alcuni modi di vedere l’infinito in matematica
1
Attività 1a
Hai davanti a te una torta. Puoi mangiarla
seguendo queste regole:
dividi la torta in due parti uguali e mangi in un
sol boccone una delle due parti;
dividi a metà la parte rimasta; mangi in un sol
boccone una delle due parti e così via.
Ai professori devi riservare la torta rimasta. Avanzerà
qualche cosa ?…… Perché ?
1
2
1 1

2 4
1 1 1
   ...  1
2 4 8
2
Attività 1c (aiutati colorando il quadrato dell’allegato 1
che trovi nella pagina seguente)
Dividi il quadrato in quattro parti uguali, colorane una.
Applica lo stesso procedimento al quadrato non adiacente
e continua così “infinite volte”.
Che parte del quadrato grande hai colorato?……
1
16
1
4
1 1 1
1
   ... 
4 16 64
3
3
Lavorando con le torte si scopre che:
E’ facile costruire alcune successioni numeriche costituite di infiniti
termini, ove ogni termine è più piccolo del precedente e più grande
del susseguente, e tali che la somma converge ad un valore finito.
1 1 1 1
1
; ; ;
; ...; n ; ...;
2 4 8 16
2
1 1 1 1
1
1
    ...  n  .... 
3 9 27 81
2
3
1 1 1 1
1
    ...  n  ....  1
2 4 8 16
2
1 1 1
1
1
1
  
 ...  n  .... 
4 16 64 256
4
3
1 1
1
1
1
 
 ...  n  .... 
5 25 125
5
4
Congettura!
1 1
1
1
1
 2  3  ...  m  .... 
n n
n
n
n 1
4
Il paradosso di Zenone su Achille e la tartaruga è analogo al problema
delle torte, per esempio nell’ipotesi che Achille vada a velocità doppia
della tartaruga e conceda metà strada come vantaggio alla tartaruga:
…
Dovrà coprire una distanza costituito da infiniti tratti:
1 1 1 1

     ....   AM  1 AM  AM
 2 4 8 16

Sempre che la nostra congettura sulle torte sia esatta!
5
Alla dimostrazione della nostra congettura si può arrivare attraverso
le curiose proprietà dei numeri periodici: essi non sono solo un altro
modo di toccare l’infinito, ma sono anche una possibile chiave nella
dimostrazione della nostra congettura.
Dato un numero periodico è possibile risalire alla sua frazione
generatrice, esempio:
9
4
x  0, 9  x 
1
x  0, 4  x 
10  1
10  1
In particolare:
1
0, 1  0,1111111 ... 
10  1
Questa uguaglianza è vera se assumiamo come validi i principi di
risoluzione delle equazioni.
CONSIDERAZIONE: I principi di risoluzione restano veri
indipendentemente dalla base in cui siano stati scritti i numeri che vi
6
compaiono: 0,11111…; 1; 10;
Poiché l’ultima relazione è indipendente dalla base in cui
sono scritti i numeri che vi compaiono:
Nella base:
binaria 0,111 ... 
( 2)
base 3
base 5
base 10
0,111 ... (3)
1( 2)
10 ( 2)  1( 2)
1(3)

10 (3)  1(3)
0,111 ... (5) 
0,111 ... (10) 
base n 0,111 ... 
( n)
1(5)
10 (5)  1(5)
1(10)
10 (10)  1(10)
1( n)
10 ( n)  1( n)
se trascritta in
base 10 significa:
1 1 1 1
1
    ... 
1
2 4 8 16
2 1
1 1 1 1
1
1
    ... 

3 9 27 81
3 1 2
1 1
1
1
1
1
 

 ... 

5 25 125 625
5 1 4
1
1
1
1
1


 ... 

10 100 1000
10  1 9
1 1
1
1
1
 2  3  4  ... 
n n
n7  1
n
n
Cascata, Mauritz Cornelis Escher
Costruzione a tre travi
Modello per la costruzione a tre travi
8
Limite del quadrato, Maurits Cornelis Escher
9
la figura completa
contiene quadrati disposti
con un lato orizzontale e
con un lato lungo la
diagonale del quadrato
precedente.
I quadrati sono
successivamente uno la
metà del precedente.
10
Il teorema di Pitagora e la diagonale del quadrato
11
Irrazionalità e incommensurabilità
12
La frazione continua di
2
con il metodo
geometrico possiamo
individuare la frazione
continua che permette
di ottenere valori
sempre più approssimati
di 2
Si ottiene che:
1
2  1
2
1
1
2
2  ........
ossia lo spettro:
2  (1; 2,2,2,...)
13
Con il metodo aritmetico, sfruttando la proprietà dei radicali:
2 1 
1
2 1
L’uso della frazioni
continue evidenzia un
algoritmo molto pratico
per la determinazione
di 2
1+1
1/x
+2
+1
inverso
…….+1
0 cicli
0,5
0,5+1=1,5
1 ciclo
0,4
0,4+1=1,4
Numero cicli
2 cicli
14
15
16