Scoprire la
macroeconomia
Lezione 2
Prof. Giuseppe Travaglini
Un modello Teorico. Risparmio
accumulazione di capitale e
produzione.

Il Pil potenziale corrisponde al livello massimo
di prodotto che può essere mantenuto nel
lungo periodo con un'inflazione stabile (Okun)

Dal lato del mercato del lavoro, corrisponde al
tasso “naturale” di disoccupazione (Phillips).

Non dipende perciò solo da vincoli tecnologici,
ma anche di tipo istituzionale
Pil potenziale

per stimare il PIL potenziale procede in due passi:

vengono stimati i livelli di lungo periodo, ovvero
aggiustati per il ciclo, del lavoro (N) e il capitale (K)

i livelli degli input così ottenuti vengono utilizzati come
dati della funzione della produzione,

unitamente al livello del progresso tecnologico (stimato
attraverso la produttività totale dei fattori, cioè il
residuo di Solow (A)).
Pil potenziale

Un esempio
Y AF
K, NAK N 1, con 0  1

In forma intensiva
Y A K
N
N

Pil potenziale


ponendo y = (Y/N) e
k = (K/N). La funzione
di produzione diviene:
y

Ak
Pil potenziale

In quanto segue, siamo interessati alla funzione di
produzione che abbia le due seguenti proprietà:
1.
Rendimenti decrescenti per ciascun fattore.
L'aumento dell'impiego di un fattore a parità di impiego
dell'altro e del livello del progresso tecnico fa crescere il
prodotto via via di meno.
2.
Rendimenti costanti di scala. Un aumento
proporzionale dell'impiego di tutti e due i fattori fa
crescere il prodotto nella stessa proporzione.
Pil potenziale

Qunidi ipotizziamo che la crescita del
prodotto per occupato y = Y/N dipende da
due elementi:
1.
la dotazione di capitale per lavoratore, k=K/N;
il progresso tecnologico, A.
2.
Pil potenziale: crescita
Prodotto per occupato
y1

K/
k
N
y0
k0
k1
Capitale per occupato
k
Crescita e Pil

Due sono i fattori che possono contribuire alla
crescita economica di un paese, facendo aumentare
la produttività del lavoro:
1.
l'accumulazione di capitale, Δk
2.
il progresso tecnico, ΔA
3.
Quale di questi due fattori è più importante?
Accumulazione e crescita

Partiamo dall'accumulazione
Stock di capitale => Produzione => Reddito =>
=> Risparmio = Investimento

L'investimento accresce il capitale:
=> Investimento => Δ capitale => Δ Reddito
Accumulazione e crescita

Può questo processo andare avanti all'infinito sicché
il capitale contribuisce in modo permanente alla
crescita?

l'investimento non può far aumentare per sempre
il reddito. Il motivo è la presenza di rendimenti
decrescenti.

Però, un maggior risparmio e investimento
accrescono il livello del reddito.
(1) Modello di accumulazione

Assumi A=1 ed N fisso.

La crescita di Y dipende
solo da K

La funzione di produzione
diviene così:

y t k t
Modello: risparmio e accumulazione
1.
Il punto di partenza è l'uguaglianza tra
risparmi e investimenti:
I t S t
L'investimento lordo It è pari alla somma dello
investimento netto, Δk = Kt+1- Kt e dello
ammortamento, δKt ossia:

It = Kt+1- Kt + δKt
Il risparmio
2.
Il risparmio è una data proporzione del
reddito
St = sYt

dove s è il tasso di risparmio dell'intero
sistema economico.
Investimento = Risparmio


L'uguaglianza tra
risparmio e
K
1
investimento è quindi t
Dividendo per N, che
è fisso:
K t K t sY t
K t1
K
Y
K
t
t

s
 t
N
N
N
N
#
Investimento = Risparmio

Y t y k   K t
t
t
N
N

Ma dato che:

Possiamo
riscrivere la
K t1
precedente
relazione come: N
K
K
t
t

s
N
N

K
 t
N
#
Il modello di accumulazione
yt
St
AMM t
K t1
K
 t
N
N

Y
K
t
 t 
N
N
Y
K
t
t
s 
s 
N
N
K
  t
N

K
K
t
s
 t
N
N

Un esempio

Esempio.
A=1
α=1/3
s=0.3
δ=0.1
1/3
y t k t
S t 0. 3
1/3
Kt
N
AMM t 0. 1
Kt
N
K t1
K
K
t
t

0. 3
N
N
N
1
3
K
0. 1 t
N
2.5
Prodotto
Prodotto, risparmio, ammort
A
2.0
1.5
Ammortamento
1.0
B
E
0.5
Risparmio
C
0.0
0
1
2
3
4
5
Capitale
6
7
8
9
10
La variazione di k.

Qui k = 8 e perciò y = (8)0.3 = 2.
Il risparmio è il 30% del prodotto quindi,
S = s * Y(k) = 0.3* 2 = 0.6
Il punto C identifica questo livello del risparmio sulla
funzione del risparmio.


Possiamo dire che se il k fosse pari a 8, nel periodo
successivo il capitale per occupato diverrebbe:
k + Δk = 8 + 0.6 = 8.6
La variazione di k.


Occorre però tener conto dell’ammortamento
Nel grafico questa è la linea nera tratteggiata. Se k =
8, allora
AMMt = δ kt =0.1 * 8 = 0.8
(il punto B)
e il capitale per addetto si riduce di 0.8.
La variazione di k.

Nel complesso quindi il capitale varia di
k t k t 0. 6 0. 8 0. 2 0
 Ossia diminuisce

Questo esito è comune a tutti i punti che si trovano a destra
del punto E.

Oltre questo punto E l'ammortamento è superiore
all'investimento sostenibile dal sistema economico
La variazione di k.

A sinistra del punto E invece il capitale aumenta.

Per esempio, se kt=1 allora yt=1 e il risparmio è S =
0.3

Dato che l'ammortamento sarebbe pari δkt=0.1, la
variazione del capitale è complessivamente positiva
0.3 – 0.1 = 0.2 > 0
Lo stato stazionario

In E sono in equilibrio di lungo periodo
 Stato stazionario (steady state).

Al di fuori di E ho processo di aggiustamento
convergente => se sono al di fuori torno sempre in E

La velocità di aggiustamento dipende dal valore
dei parametri
Stato stazionario

Quando siamo in stato stazionario lo stock di capitale
per addetto non varia più al trascorrere del tempo
k 

e quindi:
K t1
N
Kt
0 s
N
s  K

N
Kt
N

1
Kt

N
0
Stato stazionario

Quindi nell’esempio in stato stazionario:

 k  K  s

N
y  s

k
y


1
 s

1
1
 0. 3
0. 1
3
2
3 1.5 5. 2 #

31/2 1. 73 #
1
1
 s 3 #

Risparmio convergenza
1.
In equilibrio di lungo periodo, il capitale per occupato è costante
e quindi anche il prodotto per occupato è costante. Questo
significa ovviamente che la crescita è nulla.
2.
Dunque: il risparmio e l'investimento non influiscono sulla
crescita (nello stato stazionario)
3.
Anche se in equilibrio di lungo periodo il risparmio non influisce
sulla crescita , esso influenza comunque il livello del prodotto
pro capite (vedi foglio excel)
Risparmio e convergenza

Per esempio, se la propensione al risparmio aumenta da s=0.3 a
s=0.4, il capitale per occupato di lungo periodo è 8 in quanto

k 

K
N

s

1
1

0.4
0.1
3
2
e il prodotto per addetto è 2 poichè

y 
s


1

0.4
0.1
1/2
2
8
Un aumento della propensione al risparmio
2.5
Prodotto, risparmio, ammort
A
2.0
1.5
Ammortamento
1.0
B
0.5
Risparmio
C
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Capitale
Un aumento della propensione al risparmio
Sentiero di aggiustamento di y verso il nuovo stato
stazionario dopo un'aumento di s da 0.3 a 0.4
Prodotto per occupato (Y/N)
2.1
2.0
1.9
1.8
1.7
Tempo
Sentiero di crescita verso il nuovo stato stazionario
Risparmio e consumo

Il risultato precedente mostra che il livello del prodotto e lo stock
di capitale pro capite aumentano con il risparmio.

Questo può condurci alla errata conclusione che più elevato è il
valore di s, maggiore è il benessere dell'economia

Per capire in cosa consiste l'errore, poniamo al centro della nostra
attenzione il valore del consumo per occupato c=(C/N) in stato
stazionario, ed il modo in cui questo valore cambia al variare di s.
Risparmio e consumo

In stato stazionario il livello del consumo pro capite c* è dato dalla
differenza tra il reddito per occupato e l'ammortamento (in equilibrio
uguale al risparmio!) che deve essere sostenuto per mantenere
inalterato lo stock di capitale

c 

c 
C
N
s


Y 
N

1
K
N

s

1
1
Risparmio e consumo

Notiamo subito che il consumo per individuo è pari a zero quando
s=0 ed s=1.

c 

s


1

s

1
1
Per semplificare, calcoliamo il valore di c* e della derivata dc*/ds
quando δ=0.1, e α=0.5.
Risparmio e consumo in s.s.

Otteniamo

c 
dc 
ds
s
0.1

1
0.1
0. 1
s
0.1

1 2s 
2

1
0.1
s
1 s
Risparmio e consumo in s.s.

Il consumo di stato stazionario è massimo e pari a
c_max*=2.5 quando il tasso di risparmio è s_gold=0.5

difatti per questo valore l'inclinazione della curva è
pari a zero, ossia dc*(0.5)/ds=0.

La figura che segue è la controparte grafica di questo
risultato.
Consumo e risparmio in stato stazionario
c*
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.25
0.5
0.75
1
s
(2) Il ruolo del Progresso
tecnologico nella crescita

Indicheremo lo stato della tecnologia con A. Il
progresso tecnologico è dato dal tasso di
crescita di A
gA 
A t1
At
1
Progresso tecnologico

E’ utile riscrivere questa espressione
come:
At1 
1 g A 
At

che caratterizza il modo in cui il
Progresso Tecnologico si accumula.
Progresso tecnologico

Per semplificare, penseremo ad At come a un modo
per aumentare l'efficienza del lavoro

la rappresenteremo come un aumento del numero
dei lavoratori.

Dire che l'efficienza del lavoro raddoppia è come
dire che un lavoratore è in grado di produrre quanto
due lavoratori.
Progresso tecnologico

La funzione di produzione ha la forma

1
Y F
K, AN K AN 

Progresso tecnologico: il lavoro è misurato in
“unità efficienza”
Il modello completo
1.
Supponiamo che la popolazione cresca a un
tasso:
N t1
gN 
1
Nt
 N t1 
1 g N 
Nt #
1.
Per esempio, dell'1% l'anno.
Il modello
3.
Supporremo inoltre che il progresso tecnico
modifichi lo stato della tecnologia ad un tasso
At1 
1 g A 
At

per esempio del 2%.
Il modello

Esprimiamo adesso la funzione di produzione in forma
intensiva rispetto alle "unità efficienza" di lavoro

 Dividiamo lo stock di capitale e il prodotto non
semplicemente per la forza lavoro ma per AN

Si ottiene:
Il modello



Nota che il in unità
efficienza è 

1
Y t K t 
At N t  

Yt  K t

At N t
At N t


y
k
t
t
y
t 
Yt
A tN t
e k
t 
Kt
A tN t
Il modello

Iniziamo dall'uguaglianza risparmioinvestimenti
I t S t

da cui come prima
K t1 K t K t sYt
Il modello

Che riscriviamo come:
K t1 sYt 
1 
Kt

E dividiamo per At1 N t1
trasformandolo in unità
efficienza:
Il modello

otteniamo così l’equazione:
K t1
A t1 N t1

s
Yt
A t1 N t1

1
Kt
A N
t
1 t
1
Che riscriviamo come:
K t1
A t1 N t1

1


1
gA 
1
gN 
s
Yt
A tN t

1
Kt
A tN t
Il modello
sottraendo
K t1
A t1 N t1
K t1
A t1 N t1
Kt
A tN t
da entrambi i lati si ottiene
 AKtNt t  1g
Kt
A N
t t
1

1
gN 
A
1
1g 
1
gN 
A 
s
Yt
A tN t
s AYtNt t 
1 AKtNt t
 AKtNt t
Kt

g N g A  g N g A A tN t
L’equazione di moto
Kt
Se indichiamo con k

il capitale in unità efficienza
t
A tN t
Yt


e con y t  A tN t k
t il prodotto in unità efficienza,
e notiamo che g A g N 0
1


k t1 k t  1g 1g
A
N


sk t g N g A k
t
Lo stato stazionario

Nello stato stazionario il capitale in unità efficienza
K/AN deve rimanere costante al trascorrere del
tempo, diciamo al valore k*.

Affinchè ciò accada, occorre che il numeratore e il
denominatore del rapporto
k* = (K/AN)*
abbiano lo stesso ritmo di crescita.
Investimento

Di quanto cresce l'investimento in stato
stazionario?
 g N g A K


Ossia in unità efficienza
 g N g A 

K
AN


 
 g N g A 
k
Capitale (K)

In mancanza di progresso tecnico e crescita dell'occupazione,
mantenere il capitale immutato K richiedeva un investimento pari
all'ammortamento.

Ora però AN cresce al tasso gN+gA

Quindi nel lungo periodo, affinchè resti costante il capitale in unità
efficienza k* = (K/AN)*

 lo stock di capitale K* deve crescere allo stesso tasso gN+gA
Prodotto Aggregato (Y)

Se in stato stazionario il capitale e
l'occupazione in unità efficienza crescono allo
stesso tasso gN+gA.
  per
l'ipotesi di rendimenti costanti di scala
anche il prodotto Y* deve crescere allo stesso
tasso gN+gA.
K e Y in unità efficienza

 I rapporti in unità efficienza
y* = (Y/(AN)* e
k*=(K/(AN)*
Non crescono nello stato stazionario

Questo configurazione di equilibrio della crescita
prende il nome di crescita bilanciata.
Crescita bilanciata
Tassi di crescita in stato stazionario
Y
g N g A
K
g N g A
AN
g N g A


y 
Y
AN

k

K
AN.


0
0
Esempio

Y*=10, K*=20, AN=10

(Y/AN)*=1, (K/AN)=2

Se gN=0.01 e gA=0.02 => gN+gA=0.03

Esempio



Y*+Y*(gN+gA)=Y*(1+gN+gA)
K*+K*(gN+gA)=K*(1+gN+gA)
AN+AN(gN+gA)=AN(1+gN+gA)
Y*(1+gN+gA)/AN(1+gN+gA) = Y*/AN= ͠y*
 Δ͠y*=0

K*(1+gN+gA)/AN(1+gN+gA) = K*/AN=͠k*
 Δk*=0

Dinamica del capitale e del prodotto in unità efficienza
Investimento necessario
( g N  g A   ) K / AN
Produzione
F ( K / AN )
*
 Y 


 AN 
D
Risparmio
sF ( K / AN )
E
A
B
C
~
k0
K / AN *
Crescita e risparmio

Questa conclusione ci conduce a un primo importante risultato.

In stato stazionario il tasso di crescita della produzione Y* è gN+gA.

 Dunque, il tasso di crescita della produzione non dipende dal
tasso di risparmio s.

Come vedremo fra poco, è però possibile che ciò accada nel breve
periodo.
Risparmio e convergenza

In stato stazionario il tasso di crescita della


produzione in unità efficienza y
dipende
solamente dalla crescita demografica e dal
progresso tecnologico.

Tuttavia, come nel modello di accumulazione le
variazioni del tasso di risparmio influenzano il
livello del prodotto per unità di lavoro effettivo!
Gli effetti di un aumento del tasso di risparmio
( g N  g A   ) K / AN
*
~
y1
~y *
0
B
A
F ( K / AN )
s1F ( K / AN )
E1
s0 F ( K / AN )
E0
~
k0
~
k1
Il tasso di crescita del prodotto
per occupato

Finora ci siamo concentrati sulla produzione aggregata
misurata in unità efficienza.

Per misurare però la variazione del tenore di vita
dobbiamo analizzare come varia il prodotto per
occupato (non il prodotto in unità efficienza!).

Dobbiamo perciò capire come cresce il rapporto Y/N
(non Y/AN) in stato stazionario.
Prodotto per occupato

In stato stazionario
Y cresce al tasso gN+gA
N cresce a gN

=> Y/N cresce a gA

In altre parole, nello stato stazionario il prodotto per
occupato (la produttività del lavoro) cresce al tasso
del progresso tecnico.


Prodotto per occupato

Ricorda che
g y 
g k 1 g A

dove y=(Y/N) e k=(K/N). Quindi in stato stazionario

gy

g k
Prodotto per occupato

Possiamo quindi scrivere
g y  1 g A
g y  

1
gy 
gA
1 


gy
g A
#
Gli effetti di un aumento del tasso di risparmio sul
prodotto procapite y=Y/N (logaritmo)
sentiero associato ad s1
BB
ln(y)
sentiero di aggiustamento
AA
inclinazione gA
sentiero associato ad s0
t
tempo
Uno sguardo ai dati

Riferimento economia Italiana

Periodo 1980 – 2011

Risultatao dell’indagine empirica:
rallentamento della crescita e perdita di
competitività 
Tasso di crescita della produttività del lavoro 1980-2011
Media 1980-2000= 1.65%
4%
Media 2000-2010= - 0.21%
2%
0%
1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001 2004 2007 2010
-2%
-4%
Tasso di crescita del capitale delle imprese 1980-2011
4%
Tasso medio 1980-1992= 2.7%
3%
Tasso medio 1993-2010 = 1.6%
2%
1%
0%
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2010
Tasso di crescita rapporto capitale-lavoro 1980-2011
Tasso medio 1980-1995 = 2.15%
4%
3%
Tasso medio 1996-2011 = 0.76%
2%
1%
0%
1980
-1%
1985
1990
1995
2000
2005
2010
Tasso di crescita della TFP (progresso tecnologico)
3%
1%
1980
-1%
1985
1990
1995
2000
2005
Tasso medio 1980-1994 = 1.04%
-3%
Tasso medio 1995-2011 = - 0.37%
-5%
2010