Fatica
La rottura per fatica
• La rottura per fatica si manifesta per livelli di
tensione anche sensibilmente inferiori allo
snervamento, quando l’intensità del carico ha
numerose oscillazioni di sufficiente ampiezza.
• La rottura per fatica è di tipo fragile e si
verifica senza apprezzabili deformazioni
plastiche
Rottura per fatica
• La rottura per fatica richiede la ripetizione di
numerosi cicli di carico abbastanza ampi,
pertanto è un fenomeno che interessa
particolarmente le strutture delle macchine
• Per le strutture civili, se ne deve tener conto
solo per alcune tipologie, in particolare le
strutture di sostegno di macchinari che
trasmettono vibrazioni o che sostengono il
passaggio di veicoli (ponti)
Rottura per fatica
•Il fenomeno della fatica è strettamente connesso a quello della
frattura
•L’azione dei carichi ripetuti produce l’attivazione di microfessure che
tendono ad unirsi in una macrofessura, il cui accrescimento provoca la
riduzione della sezione e quindi la rottura
Meccanismo di generazione
Anche se la tensione macroscopica è inferiore alla resistenza del
materiale, a scala microscopica la tensione può localmente
raggiungere la resistenza.
Questo è facilitato dalla presenza di tensioni residue e irregolarità o
intagli
Fattore di concentrazione delle
tensioni
La presenza di discontinuità, fori o intagli in un continuo elastico
produce concentrazione delle tensioni che tendono a superare la
resistenza del materiale.
Se il materiale è fragile in questi punti si innesca una frattura che si
propaga rapidamente e produce la rottura del pezzo.
Se il materiale è duttile si ha una plasticizzazione ed una ridistribuzione
delle tensioni nelle zone limitrofe e quindi nessun danno apparente.
Se l’azione è ciclica, questo fenomeno può produrre un accumulo di
deformazione e l’innesco di una fessura
Fattore di concentrazione
Il fattore di concentrazione delle tensioni (teorico) è definito
come il rapporto tra la tensione di picco nel vertice dell’intaglio e
la tensione nominale che si ottiene trascurando l’effetto del foro.
Fattore di concentrazione delle tensioni
2
Fattore di concentrazione delle
deformazioni
Se la tensione supera il
limite di snervamento il
materiale si plasticizza e le
tensioni non possono
aumentare, mentre
crescono le deformazioni.
In questo caso è più
significativo il fattore di
concentrazione delle
deformazioni
Per il postulato di Neuber si
2
assume che  peak peak  Kt nomKt  nom  K K  Kt
Determinazione di Kε e Kσ
Tensioni ai vertici di una fessura:
fattore di intensità della tensione
Una fessura può essere trattata come un foro ellittico con il
semiasse minore b0.
In tal caso peak; ma in un intorno del vertice si ha
Fattore di intensità della tensione
Queste tensioni tendono all’infinito per r  0
Il fattore di intensità degli sforzi è quindi definito come
O, più in generale
Dove  è un fattore adimensionale che dipende dalla geometria
del corpo.
Misura della resistenza a fatica: Curve
S-N (Wöhler)
Le curve S-N
riportano il numero
dei cicli che portano
a rottura il
campione in
funzione
dell’ampiezza del
ciclo Sa
Effetto della tensione media
Le curve di fatica precedenti si riferivano al caso di tensione media nulla. Al
crescere della tensione media si ottengono curve di fatica più basse. Si
prendono due punti come riferimento di ciascuna curva: quello corrispondente
ad N=104 cicli ed il limite di fatica Sf. Le corrispondenti resistenze si possono
rappresentare come curve in un grafico in funzione di Sm.
Tutte queste curve
convergono in un punto
dell’asse Sm (cioè per
Sa=0) quando Sm
raggiunge la resistenza
del materiale.
L’esperienza mostra che
per alto numero di cicli
l’effetto di Sm non è
grande, e comunque
meno rilevante
dell’ampiezza dei cicli
Trazione e compressione
Un altro modo di rappresentare questi dati è offerto dal digramma di Smith dove Smax
ed Smin sono riportate in funzione della tensione media Sm. Le due linee di Smax e Smin si
riferiscono ad un particolare numero di cicli, p.es. 107, in modo da rappresentare il
limite di fatica.
Tre cicli di carico per diversi valori di Sm sono indicati
con A, B e C. Nel caso A Smax ed Smin sono entrambe
positive; nel caso B la tensione media è positiva ma Smin
è negativa, anche se la maggior parte del ciclo è di
segno positivo. Nel caso C la tensione media è negativa
e la maggior parte del ciclo avviene in compressione. Le
fessure si chiudono in compressione e ci si può
attendere che la parte negativa del ciclo non generi
danno. Se vi è una tensione media negativa, l’apertura
delle fessure richiede un’ampiezza maggiore del ciclo;
in pratica la rottura per fatica avviene raramente
quando è presente una tensione media di
compressione.
Resistenza degli elementi con intagli
Le curve precedenti riguardano oggetti privi di intagli. Questi sono
poco frequenti nella realtà, per cui la resistenza a fatica di un
pezzo è generalmente minore di quella che si otterrebbe dalle
curve precedenti, ottenute da esperimenti su pezzi privi di intagli,
a meno che non si tenga conto della concentrazione degli sforzi
indotta dall’intaglio.
In quei casi in cui è possibile,
analiticamente o numericamente,
calcolare il fattore di amplificazione
degli sforzi, poiché la rottura per fatica
dipende dalla tensione di picco
Fattore di resistenza per intaglio
Questo implica che per ottenere la resistenza a fatica di un campione
con intagli si deve dividere la resistenza a fatica di un campione
indisturbato per il fattore Kt.
In letteratura il fattore per cui si deve dividere la resistenza a fatica per
ottenere quella del campione intagliato è generalmente indicato con Kf
Per quanto visto si dovrebbe avere Kf = Kt. In pratica l’esperienza
dimostra che generalmente Kf < Kt, particolarmente per campioni
piccoli con grande Kt
Sensibilità all’intaglio
Peterson definisce la sensibilità all’intaglio attraverso il fattore
Per Kf = Kt si ha q = 1, mentre per Kf =1 (il campione intagliato ha la
stessa resistenza di quello indisturbato) si ha q = 0
Previsione del fattore di sensibilità
Peterson
Neuber
a* ed A costanti del
materiale
Oscillazioni non simmetriche
In presenza di una tensione media non nulla, se il materiale resta
elastico si può ancora applicare il principio di similarità, scalando
tutte le tensioni del fattore Kt
Al crescere della tensione media, il corrispondente valore della
tensione di picco può superare la tensione di snervamento. In
questo caso si verificano delle deformazioni plastiche nella zona
di picco; in tal modo la tensione massima risulta inferiore a KtSmax
Dopo l’inversione dell’azione
SmaxSmin si ha uno scarico
elastico. Anche se la tensione
minima elastica è positiva, nella
zona plastica questa può divenire
negativa. Questo è in sostanza
equivalente ad una riduzione
della tensione media nella zona
plastica, con effetto benefico sulla
resistenza a fatica.
Spettri di carico
La resistenza a fatica viene misurata con prove cicliche di ampiezza
costante. Generalmente le azioni producono oscillazioni di ampiezza
variabile; si deve determinare un criterio di equivalenza.
In mancanza di dati statistici specifici, le norme definiscono degli
schemi di carico equivalenti la cui azione determina la storia delle
tensioni che si assume ripetersi N volte.
Conteggio in forma matriciale
Conteggio dei cicli
In una situazione come quella in figura, i tre cicli successivi AB BC
e CD sono tutti di ampiezza minore del ciclo AD che si ottiene
eliminando il ciclo intermedio BC; un unico ciclo di maggiore
ampiezza è più gravoso dei tre cicli più piccoli.
Rain flow count
Successive rainflow counts are
indicated in Figure 9.13. In Figure
9.13a five rainflow counts can be
made. After counting and
removing these small cycles,
Figure 9.13b is obtained. In this
figure again three rainflow counts
of cycles can be made but now of
larger ranges. Removing these
cycles leads to Figure 9.13c
in which again two still larger load
reversals can be counted and
removed. In the final residue,
Figure 9.13d, no further rainflow
counts are possible. The ranges of
the residue must be counted
separately at the end of the
counting procedure. The rainflow
count results can be stored in a
similar two-parameter matrix as
Rain flow count
Rain flow count
Giustificazione teorica
In fig. è mostrata una breve sequenza di
carico, che, con il metodo di conteggio
del flusso di pioggia, porta a contare due
inversioni intermedie, come mostrato in
figura. Il corrispondente comportamento
plastico è indicato schematicamente in
fig. (b), che si può riferire alla plasticità
locale sulla superficie del materiale nel
periodo iniziale , o alla plasticità alla
punta della fessura, durante il suo
accrescimento. Le inversioni intermedie,
c1 e c2 causano cicli di isteresi all’interno
del ciclo maggiore tra A e B. Si assume
quindi che I cicli intermedi non
influenzino quello maggiore. Questi
ragionamenti forniscono un certo
sostegno al metodo di conteggio del
flusso di pioggia.
Il metodo del serbatoio
Per contare i cicli con il metodo
del serbatoio si procede così.
Il grafico delle oscillazioni della
tensione, eventualmente
prolungato, viene visto come un
serbatoio pieno di liquido.
Questo corrisponde ad un ciclo
Smax-Smin ; dal punto più basso si
suppone di far uscire il
liquido(a).
(a)
(b)
(c)
(e)
(d)
(f)
Si passa al secondo punto più basso ed il dislivello fornisce il
secondo salto di tensione (b); quindi si svuota questo liquido e si
passa al terzo minimo (c), ripetendo il procedimento, ecc.
Resistenza a cicli di ampiezza variabile:
regola di Miner
Se n1 è il numero di cicli di
semiampiezza S1, n2 il numero
di cicli ad ampiezza S2 ed N1,
N2 sono i numeri dei cicli che
portano al collasso con
ampiezze S1 e S2
rispettivamente, la condizione
di collasso è
O, più in generale
Limiti della regola di Miner
Per la regola di Miner, se n1<N1 e
S2<Sf (limite di fatica), poiché in tal
caso N2=, ne segue che n2/N2=0 per
qualsiasi n2 e quindi non si verifica
mai la rottura del pezzo.
Questo è sbagliato, perché se per
S<Sf non si ha rottura, ciò è dovuto al
fatto che tensioni inferiori a Sf non
sono in grado di innescare la fessura.
Ma se S1>Sf la fessura può essere
attivata ed i cicli di ampiezza S2
possono portare il pezzo a rottura.
Influenza dell’ordine di applicazione
del carico
L’ordine di applicazione dei cicli ha influenza sulla vita a fatica del
pezzo. Se un pezzo è soggetto a n1 cicli di ampiezza S1 e poi a cicli di
ampiezza S2>S1 e dopo n2 cicli raggiunge la rottura, lo stesso pezzo,
soggetto prima ad n2 cicli di ampiezza S2 e quindi a cicli di ampiezza
S1 raggiungerà il collasso dopo un numero di cicli > n1.
Questo è dovuto agli effetti positivi delle tensioni plastiche residue.
Modifica delle curve S-N
Per consentire alla regola
di Miner di prevedere il
contributo dei cicli di
ampiezza inferiore ad Sf si
modifica la curva S-N
prolungandola oltre Sf
(curva H)
Normativa
Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici - Istruzioni per l’applicazione delle
“Norme tecniche per le costruzioni” di cui al D.M. 14 gennaio 2008
Nelle verifica si impiegheranno i delta di tensione di calcolo Δi,d, ricavati moltiplicando i
delta di tensione dello spettro Δi per il coefficiente parziale di sicurezza per le verifiche
a fatica γMf,definito nel seguito,
e la curva caratteristica S-N di resistenza a fatica del dettaglio, individuata mediante la
classe ΔC, anch’essa definita nel seguito.
Il coefficiente parziale di sicurezza per le verifiche a fatica γMf è dato da
ove γf è il coefficiente parziale relativo alle azioni di fatica e γm il coefficiente parziale
relativo alla resistenza, che copre le incertezze nella valutazione dei carichi e delle tensioni
e la possibile presenza di difetti nei particolari in esame.
Il coefficiente γMf dipende sia dalla possibilità di individuare e riparare eventuali lesioni per
fatica, sia dall’entità delle conseguenze della crisi per fatica dell’elemento o della struttura.
A questo scopo, le strutture possono essere distinte, a seconda della loro sensibilità alla
crisi per fatica, in strutture poco sensibili (damage tolerant) e in strutture sensibili (safe life).
Strutture poco sensibili
Si dice poco sensibile (damage tolerant) una struttura nella quale il mantenimento del
richiesto livello di affidabilità nei riguardi dello stato limite di fatica può essere
garantito attraverso un appropriato programma di ispezione, controllo, monitoraggio
e riparazione delle lesioni di fatica, esteso alla vita di progetto della struttura.
Una struttura può essere classificata come poco sensibile se, in presenza di lesioni per
fatica, si verificano le seguenti condizioni:
• i dettagli costruttivi, i materiali impiegati e i livelli di tensione garantiscono bassa
velocità di propagazione e significativa lunghezza critica delle lesioni;
• le disposizioni costruttive permettono la ridistribuzione degli sforzi;
• i dettagli sono facilmente ispezionabili e riparabili;
• i dettagli sono concepiti in modo da arrestare la propagazione delle lesioni;
• esiste un programma di ispezione e manutenzione, esteso a tutta la vita dell’opera,
inteso a rilevare e riparare le eventuali lesioni.
In caso contrario, la struttura si dice sensibile.
Coefficienti di sicurezza
Poiché l’ispezione, il monitoraggio e le riparazioni di una struttura sensibile non
sono agevoli, essa deve essere progettata in fatica adottando dettagli costruttivi
e livelli di tensione tali da garantire il grado di affidabilità richiesto per le altre
verifiche allo stato limite ultimo per tutta la vita utile della costruzione, anche in
assenza di procedure specifiche di ispezione e manutenzione. Questo approccio
progettuale è detto anche safe life.
I valori dei coefficienti γMf da adottare nelle verifiche delle strutture sensibili e
poco sensibili sono riportati in Tabella C4.2.XII, in funzione delle conseguenze
dell’eventuale rottura per fatica.
Curve S-N
L’equazione della curva S-N è
dove m=3, cosicché risulta
Tabelle di classificazioni (es)
Verifiche
Per carichi variabili si applica il metodo del serbatoio.
Verifica a vita illimitata
La verifica a vita illimitata si esegue controllando che sia
oppure che
Verifica a danneggiamento
La verifica a danneggiamento si conduce mediante la formula di
Palmgren-Miner, controllando che risulti
Ponti stradali
Verifiche per vita illimitata
Le verifiche a fatica per vita illimitata potranno essere condotte, per
dettagli caratterizzati da limite di fatica ad ampiezza costante,
controllando che il massimo delta di tensione Δmax=(max-min)
indotto nel dettaglio stesso dallo spettro di carico significativo risulti
minore del limite di fatica del dettaglio stesso. Ai fini del calcolo del
Δmax si possono impiegare, in alternativa, i modelli di carico di fatica
1 e 2, disposti sul ponte nelle due configurazioni che determinano la
tensione massima e minima, rispettivamente, nel dettaglio
considerato.
Carico di fatica 1
Il modello di carico di fatica 1 è costituito dallo schema di carico 1
con valore dei carichi concentrati ridotti del 30% e valori dei
carichi distribuiti ridotti del 70% (vedi fig. 5.1.4).
Per verifiche locali si deve considerare, se più gravoso, il modello
costituito dall’asse singolo dello schema di carico 2, considerato
autonomamente, con valore del carico ridotto del 30% (vedi
fig.5.1.4).
Verifiche a danneggiamento
Le verifiche a danneggiamento consistono nel verificare che nel
dettaglio considerato lo spettro di carico produca un danneggiamento
D≤1.
Il danneggiamento D sarà valutato mediante la legge di Palmgren-Miner,
considerando la curva S-N caratteristica del dettaglio e la vita nominale
dell’opera.
Le verifiche saranno condotte considerando lo spettro di tensione
indotto nel dettaglio dal modello di fatica semplificato n. 3, riportato in
Fig. 5.1.5, costituito da un veicolo di fatica simmetrico a 4 assi, ciascuno
di peso 120 kN
Carico N.4
In alternativa, quando siano necessarie valutazioni più precise,
si usa lo spettro di carico equivalente costituente il modello di
fatica n. 4, riportato in Tab. 5.1.VIII, ove è rappresentata anche la
percentuale di veicoli da considerare, in funzione del traffico
interessante la strada servita dal ponte. I tipi di pneumatico da
considerare per i diversi veicoli e le dimensioni delle relative
impronte sono riportati nella Tab. 5.1.IX.
In assenza di studi specifici, per verifiche di danneggiamento, si
considererà sulla corsia lenta il flusso annuo di veicoli superiori a
100 kN, rilevanti ai fini della verifica a fatica dedotto dalla
Tabella 5.1.X.
Ponti ferroviari
5.2.3.3.3 Verifiche allo stato limite di fatica
Per strutture e elementi strutturali che presentano dettagli sensibili a
fenomeni di fatica vanno effettuate opportune verifiche nei confronti
di questo fenomeno.
Le verifiche saranno condotte considerando idonei spettri di carico.
La determinazione dell’effettivo spettro di carico da considerare nella
verifica del ponte dovrà essere effettuata in base alle caratteristiche
funzionali e d’uso della infrastruttura ferroviaria cui l’opera
appartiene.
Per approfondire