimostrazione per assurdo:
Si presuppone vera l’affermazione contraria, ossia la 𝟐 può
essere espressa da una frazione e si dimostra che questa
porta ad una contraddizione.
Per comprendere meglio alcuni passaggi di questa
dimostrazione occorre tenere presente che in logica
matematica se una proposizione è vera, la sua negazione è
falsa e viceversa.
• Consideriamo la proposizione: "La 2 non può essere
espressa da una frazione" (P1) e la sua negazione: "La 2 può
essere espressa da una frazione"(P2).
• Si inizia la dimostrazione affermando che la proposizione
"La 2 può essere espressa da una frazione" (P2) sia vera
( dimostrazione per assurdo).
Se la 2 si può esprimere come frazione allora si può scrivere:
2=
𝑚
𝑛
(1)
con m ed n due numeri naturali. Possiamo scegliere m ed n in
maniera tale che siano primi fra loro. In particolare allora
m ed n non sono entrambi pari.
Poiché il quadrato della 2 è 2, si ha:
2=
𝑚2
𝑛2
(2),
cioè m2 è il doppio di n2 . Si può anche scrivere
2n2 = m2 (3)
Allora m2 è divisibile per 2, cioè è un numero pari. Ma allora anche m
deve essere pari (perché il quadrato di un numero pari è pari, e il
quadrato di un numero dispari è dispari).
m è pari e quindi può essere scritto come
m = 2k (4)
dove k è un numero naturale
Segue che
m2 = 4k2 (5)
Inserendo questa espressione nella (3) si ottiene
2n2 = 4k2 (6)
Dividendo primo e secondo membro per 2 si ottiene
n2 = 2k2
(7)
Ciò dimostra che anche n è pari.
Dunque , si è dimostrato che sia n che m sono numeri pari.
Si era però affermato che m e n erano primi fra loro , per cui
non possono essere entrambi pari: si ha una contraddizione con
l’ipotesi di partenza, per cui la proposizione "la 2 può essere
espressa da una frazione " è falsa.
In logica se una proposizione è falsa la sua negazione è vera,
quindi la proposizione "la 2 non può essere espressa da una
frazione " è vera.
Dunque la
2 è irrazionale.